尋找數(shù)學(xué)的精氣神體會轉(zhuǎn)化和化歸無所不能

錢先鋒

如何在叢林密布的知識的海洋中，尋找并選取一種數(shù)學(xué)思想方法適用于日常教學(xué)中，如何更接“地氣”，一直是很多老師苦苦尋覓的方向.本文結(jié)合筆者日常教學(xué)的觀察和考察，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化和化歸可以說是一把解題的“萬能鑰匙”，但是如何培養(yǎng)學(xué)生這樣運用轉(zhuǎn)化和化歸的能力，進而培養(yǎng)學(xué)生基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這是作為教師應(yīng)該思考并解決的問題.

一、轉(zhuǎn)化

轉(zhuǎn)化就是將數(shù)學(xué)命題由一種形式轉(zhuǎn)向另一種形式的轉(zhuǎn)換過程.如常見的換元法，配方法，參數(shù)法，待定系數(shù)法，數(shù)形結(jié)合法等等，下面我們看看轉(zhuǎn)化在實際解題時的巧妙應(yīng)用.

例1已知△ABC的三邊a，b，c成等比數(shù)列，且sinB+cosB=m2.求實數(shù)m的取值范圍.

分析先將已知條件和求解目標(biāo)一一列出進行對比（審題要仔細(xì)，充分挖掘已知）

已知條件1b2=ac，

已知條件2sinB+cosB=m2，

已知條件3A+B+C=π.（三角形的隱含條件注意引用）

思考已知條件中有邊有角，但是結(jié)論卻是無邊無角；又由于三角函數(shù)名不同，故應(yīng)轉(zhuǎn)化變?yōu)榻牵ɡ谜叶ɡ砘蛴嘞叶ɡ硖幚恚?已知條件是等量關(guān)系，但是求解卻是不等式關(guān)系，表面上是求m的范圍，實則是求sinB+cosB，也就是先求B的范圍，故應(yīng)用函數(shù)2sin（B+π4）的有界性構(gòu)造出不等式（又一次轉(zhuǎn)化）來限定m的取值范圍.條件中給的是A，B，C三個角，但真正與m的范圍相對應(yīng)的只有B角，所以就必須將A與C轉(zhuǎn)化（第三次轉(zhuǎn)化）為B角（隱含條件A+B+C=π在這里運用）.

解因為a，b，c成等比數(shù)列，所以b2=ac.

邊化角得sin2B=sinAsinC積化和差得

1-cos2B=-12[cos（A+C）-cos（A-C）]

=-12[-cosB-cos（A-C）]，

即2cos2B+cosB+cos（A-C）-1=1.

又因為cos（A-C）≤1，

所以2cos2B+cosB-1≥0，

即cosB≥12或cosB≤-1（舍去），

故0≤B≤π3.

又sinB+cosB=2sin（B+π4），

π4

所以1<2sin（B+π4）≤2，

即1

故m的取值范圍是[-42，-1]∪（1，42].

此題中，表面上，不等與相等是矛盾對立的，但是通過轉(zhuǎn)化，就可以避重就輕，另辟蹊徑，挖掘其中的不等關(guān)系，由相等轉(zhuǎn)化為不等才是這道題的關(guān)鍵.

下面我們再看看轉(zhuǎn)化在處理多元的函數(shù)或方程的問題時的妙用，我們可選取其中的某個量，將其看做是“主元”，即自變量，而把其它的量看作次元即常量，從而達(dá)到減少變元，簡化運算的目的.

華羅庚先生曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微.”所以數(shù)與形的完美結(jié)合才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最高境界.那么如何巧妙地將兩者聯(lián)系在一起呢，人們往往通過建立坐標(biāo)系，突破了這一障礙.引入數(shù)量，化靜為動，以動求靜.相互滲透，相互轉(zhuǎn)化，根據(jù)題設(shè)已知，對目標(biāo)進行聯(lián)系構(gòu)造，再適當(dāng)運用數(shù)學(xué)圖形解決問題.

二、化歸的妙處

化歸是將要解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化的過程歸結(jié)到一類已解決的且較容易解決的的問題.下面我們看看數(shù)學(xué)必修五作業(yè)本的一道題.

例2已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，a1=3，SnSn-1=2an （n≥2），求通項公式an.

此題當(dāng)時作業(yè)本收上來同學(xué)們都說不會做，一片茫然.我提示他們聯(lián)想到我們前面講解遞推通項時講過的一道題.

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1an=an+1-an，求數(shù)列{an}的通項公式an.

解等式兩邊同時除以anan+1，

得1=1an-1an+1，1an+1-1an=-1=d，

得通項公式an=12-n.

兩道題無論從形式還是結(jié)論都有著很多形似.于是我讓學(xué)生思考討論這道題的做法，再回頭看看前一題，此時同學(xué)們恍然大悟！

三、轉(zhuǎn)化的意義

一般問題的特殊化，使問題處理變得直接，簡單；特殊問題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律，從而達(dá)到成批處理的效果.譬如我們平時在做選擇題時代入特殊值求解，往往可以排除假偽，快速便捷.

簡而言之，轉(zhuǎn)化和化歸就是將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將實際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，使問題通俗易懂，將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知范圍內(nèi)可以解決的問題，即化“腐朽”為“神奇”.不斷地變換你的問題，不斷地轉(zhuǎn)換角度思考問題，直到找到某些有用的與已知的相關(guān)連的東西為止.轉(zhuǎn)化和化歸貫穿于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，貫穿于解題過程的始終，它是解決問題的最重要的，應(yīng)用最廣泛的一種數(shù)學(xué)思想，它在我們的教學(xué)應(yīng)用之廣，可謂無處不在.所以培養(yǎng)學(xué)生基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，教會學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸的思想對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是事半功倍的.轉(zhuǎn)化和化歸思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最基本也是最重要的思想，也是我們在解決數(shù)學(xué)問題中最常見方法和技巧.因此“抓雙基，重轉(zhuǎn)化”才是學(xué)好數(shù)學(xué)的一把“萬能鑰匙”！