黃建博，蘇　壯，王四海

(北京郵電大學(xué)a.信息與通信工程學(xué)院；b.理學(xué)院，北京100876)

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關(guān)于串聯(lián)彈簧振子的研究

黃建博a，蘇壯a(bǔ)，王四海b

(北京郵電大學(xué)a.信息與通信工程學(xué)院；b.理學(xué)院，北京100876)

摘要：利用微分方程和拉普拉斯變換研究串聯(lián)彈簧振子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，推導(dǎo)其運(yùn)動(dòng)方程，分析頻率分量以及波峰-波谷比的極值條件. 串聯(lián)彈簧振子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)是若干正弦運(yùn)動(dòng)的疊加，頻率分量的個(gè)數(shù)等于串聯(lián)的彈簧個(gè)數(shù)，在某些條件下這些頻率分量還會(huì)趨于相等.

關(guān)鍵詞：串聯(lián)彈簧振子；胡克定律；拉普拉斯變換；傅里葉變換

振子在彈簧的回復(fù)力作用下做正弦運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)力學(xué)方程為

F=-kx=ma,

(1)

運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

(2)

由以上兩式可得

mx″+kx=0 ,

(3)

或

(4)

x(t)=Acos (ωt).

單個(gè)振子在彈簧回復(fù)力作用下做離平衡點(diǎn)的位移隨時(shí)間成正弦變化的運(yùn)動(dòng)，位移對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可以得到其速度隨時(shí)間的變化也是正弦變化，速度對(duì)時(shí)間求導(dǎo)又可得到其加速度隨時(shí)間成正弦變化. 那么這一系列性質(zhì)對(duì)串聯(lián)的雙彈簧系統(tǒng)是否適用呢？各個(gè)彈簧的位移隨時(shí)間怎樣變化呢？進(jìn)而，當(dāng)有n個(gè)彈簧振子串聯(lián)時(shí)它們的運(yùn)動(dòng)規(guī)律又是怎樣的呢？基于這些問(wèn)題，本文推導(dǎo)了多彈簧振子的位移表達(dá)式，并使用Matlab軟件仿真表現(xiàn)出振子的位移波形，進(jìn)而提出一種可能的教學(xué)演示模具.

1二元串聯(lián)彈簧振子的運(yùn)動(dòng)

1.1方程求解

2個(gè)彈簧振子串聯(lián)(如圖1所示)，研究m2的運(yùn)動(dòng). 輕彈簧勁度系數(shù)分別為k1和k2，原長(zhǎng)分別為l1和l2，物體質(zhì)量分別為m1和m2，水平面光滑. 初態(tài)，彈簧k1伸長(zhǎng)量為A1，k2伸長(zhǎng)量為A2，即x1(0)=A1，x2(0)=A1+A2. 設(shè)m1相對(duì)其平衡位置(l1處)位移為x1，m2相對(duì)自身平衡位置(l1+l2處)位移為x2.

動(dòng)力學(xué)(微分)方程：

-k1x1+k2(x2-x1)=m1x1″,

(5)

-k2(x2-x1)=m2x2″.

(6)

圖1　二元串聯(lián)彈簧振子

聯(lián)立方程組消去x1得：

(7)

特征方程：

m1m2r4+(m1k2+k1m2+k2m2)r2+k1k2=0.

(8)

解得特征根：

其中，

(13)

(14)

方程的解：

其中

(17)

(18)

2個(gè)串聯(lián)彈簧振子的運(yùn)動(dòng)最終趨向等幅振蕩. 函數(shù)x2(t)只含Ω1和Ω2頻率分量，設(shè)

x2(t)=C11cos (Ω1t)+C12sin (Ω1t)+

C21cos (Ω2t)+C22sin (Ω2t),

(19)

其中C11，C12，C21，C22為待定常量.

初值：

代入(19)式有

C12=C22=0.

于是，改設(shè)

x2(t)=C1cos (Ω1t)+C2cos (Ω2t)，

(20)

C1和C2為待定常量. 再次代入初值有

解得

該系統(tǒng)中，外側(cè)小球的運(yùn)動(dòng)是2個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，2個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率和振幅都不等于彈簧的本征頻率和形變量，而是后者的變換.

1.2解的討論

因?yàn)榈?個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)更易于觀察，所以這里只對(duì)第2個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行討論. 聯(lián)立式(13)，(14),(17),(18),(20),(23),(24)可知，改變m1與m2之比或k1與k2之比就會(huì)改變x2(t). 設(shè)kr=k1/k2，mr=m1/m2，取A1=A2，則x2(t)隨kr和mr而變化. 取kr=mr=1，運(yùn)動(dòng)方程圖形如圖2.

