例談數(shù)學(xué)思想和方法在解題中的滲透オ

陳錦鋼

所謂數(shù)學(xué)思想就是指對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)和規(guī)律的認(rèn)識(shí)，也是我們解決數(shù)學(xué)問題的核心手段數(shù)學(xué)思想是解題的靈魂，數(shù)學(xué)方法則是解題的利器，這兩種相互滲透、相互聯(lián)系，密不可分?jǐn)?shù)學(xué)方法在量的積累后，會(huì)產(chǎn)生質(zhì)的變化，即是數(shù)學(xué)思想的形成通過數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，可以在數(shù)學(xué)知識(shí)與解題中架設(shè)橋梁，對(duì)學(xué)生知識(shí)積累、能力提升和綜合素養(yǎng)產(chǎn)生影響本文將從實(shí)際問題出發(fā)，探究如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透

一、在解題中滲透化歸思想

化歸思想是指在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，聯(lián)系新舊知識(shí)，將欲解決的陌生問題向?qū)W生們所熟悉的方面進(jìn)行轉(zhuǎn)化，借助幾何圖形、數(shù)學(xué)公式，實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)、化難為易化歸思想在解決幾何圖形問題、代數(shù)證明題、分式轉(zhuǎn)化題中都有著顯著的優(yōu)勢(shì)在化歸思想的使用中，常常會(huì)涉及待定系數(shù)法、配方法、轉(zhuǎn)化法等通過此類數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，可以幫助學(xué)生掌握多種數(shù)學(xué)方法，對(duì)提高學(xué)生解題效率幫助明顯

例1如圖1所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，AD=3，BC=5，試求AC的長

解析首先，從題中所給條件來看，要想直接求出AC的長度似乎是不可能的對(duì)此，我們必須利用化歸思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將我們未知的邊長向已知邊長進(jìn)行轉(zhuǎn)化要想將AC邊與已知邊聯(lián)系起來，我們繪制出了如圖虛線所示的輔助圖形繪制過程如下：過D點(diǎn)作DE⊥BD，并交BC的延長線于點(diǎn)E，得到AD=CE、AC=DE然后，由題中已知條件AC⊥BD，則可知BD⊥DE再由AB=CD，我們可以得到AC=BD，再結(jié)合AC=DE，最終得到BD=DE在直角三角形BDE中，BE2=BD2+DE2，可以求得BD=[KF（]2[KF）]2BE=4[KF（]2[KF）]最后利用BD=AC，我們可以求出AC的長度為在本題中，我們利用梯形對(duì)角線互相垂直的特點(diǎn)，通過將對(duì)角線進(jìn)行平移，將等腰梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和直角三角形如此一來，我們?cè)诨瘹w思想的指導(dǎo)下，利用幾何圖形的轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)了本題的求解

二、在解題中滲透數(shù)形結(jié)合思想

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想是聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁，代數(shù)即是數(shù)，幾何即是形從表面上來看，這兩者似乎是分隔的，但在數(shù)形結(jié)合思想的幫助下，數(shù)量關(guān)系和幾何圖形可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化通過數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)，學(xué)生們得以將抽象的圖形問題代數(shù)化，也能將復(fù)雜的代數(shù)問題圖形化在數(shù)學(xué)解題中，數(shù)形結(jié)合思想可以拓寬學(xué)生思維，有利于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力

例2如圖2所示，C為線段BD上的一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、D作AB⊥BD、ED⊥BD，連接AC、EC已知AB=5，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x

（1）試用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長；

（2）試問點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC+CE的值最??；

（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值

解析對(duì)于第一問，我們直接利用勾股定理便可以求得，即是將幾何圖形轉(zhuǎn)化成代數(shù)表達(dá)，可得對(duì)于第二問，要使AC+CE的值最小，也就相當(dāng)于要求出第一問中的代數(shù)表達(dá)式的最小值此時(shí)，很多學(xué)生會(huì)直接利用第一問中得到的代數(shù)表達(dá)式進(jìn)行求解但中學(xué)生受到自身知識(shí)的局限性，他們往往難以直接求出此時(shí)，我們不妨引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的知識(shí)進(jìn)行求解對(duì)此，教師要求學(xué)生對(duì)該幾何圖形進(jìn)行觀察，要求他們對(duì)AC+CE的長度表達(dá)進(jìn)行探究觀察后，我們不難發(fā)現(xiàn)本題的考點(diǎn)就是求兩點(diǎn)之間的最短距離，結(jié)合“兩點(diǎn)之間直線距離最短”的定理，我們很容易得到當(dāng)C點(diǎn)位于BD和AE交點(diǎn)處時(shí)，AC+CE即可取得最小值對(duì)于第三問，我們不妨在第二問的猜想上繪制輔助線，如圖3所示那么，代數(shù)式的值即相當(dāng)于線段AE的長度于是，在直角三角形AEF中，AF=AB+DE=6、EF=BD=8，利用勾股定理可得AE=10在本題中，我們利用數(shù)形結(jié)合思想，通過對(duì)代數(shù)問題與幾何知識(shí)之間的反復(fù)轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)了對(duì)本題求解過程的簡(jiǎn)化，最終順利求解出正確答案

三、在解題中滲透建模思想

數(shù)學(xué)建模是解決實(shí)際問題的有效手段，通過數(shù)學(xué)模型的建立，我們可以幫助學(xué)生將課堂知識(shí)與實(shí)際問題相聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用化和實(shí)踐化數(shù)學(xué)建模思想是指從問題的關(guān)系量分析入手，通過抽象和假設(shè)的方法，對(duì)實(shí)際問題建立對(duì)應(yīng)的解題模型通過數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué)，我們可以拉近課堂與學(xué)生生活的距離，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的重要性，從而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

例3某水果批發(fā)市商銷售每箱進(jìn)價(jià)為40元的蘋果，物價(jià)部門規(guī)定每箱售價(jià)不得高于55元市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價(jià)格銷售，平均每天銷售90箱，價(jià)格每提高1元，平均每天少銷售3箱

（1）求平均每天銷售量y箱與銷售單價(jià)x元之間的關(guān)系；

（2）求該銷售商平均每天的銷售利潤W元與銷售價(jià)x元之間的關(guān)系；

（3）當(dāng)每箱蘋果售價(jià)多少元時(shí)，可以獲得最大利潤，最大利潤是多少？

解析本題屬于實(shí)際數(shù)學(xué)應(yīng)用題，對(duì)學(xué)生的審題能力和函數(shù)知識(shí)提出了較高的要求，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力進(jìn)行考查首先，對(duì)于第一問，我們從題中已知信息可得每天銷售量與單價(jià)之間的關(guān)系，即是y=90-3（x-50）=-3x+240第二問同樣如此，只是較第一問相對(duì)復(fù)雜一點(diǎn)而已，基本思路還是一樣的每天利潤W=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600此時(shí)，要求每日銷售利潤的最大值就是相當(dāng)于求解該二次函數(shù)模型的最值利用二次函數(shù)知識(shí)，我們可以迅速地求出當(dāng)售價(jià)為55元時(shí)，平均每日銷售利潤可以達(dá)到最大值1125元在新課改背景下，中考數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生們實(shí)際問題的應(yīng)用考查越發(fā)的注重?cái)?shù)學(xué)建模思想作為解決實(shí)際問題的重要途徑，我們必須在日常的教學(xué)中進(jìn)一步加以強(qiáng)化和重視

總之，數(shù)學(xué)思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們不僅需要把握好以上的幾類數(shù)學(xué)思想教學(xué)，更要不斷探究，為學(xué)生們創(chuàng)設(shè)出更多有效的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)模式