汪昱列　周宇　徐佳笛

摘 要：太陽影子定位技術(shù)就是通過分析物體影子變化，確定物體所在經(jīng)緯度的技術(shù)。本文根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合窮舉算法和相似度算法對(duì)給定大致經(jīng)緯度范圍內(nèi)的物體進(jìn)行精確經(jīng)緯度定位的研究。我們首先通過太陽高度角與各個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，確立了影子長(zhǎng)度與經(jīng)緯度、日期、時(shí)間以及桿高之間的函數(shù)關(guān)系。接著，我們探討建立了日期已知的經(jīng)緯度定位模型，優(yōu)化了之前的影長(zhǎng)變化模型，將其結(jié)合了遍歷算法。先通過影子頂點(diǎn)變化曲線特性分析縮小遍歷范圍，再遍歷了不同桿長(zhǎng)所有可能的經(jīng)緯度。利用歐式距離算法衡量影長(zhǎng)與遍歷計(jì)算出的影長(zhǎng)之間的相似度，歐氏距離最小的地點(diǎn)為最可能的直桿所處地點(diǎn)。最后，我們探討了日期未知下的經(jīng)緯度定位模型。對(duì)之前的模型進(jìn)行了進(jìn)一步的優(yōu)化：引入影子方位角變化量作為描述影子方位隨時(shí)間變化特性的參數(shù)，與影長(zhǎng)結(jié)合共同描述影子變化特性。以影長(zhǎng)相似度最高作為目標(biāo)進(jìn)行一次遍歷，接著以影子方位角變化量相似度最高作為目標(biāo)，對(duì)一次遍歷結(jié)果進(jìn)行二次遍歷，以求得與其相似度最高的地點(diǎn)的經(jīng)緯度和對(duì)應(yīng)的日期，并用歐式距離檢驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：經(jīng)緯度、遍歷算法、歐氏距離

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.09.218

1 影長(zhǎng)變化模型的建立

我們?cè)O(shè)直桿影子長(zhǎng)度為l，直桿長(zhǎng)度為z。

太陽高度角是太陽射到地面的平行光線與地面的夾角，設(shè)其為h，范圍為（0°，90°）。

因?yàn)樘柟馍涞降孛鏋槠叫泄猓旨僭O(shè)地面平整，固定直桿垂直于地面，則有影長(zhǎng)與直桿長(zhǎng)度z和不同時(shí)刻的太陽高度角h的三角關(guān)系。

其中，h是太陽高度角，為當(dāng)?shù)鼐暥?，?guī)定北緯度數(shù)為正，南緯度數(shù)為負(fù)，所以范圍為（-90°，90°），δ為太陽赤緯角，即太陽直射點(diǎn)所在的緯度，范圍為（-23°26，23°26），Ω為太陽時(shí)角。

由圖1可以看出，太陽赤緯角就是太陽直射點(diǎn)所在的緯度。太陽在地球上的直射點(diǎn)的緯度變化以年為周期，直射點(diǎn)在北緯23°26到南緯23°26的范圍內(nèi)移動(dòng)，太陽赤緯由日期確定，夏至?xí)r太陽照射在北回歸線，即北緯23°26，冬至?xí)r太陽照射在南回歸線，即南緯23°26。一天之中赤緯角的變化可忽略不計(jì)。因此固定日期的赤緯角δ可以當(dāng)做常數(shù)。

赤緯角的計(jì)算公式可以查閱資料（資料名稱見參考文獻(xiàn)[2]）得到，如下：

δ=0.006918-0.399912×cos（β）+0.0070257×sin（β）-0.006758×cos（2β）+0.000907×sin（2β）-0.002697×cos（3β）+0.00148×sin（3β） （1-3）

其中，β為日角，，n為日數(shù)，從1月1日開始起n=1，比如1月3日n=3。

因此只要已知日期（年月日），就可以算出具體的赤緯角值。

由圖2可看出，太陽時(shí)角Ω是指從地球上的觀測(cè)點(diǎn)天球子午圈沿天赤道量至太陽所在時(shí)圈的角距離。子午圈和天赤道量屬于地理學(xué)中赤道坐標(biāo)系的概念，在本文中不過多展開。解釋一下太陽時(shí)角就是任一時(shí)刻太陽與直桿的連線在赤道面上的投影與觀測(cè)點(diǎn)正南方向的夾角。

