李瑞明，張燁，楊慧炯，原菊梅

（太原工業(yè)學(xué)院，山西 太原 030008）

1 引言

在醫(yī)學(xué)成像、模式識別以及圖像處理等領(lǐng)域，需要采集大量信息并且對其進(jìn)行處理。傳統(tǒng)的采樣方法均基于Nyquist 采樣定理，該采樣方法所需采樣數(shù)據(jù)量大（采樣頻率大于數(shù)據(jù)傳輸最高頻率的二倍）、采樣時間較長，并且存在壓縮復(fù)雜度高、恢復(fù)算法不易實(shí)現(xiàn)的問題。

針對傳統(tǒng)采樣理論以及信號處理方法的不足，壓縮感知理論逐漸得到廣泛應(yīng)用[1-3]，本文首先對壓縮感知理論進(jìn)行了闡述，然后以電能質(zhì)量暫態(tài)信號中的電壓突降為例，采用不同恢復(fù)算法對信號進(jìn)行重構(gòu)，并對不同算法的重構(gòu)效果以及性能指標(biāo)進(jìn)行比較。

2 壓縮感知理論

壓縮感知理論的主要思路為：如果長度為N的一維源信號在某域內(nèi)具有K——稀疏性（K＜N），則可對該信號進(jìn)行壓縮觀測，進(jìn)而采用恢復(fù)算法對稀疏觀測后的矩陣進(jìn)行重構(gòu)。圖1 為壓縮感知理論的結(jié)構(gòu)圖：

圖1 壓縮感知理論基本結(jié)構(gòu)

3 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

壓縮感知理論將具有一定稀疏度的原始信號進(jìn)行壓縮觀測，然后采用重構(gòu)算法進(jìn)行重構(gòu)，這樣既可以減弱對硬件的依賴程度，也可節(jié)約存儲空間，降低數(shù)據(jù)的傳輸壓力，因此受到了國內(nèi)外專家的廣泛關(guān)注[4]。

壓縮感知理論包括三大核心問題：信號的稀疏性、壓縮觀測和重構(gòu)算法。其中，源信號具有一定的稀疏度是進(jìn)行壓縮采樣的前提，因此需要對源信號進(jìn)行稀疏表示，然后進(jìn)行壓縮觀測，要求其觀測矩陣與稀疏基不相關(guān)，進(jìn)而采用恢復(fù)算法對壓縮觀測矩陣進(jìn)行重構(gòu)。

3.1 信號的稀疏表示

由壓縮感知理論可知，源信號的稀疏度決定了壓縮采樣個數(shù)和信號的重構(gòu)效果，且是壓縮理論應(yīng)用的前提。信號的稀疏表示主要有稀疏字典與稀疏分解算法兩種。其中，稀疏字典中的傅里葉變換在壓縮感知算法的稀疏表示中應(yīng)用最多，本文采用的稀疏基為傅里葉變換基。

3.2 觀測矩陣

觀測矩陣是實(shí)現(xiàn)壓縮感知算法的關(guān)鍵。觀測矩陣需要滿足硬件容易實(shí)現(xiàn)、采樣復(fù)雜度低、效果良好，并且要求觀測矩陣與稀疏基具有不相關(guān)性。隨機(jī)觀測矩陣、確定性觀測矩陣和自適應(yīng)觀測矩陣應(yīng)用比較廣泛[5]。

其中，隨機(jī)觀測矩陣采樣復(fù)雜度比較高、硬件難實(shí)現(xiàn)，而確定性觀測矩陣需要基于受限等距特性（Restricted Isometry Property，RIP）進(jìn)行構(gòu)造。文獻(xiàn)[5]提出具有自適應(yīng)性的觀測矩陣，該矩陣與稀疏基矩陣具有很低的相關(guān)性，并且具有最優(yōu)性，應(yīng)用廣泛。因此，本文利用自適應(yīng)觀測矩陣作為觀測矩陣。

3.3 重構(gòu)算法

對壓縮觀測后的信號重構(gòu)即為求解最優(yōu)問題。常用的重構(gòu)算法有貪婪追蹤算法、組合算法和凸松弛算法[6-7]。貪婪追蹤算法包括匹配追蹤（Matching Pursuit，MP）算法、正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法、分段OMP 算法和正則化OMP 算法。該類算法的重構(gòu)精度與算法復(fù)雜度相關(guān)。組合算法包括傅里葉采樣、鏈追蹤和HHS 追蹤等。而凸松弛算法通過將非凸問題轉(zhuǎn)化為凸問題進(jìn)而逼近目標(biāo)信號，主要包括BP 算法、內(nèi)點(diǎn)法、梯度投影方法和迭代法，該類算法所需觀測點(diǎn)數(shù)很少，不需要信號的稀疏度，且重構(gòu)效果比較好。本文采用譜投影梯度算法作為恢復(fù)算法對信號進(jìn)行重構(gòu)。

