吳岱芩,黃文韜，2 ,吳燕蘭

(1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林 541004；2.賀州學(xué)院 數(shù)學(xué)系,廣西 賀州 542800)

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一類四次Kolmogorov系統(tǒng)的極限環(huán)分支

吳岱芩1,黃文韜1，2,吳燕蘭1

(1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林 541004；2.賀州學(xué)院 數(shù)學(xué)系,廣西 賀州 542800)

摘要：研究了一類四次Kolmogorov系統(tǒng)在正平衡點(1,1)處的極限環(huán)分支問題。運用計算機代數(shù)系統(tǒng)Mathematica計算其伴隨復(fù)系統(tǒng)的前5個奇點量，并給出正平衡點(1,1)成為五階細(xì)焦點的條件，再利用雅克比行列式方法證明正平衡點(1,1)處可分支5個小振幅極限環(huán)。

關(guān)鍵詞：Kolmogorov系統(tǒng)；正平衡點；極限環(huán)；奇點量

0引言

Kolmogorov系統(tǒng)被廣泛運用于生態(tài)學(xué)，用來描述兩種群之間相互作用的關(guān)系。對該系統(tǒng)動力學(xué)行為特別是極限環(huán)問題的研究越來越引起數(shù)學(xué)和生態(tài)學(xué)工作者的興趣。文獻(xiàn)[1]研究了一類三次Kolmogorov系統(tǒng)，得到三次Kolmogorov系統(tǒng)可分支出4個極限環(huán)的結(jié)論。文獻(xiàn)[2]發(fā)現(xiàn)了一類三次Kolmogorov系統(tǒng)從1個正平衡點可分支出3個極限環(huán)。文獻(xiàn)[3]也研究了一類三次Kolmogorov系統(tǒng)，得到6個極限環(huán)。文獻(xiàn)[4]研究了三次Kolmogorov系統(tǒng)，得到5個極限環(huán)。文獻(xiàn)[5]研究了一類具有2個正平衡點的三次Kolmogorov系統(tǒng)，得到可分支出6個極限環(huán)的結(jié)論。文獻(xiàn)[6]把研究Kolmogorov系統(tǒng)極限環(huán)問題推廣至三維系統(tǒng)。而四次Kolmogorov系統(tǒng)的小振幅極限環(huán)分支問題，因其偶數(shù)次系統(tǒng)在計算上的困難性，僅有文獻(xiàn)[7]討論了一類四次Kolmogorov系統(tǒng)3個正平衡點極限環(huán)問題。本文在文獻(xiàn)[1-10]的基礎(chǔ)上，研究如下四次Kolmogorov系統(tǒng)：

(1)

1基礎(chǔ)知識

考慮一類多項式實系統(tǒng):

(2)

其中：Xk(x,y),Yk(x,y)是關(guān)于x,y的k次齊次多項式。當(dāng)δ=0時，系統(tǒng)(2)通過變換

(3)

化為復(fù)系統(tǒng)：

(4)

其中：

(5)

z,w,T,aα,β,bα,β均為復(fù)變量。

引理1對系統(tǒng)(4)，可逐項確定形式級數(shù):

(6)

使得

(7)

其中：當(dāng)α=β=0時，即cαβ=c00，取c00=1；當(dāng)α<0，或β<0，或α=β>0時，置cαβ=0，其他情形cαβ由遞推公式

(8)

確定。對任意正整數(shù)m,μm由遞推公式

(9)

確定。其中：μm為系統(tǒng)(4)的第m個奇點量[12]。

又由系統(tǒng)(2)的首個非零焦點量v2m+1(2π)與其伴隨復(fù)系統(tǒng)的首個非零奇點量μm滿足[13]：

v2m+1(2π)=iπμm，

(10)

因此，系統(tǒng)(2)焦點量的計算可以化為系統(tǒng)(4)奇點量的計算。

2伴隨復(fù)系統(tǒng)的奇點量

系統(tǒng)(1)有正平衡點(1,1)，要討論該點處極限環(huán)分支問題，作變換u=x-1,v=y-1，系統(tǒng)(1)化為如下系統(tǒng)：