設(shè)該地方的經(jīng)度為α，西經(jīng)為負(fù)值，東經(jīng)為正值，α范圍為（-180°，180°）。設(shè)該地方的北京時(shí)間為t（當(dāng)前時(shí)刻，單位為小時(shí)，例：12點(diǎn)36分即12.6小時(shí)），對(duì)于觀測(cè)點(diǎn)來說，不同時(shí)刻太陽相對(duì)于自己的方位也不一樣。這導(dǎo)致太陽時(shí)角的具體值也不同。所以太陽時(shí)角Ω與北京時(shí)間t和當(dāng)?shù)亟?jīng)度α有關(guān)。

查閱文獻(xiàn)[2]可知太陽時(shí)角Ω的計(jì)算公式：

其中S表示當(dāng)?shù)氐恼嫣枙r(shí)，即當(dāng)?shù)靥栁挥谡舷虻乃矔r(shí)，即當(dāng)?shù)氐恼纭?/p>

綜上公式1-1、1-2、1-3，如果已知某地經(jīng)度α和北京時(shí)間t，就可以求出此時(shí)刻的太陽時(shí)角Ω；如果已知該地的日期，就可以求出該地的太陽赤位角δ，如果再知道該地緯度，就可以求出太陽高度角h，結(jié)合桿高z可以求出影長(zhǎng)l。

通過公式1-1、1-2、1-3可得建立影長(zhǎng)變化模型：

2 有日期下經(jīng)緯度定位模型的建立

由于只要給出任意桿長(zhǎng)就可以遍歷所有經(jīng)緯度得到最有可能的地點(diǎn)，為了計(jì)算便捷，我們只給出桿長(zhǎng)為2米和3米兩種情況下，最有可能的經(jīng)緯度。

2.1 影長(zhǎng)的計(jì)算

若已知條件中直接給出了影長(zhǎng)則可以直接進(jìn)行step2，若影長(zhǎng)給出的是坐標(biāo)（x，y），則可以算出影長(zhǎng)，然后將經(jīng)緯度范圍內(nèi)的每個(gè)經(jīng)緯點(diǎn)這個(gè)時(shí)刻的影長(zhǎng)也算出來與之對(duì)比即可。

2.2 遍歷范圍的縮小

由于遍歷算法計(jì)算量巨大，所以我們考慮結(jié)合題目給出的北京時(shí)間數(shù)據(jù)和影子頂點(diǎn)變化曲線的特性來縮小遍歷的經(jīng)緯度范圍。

（1）估算大致經(jīng)度范圍。根據(jù)日夜?fàn)顟B(tài)與一定的背景信息先行縮小經(jīng)度范圍。

（2）估算大致緯度范圍。查閱地理學(xué)文獻(xiàn)[3]可以知道對(duì)于處在不同緯度的直桿，一天當(dāng)中的影長(zhǎng)軌跡可能有兩種情況。以北半球的夏季為例，北半球的夏季太陽直射點(diǎn)在北半球（赤道與北回歸線之間），那么位于直射點(diǎn)以南的地區(qū)（包括南半球），影子軌跡就如左圖；位于直射點(diǎn)以北的地區(qū)，一天的影子軌跡就如右圖。

2.3 將經(jīng)緯度范圍代入遍歷程序

我們考慮先在較大經(jīng)緯度范圍內(nèi)進(jìn)行粗遍歷，先找出最可能點(diǎn)所在的大致范圍，再縮小經(jīng)緯度范圍，縮小步長(zhǎng)，進(jìn)行精確定位。

（1）縮小可能的經(jīng)緯度范圍：由于初始遍歷的經(jīng)緯范圍比較大，為防止程序計(jì)算量過大導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間過長(zhǎng)，我們可以先選取較大的經(jīng)緯度變化步長(zhǎng)，。

（2）精確確定經(jīng)緯度：在得到粗略的經(jīng)緯度之后可以縮小步長(zhǎng)為0.01°，求出較為精確的地理坐標(biāo)。

3 無日期下經(jīng)緯度定位模型的建立

上一個(gè)模型已經(jīng)分析，只有已知某地的日期、緯度、經(jīng)度α、北京時(shí)間t和桿高z可以求出影長(zhǎng)l，在無日期下，如果沿用之前的模型，則需要遍歷確定日期和桿長(zhǎng)兩個(gè)量。

3.1 沿用之前模型計(jì)算不同日期下的經(jīng)緯度坐標(biāo)

