學習數(shù)學，讓我們看得更遠

曹一鳴 張曉旭 周明旭

訪談人：林院士，您好！我們這次對您訪談的目的主要是想請您談談有關中小學生學習數(shù)學的一些話題，希望您能夠給現(xiàn)在的這些孩子一些生活、學習上的建議。我們就先從您的求學經(jīng)歷開始聊吧。您在福建讀書時，都有哪些難忘的經(jīng)歷？

林群：非常高興能和你們談談有關中小學生學習數(shù)學的話題，這對我來說是一段有特殊經(jīng)歷的回憶，也是美好的、有趣的。

上小學的時候，正好是八年抗戰(zhàn)時期，整個大環(huán)境的局勢不太穩(wěn)定，不過那時候年齡小，要學的知識也不多，懂得的東西也不多。上了中學之后，尤其是到了高中，才算真正接受了比較正規(guī)的訓練。上中學的時候，到了解放初期，國家對教育質量的提高比較重視，投入也比較多。我很幸運地上了福州第一中學，那是一所在全國范圍內(nèi)都很有名的中學，培養(yǎng)了不少的人才，大約培養(yǎng)出了十幾個院士。這一方面是因為國家的改革力度比較強，另一方面是因為學校的師資水平高，對生源的要求也高。正是在這種比較嚴格的培養(yǎng)環(huán)境下，我慢慢地受到了很多啟發(fā)，尤其是關于學習方法方面的。這段學習經(jīng)歷對我的影響是非常重大的。

我記得高中時候老師上課就挺有特點的，一堂課，老師總是在前半堂課把課講完，接著后半堂課給我們講講學習的感受和方法，或者講科學家的故事，這對我們的幫助還是挺大的。當時的那種教學方式培養(yǎng)了我對數(shù)學學習的興趣，這對我的影響很大。

訪談人：您說過，不是名牌大學的學生也可以將數(shù)學學得很好，中學生也能將微積分學得很好，這些孩子都喜歡數(shù)學，自己不僅會在圖書館或者網(wǎng)上查閱資料學習，還很注重體會，這些都是能找到適合自己學習方法，還愛學數(shù)學的學生?？磥砼d趣和方法對于數(shù)學學習來說還是相當重要的，您怎么看這個問題？

林群：關于數(shù)學，表面看起來確實跟社會或者跟實際生活離得比較遠，但其實你要是了解數(shù)學，你會發(fā)現(xiàn)這真的只是表面現(xiàn)象。比如現(xiàn)在人人不離手的手機，這后面的技術很多都是基于數(shù)學的算法和方程。我們用的手機其實可以看作是數(shù)學物化出的產(chǎn)物。

關于學習方法，從古至今就沒有一個定論，都是因人而異的。不過學習數(shù)學確實很在意方法，而且還需要學習者的熱情。你要是想學好數(shù)學，就得對它有高度的興趣，用興趣激發(fā)你的熱情，再夸張點兒，讓你朝思暮想、如癡如夢地喜歡數(shù)學。專注地學習，這一點對于數(shù)學工作者來說太重要了。有了興趣，就得注意數(shù)學的基礎性。數(shù)學的學習過程要循序漸進，每一步都要走得踏踏實實，跟蓋房子一樣，每一層都要蓋得很牢固。最重要的是小學階段，小學階段比中學階段重要，中學階段比大學階段重要，大學階段比專業(yè)化階段之后重要，越是基礎的課程越重要。我在作科普講座的時候也愛強調這點，科普講座是要啟發(fā)學生、開拓思維，但是正課也一定要上好，好好做習題也很關鍵。正課是讓學生在直路上前進，在科普講座上讓學生了解人類發(fā)展歷程中的彎曲的探索過程，也是幫助他們對正課上的一些內(nèi)容增加認識。通過這些故事和經(jīng)歷，告訴學生要不斷總結適合自己的經(jīng)驗方法，不斷地學習，這就是正確的方法。

訪談人：您在數(shù)學科普上有過很多努力和嘗試，尤其是在微積分方面。可我們都知道，現(xiàn)在微積分在大學是理工科學生必修的，但對于一些文科專業(yè)的學生來說就沒有要求。文理科學生對于數(shù)學的這個要求就不太一樣。關于文理分科這個現(xiàn)象，您怎么看？

林群：文科理科都很重要。文科生講課會講得非常好，因為文科生的思維比較寬，他們會從更廣的角度去看問題。理科生看待問題就會以理論為依據(jù)，而且非常專業(yè)。但是文科不會這么講，文科生要從故事、從思想開始講。歐洲是先文藝復興，后科學復興。文藝復興在前，文藝復興引起科學復興。沒有文藝開道的話，文藝解放不了，科學就解放不了。

我常想，文理分科，會不會拓展理科生看問題的角度？因為理科學生看問題的角度不夠靈活。有一個朋友告訴我，他讀了托爾斯泰的《戰(zhàn)爭與和平》，因為《戰(zhàn)爭與和平》講到怎么用數(shù)學。我有一個學生去了北京大學，他打電話告訴我，托爾斯泰真的講了微積分。后來我就問他托爾斯泰為什么會講到微積分，他說俄羅斯貴族有兩個必要條件：一個是會講法文，一個是會微積分，所以托爾斯泰應該是學過微積分的。俄國還有一個作家用“非歐幾何”寫小說，因為俄羅斯貴族必須學微積分。

