變化多端的全等三角形

萬廣磊

全等三角形的魅力在于運(yùn)動(dòng). 中考數(shù)學(xué)試題一般以平移、軸對(duì)稱（翻折）和旋轉(zhuǎn)為圖形變換方式，綜合考查全等三角形的判定與性質(zhì). 下面以2016年的中考數(shù)學(xué)題為例進(jìn)行剖析.

一、 平移

例1 （2016·湖北武漢）如圖1，點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求證：AB∥DE.

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件結(jié)合圖形選擇合適的方法. 要證AB∥DE，需證∠ABC=∠DEF，因此考慮證明它們所在的兩個(gè)三角形全等.已知有兩組邊分別相等，再證明另一組邊分別相等，利用“SSS”證明即可. 具體步驟：

證明：∵BE=CF，∴BC=EF；

在△ABC和△DEF中，

∵BC=EF，AB=DE，AC=DF，

∴△ABC≌△DEF（SSS），

∴∠ABC=∠DEF，∴AB∥DE.

【點(diǎn)評(píng)】縱觀本題，圖中的△DEF與△ABC是通過平移得到的，平移不改變圖形的形狀和大小，平移前后對(duì)應(yīng)線段相等且平行（或在同一直線上）. 在有兩組對(duì)應(yīng)邊分別相等的前提下，可以求第三組對(duì)應(yīng)邊相等，或者求兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角相等，注意必須是夾角；若有三組對(duì)應(yīng)邊分別相等，則可以直接根據(jù)“SSS”求解. 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等，不能判定三角形全等，即不存在“SSA”判定三角形全等的方法. 如圖2所示，AB=DE，∠B=∠DEF，AC=DF，但是△ABC與△DEF不全等.

二、 軸對(duì)稱（翻折）

例2 （2016·江西）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將Rt△ABC向下翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為DE，求證：DE∥BC.

【分析】本題考查了三角形的折疊和平行線的判定，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì). 要證明DE∥BC，必須考慮到∠AED=∠ACB=90°，而如何得到∠AED=90°，就聯(lián)想到ED平分一個(gè)平角，這可以由折疊得到.

證明：由折疊可知：△ADE≌△CDE，

∴∠AED=∠CED，

又∵點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，∴∠AEC為平角，

∴∠AED=∠CED=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠AED=∠ACB，∴DE∥BC.

【點(diǎn)評(píng)】圖中的△ADE與△CDE是通過折疊得到的，折疊屬于軸對(duì)稱變換，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，進(jìn)而可以找出位置變化前后相應(yīng)的角相等，線段相等，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為全等判定的條件.

三、 旋轉(zhuǎn)

例3 （2016·湖北荊門）如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，CE=BC，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得CF，連接EF.

（1） 補(bǔ)充完成圖形；

（2） 若EF∥CD，求證：∠BDC=90°.

【分析】本題是一道作圖與證明的綜合題，其中涉及直角三角形、圖形的旋轉(zhuǎn)、全等三角形的判定、平行線的性質(zhì)等，在解第（2）問時(shí)，關(guān)鍵是得到△BCD≌△ECF，結(jié)合條件推出∠F=90°，通過全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，得到∠CFE=∠BDC=90°. 具體步驟：

解：（1） 解：所補(bǔ)圖形，如圖5所示；

（2） 證明：∵∠BCA=∠DCF=90°，

∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，

即∠BCD=∠ECF. 又CB=CE，CD=CF，

∴△BCD≌△ECF（SAS），∴∠BDC=∠CFE，

∵CD∥EF，∴∠DCF+∠CFE=180°，

∵∠DCF=90°，∴∠BDC=∠CFE=90°.

【點(diǎn)評(píng)】圖中的△CEF是通過旋轉(zhuǎn)△CBD得到的，旋轉(zhuǎn)不改變圖形形狀和大小，旋轉(zhuǎn)角相等，由此可以得到相應(yīng)的角相等，為全等三角形的判定和角度的計(jì)算提供了條件.

四、 旋轉(zhuǎn)與平移的組合

例4 （2016·河北）如圖6，點(diǎn)B、F、C、E在直線l上（F、C之間不能直接測(cè)量），點(diǎn)A、D在l異側(cè)，測(cè)得AB=DE，AC=DF，BF=EC.

（1） 求證：△ABC≌△DEF；

（2） 指出圖中所有平行的線段，并說明理由.

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是尋找全等三角形判定的條件. 第（1）問中，已知兩邊分別相等，再根據(jù)BF=EC得BC=EF，可根據(jù)“SSS”證得△ABC≌△DEF；（2）由△ABC≌△DEF可得∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，再根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行”可證得AB∥DE，AC∥DF. 具體步驟：

解：（1） 證明：∵BF=EC，∴BF+FC=EC+CF，

即BC=EF；又∵AB=DE，AC=DF，

∴△ABC≌△DEF.

（2） 有AB∥DE，AC∥DF.

理由：∵△ABC≌△DEF，

∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE.

∴AB∥DE，AC∥DF.

【點(diǎn)評(píng)】圖中的△DEF與△ABC是通過旋轉(zhuǎn)再平移得到的，其中的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角并不會(huì)因?yàn)槲恢玫淖兓淖儯@也為全等三角形和平行線的判定提供了條件.

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校）