曾慧平，黃福生

(1.南昌航空大學 科技學院，江西 南昌　330034；2.江西師范大學 數(shù)學與信息科學學院，江西 南昌　330022)

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SPQ-內(nèi)射半模

曾慧平1，黃福生2

(1.南昌航空大學 科技學院，江西 南昌330034；2.江西師范大學 數(shù)學與信息科學學院，江西 南昌330022)

摘要：設是右-半模，半模稱為內(nèi)射的，若任意的small-主子半模到的同態(tài)可擴張至到的同態(tài).若是內(nèi)射的，則稱是內(nèi)射半模.本文給出了內(nèi)射半模的定義并刻畫其相應性質(zhì).

關鍵詞：small-子半模；內(nèi)射半模；自同態(tài)半環(huán)

引言

設R是半環(huán).左R-半模稱為p-內(nèi)射的[3]，如果對任意R的主左理想到M的同態(tài)可擴張至R到M的同態(tài).一個左R-模M稱為左small-內(nèi)射的[4，5]，如果每個從R的small左理想到M的左R-模同態(tài)可以擴張至R到M的同態(tài).在p-內(nèi)射半模和small-內(nèi)射模概念的基礎上，本文給出了SPQ-內(nèi)射半模的定義并刻畫其相應性質(zhì).

1SPQ-內(nèi)射半模

定義1.1[1]設K是M的子半模.若M的子半模L滿足L+K=M，必可得L=M，則稱K是M的small-子半模.記為K=M.

定義1.2[1]設m∈M，則mR={mr|r∈R}稱為M的主子半模.

引理1.3設K=M且f:M→N是半模同態(tài)，則f(K)=N.

證明：設L

定義1.5設M，N是右R-半模，半模N稱為SP-M-內(nèi)射的，若任意M的small-主子半模到N的同態(tài)可擴張至M到N的同態(tài).

定義1.6若M是SP-M-內(nèi)射的，則稱M是SPQ-內(nèi)射半模.

定理1.7設M，N是右R-半模.若HomR(M,N)m=lNrR(m)，其中m∈M，滿足mR=M，則N是SP-M-內(nèi)射的.

定理1.8設R是含加法逆元的半環(huán)，M，N是右R-半模.N是SP-M-內(nèi)射的當且僅當?m∈M，滿足mR=M，HomR(M,N)m=lNrR(m).

“?”由定理1.7直接可得.

定理1.9設M是投射半模，則下列命題等價：

(1)M的任意small-主子半模都是投射的；

(2)SP-M-內(nèi)射半模的商半模是SP-M-內(nèi)射的；

(3)內(nèi)射半模的商半模是SP-M-內(nèi)射的.

證明：(1)?(2)設N是SP-M-內(nèi)射的，X

(2)?(3)顯然成立.

(3)?(1)證明過程同(2)?(1).

定理1.10設M,N，右R-半模，則下列命題等價：

(1)N是SP-M-內(nèi)射半模;

(2)?(1)由定義直接可證．

推論1.11M是SPQ-內(nèi)射半模當且僅當對任意短真正合列

其中m∈M滿足mR=M,i,π分別為自然嵌入映射和自然滿射，序列

證明：只需令N=M即可.

定理1.12SP-M-內(nèi)射半模的任意直和項仍然是SP-M-內(nèi)射的.

證明：設N是SP-M-內(nèi)射半模，N=A⊕A′.m∈M滿足mR=M且f:mR→A是半模同態(tài).定義g:mR→N為g(mr)=(f(mr),0，?r∈R.不難驗證g是半模同態(tài)，故g可以擴張到同態(tài)g′:M→N.記πA:N→A是自然投射，則πAg′:M→A滿足πAg′|A=f，從而A是SP-M-內(nèi)射半模.

定理1.13設Ni(1≤i≤n)是SP-M-內(nèi)射半模，則⊕ani=1Ni是SP-M-內(nèi)射的.

2自同態(tài)半環(huán)與SPQ-內(nèi)射半模

沒有特別聲明，文中此部分S均指S=EndR(M).

引理2.1設M是右R-半模，則下列命題等價：

(1) lMrR(m)=Sm,?m∈M滿足mR=M；

(2) 若rR(m)?rR(n)，其中m,n∈M且mR=M，則Sn?Sm.