圖2　k1=k2,m1=m2時(shí)系統(tǒng)位移函數(shù)圖像

該波形具有以下缺點(diǎn)：

a.波形缺乏規(guī)律性；

b.波峰參差不齊；

c.如果連接波峰得到一條包絡(luò)線的話，包絡(luò)線的起伏非常小.

以上缺點(diǎn)都給觀測(cè)帶來(lái)困難. 現(xiàn)在從連接波峰的包絡(luò)線入手，以期獲得一條起伏盡可能大的包絡(luò)線. 借助Matlab工具[1]，研究方法如下：

1)kr和mr從1∶10到10∶1各取若干個(gè)值，兩兩組合后得到取值組合的二維矩陣.

2)每個(gè)取值組合用表達(dá)式計(jì)算1個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，獲取該波形的所有峰值并取絕對(duì)值得到絕對(duì)幅值向量f.

3)取出f中的最大值fmax和最小值fmin，計(jì)算兩者之比R=fmax/fmin.

4)重復(fù)2)和3)得到二維矩陣R，以lgkr和lgmr為自變量(既保留單調(diào)性又獲得對(duì)稱性)，R為因變量作二元函數(shù)圖像，觀察獲取使r盡可能大的組合(kr，mr).

如上方法得到圖像如圖3所示，圖中有明顯的尖鋒，這意味著，2個(gè)彈簧振子的勁度系數(shù)比和質(zhì)量比在某些組合下串聯(lián)后的效果最佳. (圖中大多數(shù)地方并不平坦，只是峰值太大，起伏不明顯.)

圖3　波峰-波谷比與勁度系數(shù)比和質(zhì)量比的關(guān)系

取kr=1，波峰-波谷比與質(zhì)量比的關(guān)系如圖4所示. 由圖4可知，kr=1，mr=5時(shí)現(xiàn)象顯著，在該處x2(t)仿真波形如圖5所示.

圖4　波峰-波谷比與質(zhì)量比的關(guān)系(相同勁度系數(shù))

圖5　k1=k2，m1=5m2時(shí)系統(tǒng)位移函數(shù)圖像

該圖像可觀察到振幅周期性變化.

在上述討論中，采用的指標(biāo)為R=fmax/fmin，下面嘗試使用指標(biāo)r=fmin/fmax，得到圖6. 可以看出0

圖6　波谷-波峰比與勁度系數(shù)比和質(zhì)量比的關(guān)系

圖7　fmin(kr,mr)=fmax(kr,mr)真值分布

k1∶k2m1∶m2Ω1Ω2C1C26∶110∶10.711.202.00→011∶29∶10.711.112.00→05∶18∶10.711.122.00→09∶27∶10.711.132.00→04∶16∶10.711.152.00→07∶25∶10.711.182.00→03∶14∶10.711.222.00→05∶23∶10.711.292.00→02∶12∶10.711.412.00→03∶21∶10.711.732.00→01∶31∶80.302.071.950.05

前10個(gè)取值得到的運(yùn)動(dòng)方程都近似為：

(25)

串聯(lián)的彈簧振子在kr=0.5mr+1(mr≥1)時(shí)，其振動(dòng)接近于1個(gè)彈簧振子.

2n元彈簧振子串聯(lián)的運(yùn)動(dòng)

2.1特殊情況

如圖8所示，n個(gè)相同的彈簧振子串聯(lián)，彈簧勁度系數(shù)均為k，小球質(zhì)量均為m，初態(tài)下每根彈簧有相同伸長(zhǎng)量A.

圖8　n元串聯(lián)彈簧振子

設(shè)小球相對(duì)平衡位置位移為x1,x2,…,xn，

對(duì)第1個(gè)小球有

mx1″=-kx1+k(x2-x1) ,

對(duì)第2個(gè)小球有

mx2″=-k(x2-x1)+k(x3-x2)，

同理對(duì)第n個(gè)小球有

mxn″=-k(xn-xn-1),

為方便計(jì)算，令x0=0，xn+1=xn，整理得：

通式為

mxi″=-k(xi-xi-1)+k(xi+1-xi),(1≤i≤n)

(29)

將通式進(jìn)行拉普拉斯變換得

-ω2Xi-1(s)+(s2+2ω2)xi(s)-ω2Xi+1(s)=iA.