(11)

如此，可研究系統(tǒng)(11)的焦點量與極限環(huán)分支情況。如果直接計算系統(tǒng)(11)的焦點量，比較復(fù)雜，可將實系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的伴隨復(fù)系統(tǒng)，用與焦點量等價的奇點量進(jìn)行計算。作變換(3),系統(tǒng)(11)化為以下系統(tǒng)：

(12)

系統(tǒng)(12)稱為系統(tǒng)(11)的伴隨系統(tǒng)，其中：

a20=18((1-i)-2iA15+2iA16-2B15+2B16); a11=14((-1-i)-2iA15-2iA16+2B15+2B16);

運用式(8)和式(9)，用計算機代數(shù)系統(tǒng)Mathematica進(jìn)行計算和化簡可得下面的定理。

定理1復(fù)系統(tǒng)(12)原點的前5個奇點量如下：

μ1=i4(-3A15-3B15-2A16B15+2A15B16); μ2=i24(A16+B16)F2

20B162r +20 A16B162r-66r2-46A16r2+4A162r2+46B16r2-32A16B16r2-

24A162B16r2+4B162r2+24A16B162r2-684r3-636A16r3-144A162r3+636B16r3+

496A16B16r3+80A162B16r3-144B162r3-80A16B162r3-648r4-648A16r4-

144A162r4+648B16r4+576A16B16r4+96A162B16r4-144B162r4-96A16B162r4；

上述表達(dá)式在計算μk時，已置μ1=μ2=…=μk-1=0,k=2,3,4,5。其中,F3、F4和F5也為A16、B16和r的表達(dá)式，其式較復(fù)雜，故在此省略。

由定理1可得下面的定理。

結(jié)果顯示，患者的門診自付費用受到就醫(yī)醫(yī)療機構(gòu)層次的顯著正向影響(P<0.05)；對患者的住院自付費用產(chǎn)生顯著正向影響的是：醫(yī)療機構(gòu)的層次和住院天數(shù)。值得注意的是，中低收入水平的患者其年次均住院自付費用低于低收入組，分析住院服務(wù)利用時發(fā)現(xiàn)，低收入組對住院服務(wù)的實際利用大于中低收入組。經(jīng)統(tǒng)計，低收入組患者因住院而借錢的比率為6%，中低收入組的比率為2%，中高收入組和高收入組分別為1.6%和0.6%，由此可見，低收入組患者通過負(fù)債(主要是向親戚借錢)的籌資手段實現(xiàn)了更多的住院醫(yī)療服務(wù)需要。

定理2系統(tǒng)(12)原點的前五階奇點量均為0，當(dāng)且僅當(dāng)A15=-B15,A16=-B16成立。

證明由定理1不難得到充分性成立，下面證明必要性。

綜上所述：μ1=μ2=μ3=μ4=μ5=0?A16=-B16,A15=-B15,必要性得證。

3系統(tǒng)的極限環(huán)分支

定理3當(dāng)μ1=μ2=μ3=μ4=0,μ5≠0時，系統(tǒng)(12)的原點為五階細(xì)奇點(對應(yīng)的系統(tǒng)(11)的正平衡點(1,1)為五階細(xì)焦點)的充分必要條件為：

(13)

式(13)是系統(tǒng)(1)正平衡點成為五階細(xì)焦點的條件，但這樣形式的條件不便在極限環(huán)的分析中應(yīng)用。下面，給出式(13)的一種具體形式。因為方程組F2=F3=F4=0的精確符號解過于復(fù)雜，故本文求其近似解。用Mathematica算符NSolve[{F2==0,F3==0,F4==0},{A16,B16,r},50]來求F2=F3=F4=0近似解，得到滿足條件的多組解，取其中一組解為：

A16=-1.59982624221084548812576116452269676067;B16=-0.22655347077919503934714017334958132353;r= 0.95947681422643813797891234970925361665。ì?í????