證明：(1)?(2)若rR(m)?rR(n)，其中m,n∈M且mR=M，則lMrR(n)?lMrR(m).因為Sn?lMrR(n)且由(1) lMrR(m)=Sm，，即可得Sn?Sm.

(2)?(1)設m∈M滿足mR=M，且令x∈lMrR(m)，則rR(m)?rR(x).由(2)可知，Sx?Sm.即存在φ∈S，使得x=φ(m)，從而x∈Sm，lMrR(m)?Sm.Sm?lMrR(m)顯然成立，得證.

推論2.2若rR(m)?rR(n)，其中m,n∈M且mR=M，必可得Sn?Sm，則M是SPQ-內(nèi)射半模.

證明：由定理1.7及引理2.1直接可得.

推論2.3設R是含加法逆元的半環(huán)，M是右R-半模，則下列命題等價：

(1) M是SPQ-內(nèi)射半模；

(2) lMrR(m)=Sm，?m∈M滿足mR=M；

(3) 若rR(m)?rR(n)，其中m,n∈M且mR=M，則Sn?Sm.

證明：由定理1.8及引理2.1直接可得.

定理2.4設R是含加法逆元的半環(huán)，M是SPQ-內(nèi)射半模.若M=m0R，m0∈M且α∈S滿足α(M)=M，則lSKer(α)=Sα.

證明：Sα?lSKer(α)顯然成立,下證lSKer(α)?Sα.令β∈lSKer(α)，rR(α(m0))?rR(β(m0))，從而lMrR(β(m0))?lMrR(α(m0)).由于α(M)=α(m0)R=M，由推論2.3可得Sβ(m0)?lMrR(β(m0))?lMrR(α(m0))=Sα(m0).故β(m0)=γα(m0)，γ∈S，即β=γα，β∈Sα，得證.

定理2.5設R是含加法逆元的半環(huán)，M是SPQ-內(nèi)射半模，m,n∈M且mR=M.若存在單同態(tài)f:mR→nR，則必存在滿同態(tài)σ:Sn→Sm.

定理2.6設M是SPQ-內(nèi)射半模，m,n∈M且mR=M.若存在滿同態(tài)f:mR→nR，則必存在單同態(tài)σ:Sn→Sm.

推論2.7設R是含加法逆元的半環(huán)，M是SPQ-內(nèi)射半模，m,n∈M且mR=M.若mR;nR，則Sm;Sn.

定理2.8設M是SPQ-內(nèi)射半模且mi∈M滿足miR=M(1≤i≤n).

(1) 若Sm1⊕L⊕Smn是直和，則對任意半模同態(tài)α:m1R+L+mnR→M在S=EndR(M)中存在同態(tài)擴張.

(2) 若m1R⊕L⊕mnR是直和，則S(m1+L+mn)=Sm1+L+Smn.

即證得Sm1+L+Smn?S(m1+L+mn).S(m1+L+mn)?Sm1+LSmn顯然成立.

參考文獻：

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SPQ-Injective Semimodules

ZENG Hui-ping1,HUANG Fu-sheng2

(1.Science and Technology College, Nanchang Hangkong University， Nanchang 330034, China; 2.College of Mathematics and Informaticson Science, Jiangxi Normal University, Nanchang 330022, China)

Abstract:Let M be a right R-semimodule. A right R-semimodule N is called SP-M-injective if, every R-homomorphism from a small and principal subsemimodule of M to N can be extended to an R-homomorphism from M to N. If M is SP-M-injective semimodule, then M is called SPQ-injective semimodule. In this paper we give some characterizations and properties of SPQ-injective semimodules.

Key words:small-semimodules; SPQ-injective semimodules； endomorphism semirings

中圖分類號：O153.3

文獻標志碼：A

文章編號：1001-2443(2016)02-0120-04

作者簡介：曾慧平(1983-)，女，講師，理學碩士，主要從事半環(huán)理論的研究.

基金項目：國家自然科學基金(11261021)；江西省教育廳青年科學基金(No.GJJ14541).

收稿日期：2014-06-06

DOI：10.14182/J.cnki.1001-2443.2016.02.004

引用格式：曾慧平，黃福生.SPQ-內(nèi)射半模[J].安徽師范大學學報：自然科學版，2016，39(2)：120-123.