(1≤i≤n)

(30)

2.2一般情況

受特殊情況系數(shù)矩陣的啟發(fā)，下面再討論更一般化的情況：設(shè)n個(gè)相同的彈簧振子串聯(lián)，彈簧勁度系數(shù)為k1,k2,…,kn，小球質(zhì)量為m1,m2,…,mn，初態(tài)下彈簧伸長(zhǎng)量A1,A2,…,An.

令x0=0，xn+1=xn，kn+1=0，類似前述分析可得方程組如下：

通式為

mixi″=-ki(xi-xi-1)+ki+1(xi+1-xi),

(1≤i≤n)

(34)

將通式進(jìn)行拉普拉斯變換[2]得

-kiXi-1(s)+(mis2+ki+ki+1)xi(s)-

(35)

該方程組有n個(gè)解，分別是位移x1(t),x2(t),…,xn(t)的拉普拉斯變換式X1(s),X2(s),…,Xn(s). 每個(gè)解的分母均為方程系數(shù)矩陣的行列式，因此有相同的極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的位移函數(shù)也包含著相同的頻率分量.

計(jì)算|D|=0即可得到極點(diǎn)[3]. 有幾個(gè)彈簧振子串聯(lián)，就會(huì)有幾對(duì)極點(diǎn)，最終的運(yùn)動(dòng)方程就會(huì)有幾個(gè)頻率分量[2].

3應(yīng)用前景

國(guó)內(nèi)眾多高校都設(shè)有信息與通信類以及電子信息類院系，傅里葉變換是這些專業(yè)的學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)理論，然而思維方式由時(shí)域到頻域的轉(zhuǎn)換是很多學(xué)生學(xué)習(xí)這一理論的難點(diǎn). 本文的研究成果，可以憑借簡(jiǎn)單的物理器件(圖9)演示出不同頻率正弦波疊加的效果，再結(jié)合相關(guān)的電子測(cè)量設(shè)備[4-5]，就可以直觀表現(xiàn)出頻率疊加在時(shí)域和頻域的不同表現(xiàn)形式，讓學(xué)生深刻地體會(huì)傅里葉變換的內(nèi)涵和精妙.

圖9　測(cè)量?jī)x器

參考文獻(xiàn)：

[1]沈昊. 利用手機(jī)研究簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)[J]. 物理實(shí)驗(yàn)，2014,34(4)：15-18.

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[3]劉吉佑，莫驕. 線性代數(shù)與幾何[M]. 北京：北京郵電大學(xué)出版社，2004：26-29.

[4]門愛(ài)東，蘇菲. 數(shù)字信號(hào)處理[M]. 北京：科學(xué)出版社,2009：106-122.

[5]鄒振春. MSC51系列單片機(jī)原理及接口技術(shù)[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006：93-103.

[責(zé)任編輯：郭偉]

Research on spring oscillator chain

HUANG Jian-boa, SU ZHUANGa, WANG Si-haib

(a. School of Information and Communication Engineering; b. School of Science,Beijing University of Postal and Telecommunication， Beijing 100876, China)

Abstract:By the method of differential equation and Laplace transformation, the motion equations of spring oscillator chain were figured out, and its frequency components as well as the extreme conditions of peak-to-trough ratio was researched. The movement of the system was consisted as the combination of several sinusoidal motions, and these frequency components, which tend to be equal in some conditions, were as many as the springs in the chain. With the assistance of electronic measuring technology, it was likely that a new teaching demonstration instrument of Fourier transform would be developed based on this theory.

Key words:series spring oscillator; Hooke law; Laplace transformation; Fourier transformation

中圖分類號(hào)：O321

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1005-4642(2016)04-0032-05

作者簡(jiǎn)介：黃建博(1994-)，男，廣東廉江人，北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院通信工程專業(yè)2013級(jí)本科生.指導(dǎo)教師：王四海(1966-)，男，四川大邑人，北京郵電大學(xué)理學(xué)院物理系高級(jí)工程師，碩士，從事大學(xué)物理演示實(shí)驗(yàn)教學(xué)工作。

基金項(xiàng)目：北京郵電大學(xué)大學(xué)生研究創(chuàng)新基金(No.X-201510013008)；北京市共建項(xiàng)目專項(xiàng)

收稿日期：2015-11-01；修改日期：2015-12-20

“第12屆全國(guó)高等院校物理演示實(shí)驗(yàn)教學(xué)研討會(huì)”論文