4 不同重構(gòu)算法重構(gòu)效果的比較

一個可靠的供電系統(tǒng)包括三部分：電壓波形為正弦波、幅值、頻率恒定。但是不同種類的負(fù)荷會對電網(wǎng)造成干擾，影響供電質(zhì)量，因此需要對電能質(zhì)量擾動信號進(jìn)行分析。由于傳統(tǒng)采樣方式存在的固有缺點(diǎn)，壓縮感知理論逐漸被應(yīng)用到電能質(zhì)量擾動信號中來。但是壓縮感知理論在電能質(zhì)量擾動信號中為初步應(yīng)用，只是涉及到信號壓縮采樣和原始信號的重構(gòu)[8]。進(jìn)行壓縮采樣時，采用傅里葉變換基、二維小波基作為稀疏矩陣，觀測矩陣自適應(yīng)觀測矩陣，信號的重構(gòu)算法則選用CoSaMP 算法、基于TV 最小化共軛梯度法、MP 算法、OMP 算法以及凸優(yōu)化算法等作為重構(gòu)算法對電能質(zhì)量擾動信號進(jìn)行重構(gòu)。本文以電能質(zhì)量電壓突降擾動為例，分別采用OMP 算法、CoSaMP 算法、ROMP 算法以及SPG 重構(gòu)算法對原始信號進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)效果如圖2、3、4、5 所示。

圖2 基于OMP 算法的電壓突降信號重構(gòu)

圖3 基于CoSaMP 算法的電壓突降信號重構(gòu)

圖4 基于ROMP 算法的電壓突降信號重構(gòu)

圖5 基于SPG 算法的電壓突降信號重構(gòu)

由圖2、3、4 可知，以O(shè)MP 算法、CoSaMP 算法、ROMP 算法為代表的貪婪算法在重構(gòu)精度上相對較低，重構(gòu)信號與源信號存在較大誤差，而SPG算法由于運(yùn)用譜投影梯度方法計(jì)算更新方向與步長，引進(jìn)非單調(diào)性搜索策略使算法具有全局收斂性，從而達(dá)到了非常好的重構(gòu)精度，并且該算法的運(yùn)行效率非常好。由圖5 可以看出，采用SPG 算法，重構(gòu)信號與原始信號幾乎完全重合，因此其重構(gòu)精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于OMP 算法、CoSaMP 算法、ROMP算法為代表的貪婪算法。

表1、2分別表示不同貪婪算法的壓縮性能指標(biāo)比較以及貪婪算法與凸優(yōu)化算法的壓縮性能指標(biāo)比較。

表1 貪婪算法的壓縮性能比較

表2 貪婪算法與凸優(yōu)化算法壓縮性能比較

表1、2 分別為貪婪算法的壓縮性能指標(biāo)和貪婪算法與凸優(yōu)化算法的壓縮性能指標(biāo)比較。可以看到，在貪婪算法中，CoSaMP 的SNR、MSE、ERP均高于其他算法。而以SPG 為代表的凸優(yōu)化算法的壓縮性能指標(biāo)則高于貪婪算法，但是SPG 恢復(fù)算法由于算法復(fù)雜度比較高，因此運(yùn)行時間相對要長一點(diǎn)。

5 總結(jié)

本文首先對壓縮感知理論進(jìn)行了闡述，重點(diǎn)分析了其恢復(fù)算法，最后以電壓突降信號為例，采用不同恢復(fù)算法對其進(jìn)行重構(gòu)，并對不同算法的重構(gòu)效果以及壓縮性能指標(biāo)進(jìn)行了比較與分析。由結(jié)果可以看出，以SPG 算法為代表的凸松弛算法的重構(gòu)效果以及壓縮性能指標(biāo)高于OMP 算法、CoSaMP算法、ROMP 算法。課題下一步的研究方向?yàn)閷Πl(fā)生擾動的信號時間進(jìn)行判斷，即進(jìn)行擾動的定位。