進(jìn)而可得A15,A16,B15,B16的一組近似解為：

(14)

式(14)即為條件(13)的一種具體表示形式。

考慮到焦點量和奇點量的關(guān)系式(10)及文獻(xiàn)[14]中的定理4.7，可得下面的定理。

定理4 對系統(tǒng)(2)，當(dāng)δ=0時，伴隨復(fù)系統(tǒng)原點的奇點量μi(i=1,2，…)有k個線性無關(guān)的參數(shù)θ=(θ1，θ2，…，θk)。當(dāng)θ=θ0時，系統(tǒng)(3)的原點為n階細(xì)奇點，若雅克比行列式滿足

(15)

則系統(tǒng)(2)原點的充分小領(lǐng)域內(nèi)存在n個小振幅極限環(huán)。

定理5當(dāng)系數(shù)滿足式(14)時，系統(tǒng)(11)正平衡點(1,1)為五階細(xì)焦點，通過擾動，系統(tǒng)在正平衡點(1,1)處可分支出5個小振幅極限環(huán)。

證明由定理4，欲證明系統(tǒng)(1)在正平衡點鄰域可分支出5個極限環(huán)，只需證明在式(14)成立條件下，下列雅克比行列式

成立即可，由定理1，經(jīng)計算得到J≈-5.508 1×102≠0。

故通過擾動，系統(tǒng)(2)在正平衡點(1,1)處可分支出5個小振幅極限環(huán)。

參考文獻(xiàn)：

[1]LLOYD N G,PEARSON J M,SAEZ E.Limit cycles of a cubic Kolmogorov system[J].Applied mathematics letters,1996,9(1):15-18.

[2]陸征一,何碧.三次Kolmogorov捕食系統(tǒng)的多個穩(wěn)定極限環(huán)[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報,2001,18(4):115-117.

[3]LLOYD N G,PEARSON J M,SAEZ E,et al.A cubic Kolmogorov system with six limit cycles[J].Computers and mathematics with applications,2002,44(3/4):445-455.

[4]杜超雄,劉一戎,米黑龍.一類三次Kolmogorov系統(tǒng)的極限環(huán)分支[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報,2007,24(4):746-752.

[5]彭躍輝.一類具有兩個正平衡點的Kolmogorov模型的極限環(huán)分枝[J].湘潭大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報,2010,32(4):10-15.

[6]DU C X,WANG Q L,HUANG W T.Three-dimensional Hopf bifurcation for a class of cubic Kolmogorov model[J].International journal of bifurcation and chaos,2014,24(3):1450036.

[7]DU C X,LIU Y R,ZHANG Q.Limit cycles in a class of quartic Kolmogorov model with three positive equilibrium points[J].International journal of bifurcation and chaos,2015,25(6):1550080.

[8]聶文靜,王輝,胡志興,等.一類具有時滯和隨機項的捕食-被捕食模型[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2015,36(6):75-81.

[9]HUANG W T,CHEN A Y,XU Q J.Bifurcation of limit cycles and isochronous centers for a quartic system[J].International journal of bifurcation and chaos,2013,23(10):255-259.

[10]陳瑩,彭真,李靜.兩類五次平面多項式系統(tǒng)的中心判定[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2012,33(3):70-74.

[11]劉一戎,李繼彬.論復(fù)自治微分系統(tǒng)的奇點量[J].中國科學(xué)(A輯),1989,32(3):245-255.

[12]劉一戎,陳海波.奇點量公式的機器推導(dǎo)與一類三次系統(tǒng)的前10個鞍點量[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2002,25(2):295-302.

[13]黃文韜.微分自治系統(tǒng)的幾類極限環(huán)分支與等時中心問題[D].長沙:中南大學(xué),2004.

[14]LIU Y R,LI J B.New study on the center problem and bifurcations of limit cycles for the Lyapunov system[J].International journal of bifurcation and chaos,2009,19(9):3791-3801.

中圖分類號：O175.12

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

收稿日期：2015-12-25

作者簡介：吳岱芩(1992-),女,四川達(dá)州人,碩士生;黃文韜(1966-),男,廣西永福人,教授,博士,博士生導(dǎo)師,主要從事微分方程定性理論方面的研究.

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(11261013);廣西高校重點實驗室基金項目

文章編號：1672-6871(2016)03-0082-05

DOI:10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.03.018