柴建波

摘要：帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)問題一直以來是高考和各地模擬考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生而言之所以難是因?yàn)檫@類題目往往結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)和復(fù)合場的知識(shí)。其抽象的空間想象力和復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過程成了學(xué)生談“磁”色變的主因。在此，筆者結(jié)合課堂中的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，著重談?wù)勊俣却笮∠嗤⒎较虿煌膸щ娏Ｗ釉丛诖艌鲋械倪\(yùn)動(dòng)問題。

關(guān)鍵詞：發(fā)散型帶電粒子；圓形磁場；運(yùn)動(dòng)

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2016）05-0120

一、動(dòng)圓法處理粒子源的軌跡圓心和邊界

首先引入這樣的情景：在垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場中，在某點(diǎn)S有一粒子源在紙平面內(nèi)，朝各個(gè)方向發(fā)射速率相同的同種帶電粒子（重力不計(jì)），已知粒子的質(zhì)量為m，電荷量為+q，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，速度為ν，如圖1（a）所示。簡單分析下

很快便可以得出：這些粒子進(jìn)入磁場后，都在做半徑為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。那么這些粒子軌跡的分布具有怎樣的特點(diǎn)呢？

這里，通過畫圓的方法，我們?cè)囍鴱膸追N特殊的入射角度進(jìn)行探究，以紙面為平面建立水平方向和豎直方向的坐標(biāo)系。分別得到沿坐標(biāo)軸四個(gè)方向入射粒子的軌跡如圖1（b）所示。由圖大致可以得：軌跡的圓心分布在半徑也為R的圓上即圖1（b）中的虛線圍成的圓，軌跡的邊界分布在半徑為2R的圓上。那么這個(gè)結(jié)論是否可靠呢？為了證實(shí)這一想法，可采取做任意入射角度的粒子軌跡，即作動(dòng)圓的方法分析，最后由圖1（c）可證實(shí)。有了這個(gè)結(jié)論便可以幫助我們很快處理一些常見的題型。

例1. 在y>0的區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場垂直于xOy平面向外，原點(diǎn)O處有一離子源，沿各個(gè)方向射出速率相等的同價(jià)負(fù)離子，對(duì)于進(jìn)入磁場區(qū)域的離子，它們?cè)诖艌鲋凶鰣A周運(yùn)動(dòng)的圓心所在的軌跡可用下圖給出的四個(gè)半圓中的一個(gè)來表示，正確的是（ ）

分析：磁場垂直xOy平面向外并位于x軸上方，離子帶帶負(fù)電，利用左手定則判斷出離子運(yùn)動(dòng)方向。對(duì)于從第一象限射入的粒子，通過上述的畫動(dòng)圓的方法可以得到粒子軌跡的圓心分布在第二象限中，第二象限射入的粒子軌跡圓心在第三象限中，因此這里的C選項(xiàng)是正確的。同理粒子從第三和第四象限入射，如果有磁場的情況下，圓心分別分布在第四和第一象限上，很顯然不符合題意。

例2. （2005全國卷Ⅰ20）如圖，在一水平放置的平板MN的上方有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，磁場方向垂直于紙面向里。許多質(zhì)量為m帶電量為+q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向，由小孔O射入磁場區(qū)域。不計(jì)重力，不計(jì)粒子間的相互影響。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域，其中R=■。正確的是（ ）

分析：根據(jù)前面的結(jié)論，速度大小相同，方向不同的粒子源軌跡所圍成的邊界為半徑2R的圓，現(xiàn)在的磁場只存在MN的上方，因此畫動(dòng)圓的方法很自然可以選到正確的答案A。

二、磁聚焦和磁擴(kuò)散及其具體應(yīng)用

在前面的情景中，如果把磁場做些限制，即在某點(diǎn)S有一粒子源在紙平面內(nèi)朝各個(gè)方向發(fā)射速率相同的同種帶電粒子（重力不計(jì)），以S為坐標(biāo)原點(diǎn)建立XOY坐標(biāo)系，在XOY平面內(nèi)，有以O(shè)′（R，0）為圓心，為半徑的圓形磁場區(qū)域，方向垂直XOY平面向里。（已知粒子的質(zhì)量為m，電荷量為+qM磁感應(yīng)強(qiáng)度為BM速度為v），試問一粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)S以與x軸成角入射，判斷該粒子出磁場時(shí)的方向。

這時(shí)粒子的入射方向也被限制在第一和第二象限，取兩個(gè)任意的入射角，可得圖2（a）和圖2（b）所示，結(jié)合圖形，由于此時(shí)的圓周運(yùn)動(dòng)半徑和磁場的半徑均為R，分別連接兩圓的交點(diǎn)和兩個(gè)圓心，得到四邊形如上圖2，由數(shù)學(xué)知識(shí)可知四邊形為菱形，從而得出SO′始終平行于BO，而BO1必定垂直粒子的出射方向，即當(dāng)R圓=R磁時(shí)，從磁場邊界上某一點(diǎn)沿不同方向入射的同類帶電粒子，在離開磁場時(shí)速度方向互相平行（如圖3所示）

拓展后可得從O點(diǎn)（y>0）射出的粒子（速率相同）通過磁場后均沿+x方向平行射出，如圖4（a）。同理沿+x方向平行射出的粒子（速率相同）通過磁場后匯聚在O點(diǎn)，如圖4（b）所示。那么這兩種情景我們稱之為磁擴(kuò)散和磁聚焦。

例3. 如圖所示，紙面內(nèi)有寬為L水平向右飛行的帶電粒子流，粒子質(zhì)量為m，電荷量為-q，速率為v0，不考慮粒子的重力及相互間的作用，要使粒子都匯聚到一點(diǎn)，可以在粒子流的右側(cè)虛線框內(nèi)設(shè)計(jì)一勻強(qiáng)磁場區(qū)域，則磁場區(qū)域的形狀及對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以是（其中B0=，A、C、D選項(xiàng)中曲線均為半徑是L的圓弧，B選項(xiàng)中曲線為半徑是的圓）（ ）

分析：這是典型的“磁聚焦”問題，帶電粒子流水平向右飛入勻強(qiáng)磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于不同的位置，但速度大小方向均相同，則它們的運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑相同。而它們的圓弧長度不一，則飛行時(shí)間不同。由于帶電粒子流的速度均相同，則當(dāng)飛入A、B、C這三個(gè)選項(xiàng)中的磁場時(shí)，它們的軌跡對(duì)應(yīng)的半徑均相同。唯有D選項(xiàng)因?yàn)榇艌鍪?B0，它的半徑是之前半徑的2倍，不能匯聚于一點(diǎn)。然而當(dāng)粒子射入B、C兩選項(xiàng)時(shí)，也不可能匯聚于同一點(diǎn)。結(jié)合圖4（b）知A選項(xiàng)滿足題目要求，能匯聚于一點(diǎn)，故選A。

三、展望高考，個(gè)人感悟

實(shí)際上，高考對(duì)于這一類特殊粒子源的考查早已展開，細(xì)數(shù)歷次高考卷和各地模擬卷，我們多多少少可以找到一些痕跡，且出現(xiàn)的形式往往是計(jì)算大題。在課堂實(shí)踐中，為了消除學(xué)生對(duì)于這類問題的恐懼，作為教育工作者，我們有責(zé)任也有義務(wù)化繁為簡，把物理學(xué)中最美的一面展現(xiàn)出來，用最簡潔的規(guī)律幫助學(xué)生走出題海的深淵。

（作者單位：浙江省寧波市象山縣象山中學(xué) 315700）