空間二次代數(shù)曲面的最優(yōu)有理參數(shù)化

摘 要：利用三角形網(wǎng)格均勻面積參數(shù)化的思想，提出了有理參數(shù)曲面上曲面片的最優(yōu)參數(shù)化評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。根據(jù)構(gòu)造具有幾何意義的二次代數(shù)曲面有理參數(shù)化方法，確定了二次代數(shù)曲面上指定曲面片的最優(yōu)或逼近最優(yōu)的有理參數(shù)化方程。最后通過(guò)實(shí)例對(duì)該方法與傳統(tǒng)方法得到的參數(shù)化結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

關(guān)鍵詞：代數(shù)曲面；參數(shù)曲面；均勻面積參數(shù)化；最優(yōu)參數(shù)化

引言

曲面表示形式主要有參數(shù)曲面和代數(shù)曲面兩種，它們各有其內(nèi)在的優(yōu)點(diǎn)，能否將兩種形式的曲面進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)換，一直是CAGD的重要研究課題之一[1-3]。從數(shù)學(xué)意義上講，二次代數(shù)曲面的有理參數(shù)化問(wèn)題已完全解決了，但還遠(yuǎn)不能滿足工程制造、醫(yī)學(xué)研究等領(lǐng)域?qū)嶋H應(yīng)用的需求。

目前，傳統(tǒng)的代數(shù)曲面參數(shù)化算法有很好的顯示效果，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度的變化構(gòu)造的曲面圖形具有很好的視覺(jué)性和美觀性。但是很難做到在參數(shù)均勻選取時(shí)，能有均勻的參數(shù)化效果。三角形網(wǎng)格曲面參數(shù)化[4-5]一直是曲面造型領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題，但通過(guò)三角網(wǎng)格對(duì)曲面進(jìn)行參數(shù)化，它只是對(duì)物體形狀的逼近，且需要通過(guò)3D掃描技術(shù)獲得曲面表面的所有網(wǎng)格點(diǎn)的幾何信息，然后通過(guò)拓?fù)渲亟ǖ玫饺蔷W(wǎng)格的參數(shù)化。這種方法的缺點(diǎn)是需要采集曲面上的所有點(diǎn)并存儲(chǔ)到計(jì)算機(jī)內(nèi)，并且這種參數(shù)化得到的網(wǎng)格也不是均勻的。

文章利用三角形網(wǎng)格均勻面積參數(shù)化的思想，提出了衡量有理參數(shù)曲面上曲面片的最優(yōu)參數(shù)化評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。提出了具有幾何意義的二次代數(shù)曲面有理參數(shù)化的構(gòu)造方法，且通過(guò)該方法，得到了二次代數(shù)曲面上任意曲面片的最優(yōu)或逼近最優(yōu)的有理參數(shù)化方程。大量實(shí)例表明，文章方法計(jì)算量小，效率高，效果好。

1 問(wèn)題描述

設(shè)f（x，y，z）是關(guān)于x，y，z的三元二次多項(xiàng)式，方程f（x，y，z）=0定義了一個(gè)二次代數(shù)曲面C。S是曲面C上的三角形曲面片，其三個(gè)角點(diǎn)為Vi，j，k，平面Hi，j，k分別經(jīng)過(guò)角點(diǎn)Vj和Vk，Vi和Vk，Vj和Vi，邊界線Li，j，k是平面Hi，j，k與二次曲面C的交線，三個(gè)角點(diǎn)Vi，j，k所在平面為H，i，j，k=1，2，3，且互不相同。如圖1所示。

事實(shí)上，在確定三角曲面片S的三個(gè)角點(diǎn)的參數(shù)為（0，0），（0，1），（1，0）后， 當(dāng)M點(diǎn)遍歷C-S時(shí)，就得到了對(duì)應(yīng)于S的所有二次有理參數(shù)方程。因此，上述參數(shù)化方法實(shí)際上確定了S的二次有理參數(shù)方程的幾何意義。特別，當(dāng)平面H1，H2，H3的交點(diǎn)恰好在曲面C上，并將其取為M時(shí)，曲面片S所對(duì)應(yīng)的參數(shù)范圍為以（0，0），（0，1），（1，0）為頂點(diǎn)的直角三角形；當(dāng)平面H1，H2，H3的交點(diǎn)在曲面C外，此時(shí)，曲面片S所對(duì)應(yīng)的參數(shù)域曲邊三角形是只有一邊為曲邊的曲邊三角形。

4 最優(yōu)參數(shù)化

根據(jù)上節(jié)二次代數(shù)曲面有理參數(shù)方程的構(gòu)造方法，若要得到曲面S的最優(yōu)有理參數(shù)化方程，只需找到點(diǎn)M，使其對(duì)應(yīng)的？祝（P（u，v））最小。首先找出曲面片S上的三條關(guān)鍵曲線，利用文獻(xiàn)[6]和文章代數(shù)曲線的參數(shù)化算法，得到最優(yōu)時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Mi（i=1，2，3）；然后利用Mi構(gòu)造曲面片S的最優(yōu)參數(shù)化方程。基本步驟如下：

（1）記平面Hi，j，k兩兩相交的交線分別為gij，gjk，gik，Vi，j，k兩兩相連的中點(diǎn)分別為Vij，Vjk，Vik，則過(guò)gij和Vij，gik和Vjk，gik和Vik的平面為Ei，j，k，稱Ei，j，k與S的交線di，j，k為曲面片S的三條關(guān)鍵曲線。求交線di，j，k的最優(yōu)有理參數(shù)化方程，找到對(duì)應(yīng)的最優(yōu)參數(shù)化點(diǎn)Mi，j，k，其中i，j，k=1，2，3且互不相同。（2）記點(diǎn)Mi，j，k所構(gòu)成的三角形的重心為Q0，記角點(diǎn)Vi，j，k所構(gòu)成的三角形的重心記為V0，連接V0Q0，與曲面C交于兩點(diǎn)，則在曲面C-S上的一點(diǎn)即為曲面片S的最優(yōu)參數(shù)化點(diǎn)M。（3）將M帶入公式（1）（2）（3），得到的就是曲面片S的最優(yōu)參數(shù)化方程。

5 實(shí)例分析

6 結(jié)束語(yǔ)

文章提出了衡量空間代數(shù)曲面最優(yōu)有理參數(shù)化的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。理論上，最優(yōu)有理參數(shù)化方程可求，但是計(jì)算量非常大。文章根據(jù)二次代數(shù)曲面有理參數(shù)方程的幾何意義，構(gòu)造出了二次代數(shù)曲面上任一三角曲面片的十分接近于最優(yōu)的有理參數(shù)化方程，所用計(jì)算量小，效率高。但由于曲面本身的性質(zhì)決定，其參數(shù)域范圍是一個(gè)由三條二次曲線組成曲邊三角形，在使用時(shí)會(huì)帶來(lái)不便。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，可以選擇用平面Hi，j，k與曲面的交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)域（只有一邊為曲邊的曲邊三角形），來(lái)尋找最優(yōu)。

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介：侯倩（1988-），女，碩士，主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)圖形學(xué)。