訪談人：我們現(xiàn)在教學方面手段比原來多了，計算機已經(jīng)非常普及，不少中小學的課堂里也都有了。我們那時候上大學老師教上網(wǎng)我們都學不會，現(xiàn)在小學生自己就會，反而學得比我們更快。像現(xiàn)在計算機進入中學這一現(xiàn)象，一方面給學生提供更多的學習資料、豐富的資源，一方面家長也會擔心影響學生的學習。您覺得該怎么樣來處理這樣一個問題？

林群：我們現(xiàn)在的學生都是很好的，計算機可以幫助他們更好地自學。比如說我問個問題，他一查就知道；比如說我現(xiàn)在做研究，想知道特征值，他在網(wǎng)上一查，全世界關于特征值的文章都可以知道，從這點看還是很有用的。所以我覺得，學生如果自覺，計算機就不會對他產(chǎn)生負面影響。如果學生不自覺，當然就會出問題。北京大學有個學生，奧數(shù)競賽拿了金牌，上了大學后就玩游戲，不上課，結果只好退學了。如此看來，計算機怎么用很關鍵，用得好有好處，尤其是中小學生，用不好就有壞處。用得好就會促進學習，如虎添翼；用不好就只會玩游戲，玩物喪志?，F(xiàn)代技術的應用和發(fā)展是不可阻擋的，而且總體還是好的。

比如在學習微積分方面，計算機是有好處的?，F(xiàn)在大家學習微積分，最主要的是要掌握微積分概念，計算就不要做那么多了，計算也不需要用到很多技巧?，F(xiàn)在很多學生數(shù)學概念掌握不到位，而這些概念性的知識目前計算機還不能解決到位，需要學生自己消化理解。計算機只能做有限的、簡單的處理，就像算得再多位也是有限的，但是“是什么”這個問題計算機回答不上來，計算機可以算一億位、幾十億位，但都不完整，后面還有，只有以微積分的形式才能寫出來是多少。這種東西是計算機所不能代替的，但是計算機能帶來很多好處。再比如微積分題目，在網(wǎng)上一查就查出來，就可以不要做了。有了計算機的幫助，可以更多地學習思想、學習概念，計算方面的處理盡可能多地交給計算機。

訪談人：您曾經(jīng)在科學成就的獲得這方面談過，很多學生喜歡數(shù)學、喜歡科學，從小就立志成為一位數(shù)學家、科學家，您的這些體會對于他們來說也會是非常有意義的。

林群：許多人認為，科學發(fā)展有其自身規(guī)律，實質性的進步需要積累、準備和機遇，往往是幾代人的努力，大家不斷地推進，到了即將突破的前夜，所謂“山雨欲來風滿樓”，最后才有個別幸運兒“站在巨人的肩膀上”摘到了蘋果。牛頓，甚至愛因斯坦的出現(xiàn)也絕非偶然，那個年代沒有牛頓，沒有愛因斯坦也會有別人。正像有人說的，“如果沒有拿破侖，18世紀末的法國社會也會制造出一個拿破侖來”。所以偉人或重大成果是時代的產(chǎn)物，不是一經(jīng)投入就能產(chǎn)生出來的。況且，科研工作探索未知，原本就有風險（據(jù)說丁肇中講過，黑洞可能有，也可能沒有，可能明天找到，也可能永遠找不到），它不像蓋樓、搞工程項目，可以指定進度或目標，基礎研究不能“大躍進”。

訪談人：剛才您也談到，作為一個理科生，是需要有一定的文學素養(yǎng)，這樣看問題可以站得更高。現(xiàn)在還有很多偏愛文科的學生，對數(shù)學這門學科有所抗拒。本身就不喜歡數(shù)學，可能學習這門學科就會成為負擔。是不是無論什么學生都應該學好數(shù)學，您怎么看待這一問題？

林群：我對俄羅斯這一國家印象很深。因為他們規(guī)定貴族必須學微積分，俄羅斯國家的文學作品給人留下很深刻的印象，像托爾斯泰的作品就是不朽之作，我想文學界對他的作品也是認可的。我認為文科生也要念數(shù)學，數(shù)學人也要念文學，否則看問題的點就會站得很低。文科生看問題的立足點很高，我們理科生看問題的立足點很低，這是為什么？因為我們沒有看到全局，我們都是一步一步推理。人家全面地、立體地看整個世界，所以會出像達·芬奇這種偉大的全才。從另一個角度來看，微積分是無限的思想，我們只知道有限的世界，如果文學家能知道無限的世界，他寫東西思維就能夠更開闊。我是這么想的。

因為數(shù)學是哲學，微積分是將有限的哲學變成無限的哲學，這是哲學上的突飛猛進。因為科學家更關心“無限”，這是微積分教會他們的。我們現(xiàn)在的目光都很有限，有限的事情我們會做得很好，無限的事情我們不會做。我覺得如果文學界知道無限的概念，思想就會更開闊。我們數(shù)學經(jīng)常假設，然后通過推理得出結論，所以我們的結論經(jīng)常有錯。我們一批搞經(jīng)濟數(shù)學的人做出錯誤結論的時候，他要基于幾個假設。托爾斯泰的兒子寫關于父親的回憶錄時，提到托爾斯泰做了大量的算術題，研究微積分，恐怕他的研究是整體的研究，因為當時俄國的數(shù)學是很先進的，彼得大帝非常注重數(shù)學，俄羅斯帝國培養(yǎng)了很多領域的一流的大家。我們國家可以慢慢來，理科生注重數(shù)學學習，文科生也注重數(shù)學學習，我相信我們國家可以更上一層樓。

（選自《與數(shù)學家同行》，南京師范大學出版社2015年，本刊有刪改）