我們?cè)谥暗谋闅v模型外加上一層遍歷365天的循環(huán)，然后重新遍歷。

在進(jìn)過試驗(yàn)后可以看出來，沿用之前的模型仍能求出一年365天每天的最有可能的經(jīng)緯度位置。但是無法確定附件給出的具體日期。因此我們加入地理學(xué)中太陽方位角的概念來確定日期。一天中物體影子的變化由影長(zhǎng)變化和影子方位（和正南方向的夾角）變化共同確定，通過上述遍歷法求得的結(jié)果很多且相似度很高是由于只考慮了影長(zhǎng)隨時(shí)間的變化的相似度，沒有考慮影子方位隨時(shí)間變化的相似度。上述模型中缺少描述影子方位變化參數(shù)。由此，我們引入極坐標(biāo)系，來討論影子方位角的變化值，以此確定影子方位變化，對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化。

3.2 日期的確定

（1）極坐標(biāo)系的建立。我們考慮將給出影長(zhǎng)坐標(biāo)的平面直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系。以直桿底端為原點(diǎn)，平面直角坐標(biāo)系的x軸正方向?yàn)闃O軸正方向，取逆時(shí)針方向?yàn)榻嵌鹊恼较?，建立極坐標(biāo)系：

與原平面直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：

（3-2）

其中ρ=l（影長(zhǎng)），θ為影子方向與極軸正方向所成的夾角。我們考慮利用上述極坐標(biāo)系求出附件2中各個(gè)時(shí)刻的θ。

（2）太陽方位角A的引入。固定直桿底端為極坐標(biāo)系的原點(diǎn)，變化極軸的方向，特別地，若以正南方向?yàn)闃O軸正方向，建立極坐標(biāo)系。

此時(shí)，有θ=A，A為太陽方位角（直桿影子與正南方向的夾角），太陽方位角A與太陽高度角h間關(guān)系如下：

（3-2）

上式中，δ為太陽赤緯，Ω為太陽時(shí)角，計(jì)算方法之前已經(jīng)給出。

所以，通過求解得到的每一天相似度最高地點(diǎn)的經(jīng)緯度、桿高、日期和觀測(cè)時(shí)間，即可算出每一天相似度最高的地點(diǎn)，任意觀測(cè)時(shí)刻的太陽方位角。

但是，由于建立極坐標(biāo)系時(shí)極軸方向的不同，通過計(jì)算得到太陽方位角A與利用附件原始平面直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化得到的極坐標(biāo)系中的θ是不同的（當(dāng)且僅當(dāng)極軸方向?yàn)檎戏较驎r(shí)θ=A）。

因此，我們考慮引入影子與極軸正方向夾角θ關(guān)于時(shí)間的變化量Δθ作為描述影子方位隨時(shí)間變化特性的參數(shù)，定義Δθ為影子方位角變化量。

我們定義Δθ為影長(zhǎng)坐標(biāo)給出的觀測(cè)后一時(shí)刻的θ與前一時(shí)刻θ的差值，由上述分析，太陽方位角A即為極軸方向?yàn)橹睏U正南方向時(shí)的θ，所以應(yīng)當(dāng)有Δθ=ΔA。

實(shí)際計(jì)算時(shí)，由于Δθ與ΔA不可能嚴(yán)格相等，我們考慮沿用歐式距離算法作為判定Δθ與ΔA相似度的算法，對(duì)求出來的一年365天每天的最有可能的經(jīng)緯度進(jìn)行二次窮舉，算出這365個(gè)經(jīng)緯地點(diǎn)方位角的變化量ΔA與附件所給的影子與極軸正方向夾角Δθ的歐氏距離，篩選出最小的歐氏距離，得到經(jīng)緯度。此時(shí)的經(jīng)緯度即最有可能的經(jīng)緯度地點(diǎn)，這個(gè)經(jīng)緯度對(duì)應(yīng)的日數(shù)即可推算出當(dāng)天日期。第二次歐氏距離計(jì)算公式如下：

（3-2）

遍歷365個(gè)日期對(duì)應(yīng)的經(jīng)緯度，求取Δθ與ΔA相似度最高的地點(diǎn)作為最優(yōu)解。

參考文獻(xiàn)：

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[3]武琳.基于太陽陰影軌跡的經(jīng)緯度估計(jì)技術(shù)研究[D].天津大學(xué)，2010.