龍　兵， 張明波

(1.荊楚理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，荊門 448000;2.中山大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣州 510275)

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定數(shù)截尾下Lomax分布失效率和可靠度的貝葉斯估計(jì)

龍兵1*， 張明波2

(1.荊楚理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，荊門 448000;2.中山大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣州 510275)

摘要：由定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到了樣本的似然函數(shù). 當(dāng)取形狀參數(shù)的先驗(yàn)分布分別為共軛先驗(yàn)分布族和Jeffreys先驗(yàn)時(shí)，根據(jù)貝葉斯公式得到了形狀參數(shù)的后驗(yàn)分布，并進(jìn)一步得到了失效率和可靠度的后驗(yàn)分布.當(dāng)取平方損失和熵?fù)p失函數(shù)時(shí)，根據(jù)后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小的原則,由貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法得到了失效率和可靠度的貝葉斯估計(jì).通過計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬1 000次得到失效率和可靠度的均值和均方誤差，并且從均值和均方誤差兩方面對幾個(gè)估計(jì)值進(jìn)行了比較，結(jié)果表明如果沒有充分的先驗(yàn)信息可以利用，無法得到超參數(shù)a、b較為準(zhǔn)確的估計(jì)時(shí)，應(yīng)優(yōu)先使用Jeffreys先驗(yàn).

關(guān)鍵詞：Lomax分布； 失效率； 可靠度； 貝葉斯估計(jì)

Lomax分布具有單調(diào)的失效率，在壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中起著重要的作用，該分布的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)已被研究，如在多種損失函數(shù)下，當(dāng)尺度參數(shù)已知時(shí)形狀參數(shù)的貝葉斯估計(jì)[1-8]；研究了Lomax分布次序統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)和漸近分布[9]；在完全樣本下研究了2個(gè)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)[10]；根據(jù)次序統(tǒng)計(jì)量的分布，在缺失數(shù)據(jù)樣本下研究了Lomax分布尺度參數(shù)的估計(jì)[11]. 失效率和可靠度函數(shù)是可靠性統(tǒng)計(jì)中2個(gè)重要的量，文獻(xiàn)[12]對作業(yè)時(shí)間服從指數(shù)分布的調(diào)度規(guī)則的失效率進(jìn)行了分析，給出失效率的無偏估計(jì)量和置信區(qū)間.然而針對定數(shù)截尾樣本，尚未見到研究Lomax分布失效率和可靠度的貝葉斯估計(jì)的文獻(xiàn)，本文將就這個(gè)問題進(jìn)行探討.

兩參數(shù)Lomax分布的概率密度函數(shù)為

f(x;θ,)>0，θ>0.

(1)

其分布函數(shù)為

F(x;θ,)>0，θ>0,

(2)

其失效率函數(shù)為

(3)

可靠度函數(shù)為

R(x)=1-F(x;θ,).

(4)

對一些高可靠性的產(chǎn)品進(jìn)行壽命試驗(yàn)，常采用定數(shù)截尾試驗(yàn)，具體方案如下：從服從Lomax分布(1)的產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取n個(gè)樣品進(jìn)行壽命試驗(yàn)，當(dāng)有r個(gè)樣品失效時(shí)停止試驗(yàn)，設(shè)失效數(shù)據(jù)為X(1)≤X(2)≤…≤X(r)，本文假設(shè)尺度參數(shù)已知，將基于這個(gè)試驗(yàn)樣本對Lomax分布失效率和可靠度的貝葉斯估計(jì)問題進(jìn)行討論.

1取共軛先驗(yàn)分布族時(shí)的貝葉斯估計(jì)

設(shè)X(1)≤X(2)≤…≤X(r)為來自Lomax分布(1)的樣本容量為n的定數(shù)截尾樣本(為方便起見，可將X(i)的下標(biāo)數(shù)字省略括號，下文的Xi表示第i個(gè)最小觀測值)，當(dāng)r=n時(shí)為全樣本情形.

令x*=(x1,x2,…,xr)，樣本x*的似然函數(shù)為

(5)

將式(1)、(2)代入式(5)，可得

(6)

在貝葉斯統(tǒng)計(jì)中，參數(shù)θ是隨機(jī)變量，需要給出一個(gè)合適的先驗(yàn)分布(常用共軛先驗(yàn)分布和無信息先驗(yàn)分布).若取形狀參數(shù)θ的共軛先驗(yàn)分布為Ga(a,b)，其密度函數(shù)為

(7)

由式(6)、(7)，根據(jù)貝葉斯公式可得到θ的后驗(yàn)密度函數(shù)

(8)

由正則性可得θ的后驗(yàn)密度函數(shù)為

(9)

由于H(x)=θ/(+x)，則θ=(+x)H，dθ=(+x)dH.因此,H(x)的后驗(yàn)密度函數(shù)為

g(H)=

(10)

下面將在幾類不同的損失函數(shù)下，給出失效率和可靠度的貝葉斯估計(jì).

定理1在平方損失函數(shù)L(H,δ)=(H-δ)2下，若形狀參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為式(7)，則Lomax分布失效率H(x)的貝葉斯估計(jì)為

證明由于在平方損失函數(shù)下，H(x)的貝葉斯估計(jì)為后驗(yàn)分布的均值，因此

令(b+m+t)(+x)H=y，則

因此,失效率H(x)的貝葉斯估計(jì)為

定理3在平方損失函數(shù)L(R,δ)=(R-δ)2下，若形狀參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為式(7)，則Lomax分布可靠度R(x)的貝葉斯估計(jì)為

證明在平方損失函數(shù)下，H(x)的貝葉斯估計(jì)為后驗(yàn)分布的均值，則

(11)

令[b+m+t+ln(1+x/)]θ=y，則式(11)為

(12)

證明

由定理2的證明過程可知可靠度R(x)的貝葉斯估計(jì)為

2取無信息先驗(yàn)時(shí)的貝葉斯估計(jì)

因此,根據(jù)Jeffreys準(zhǔn)則[13]，取形狀參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為

(13)

由式(6)、(12)，根據(jù)貝葉斯公式可得到θ的后驗(yàn)密度函數(shù)為

(14)

根據(jù)先驗(yàn)分布π2(θ)可得如下定理.

定理5在平方損失函數(shù)L(H,δ)=(H-δ)2下，若形狀參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為式(12)，則Lomax分布失效率H(x)的貝葉斯估計(jì)為

定理7在平方損失函數(shù)L(R,δ)=(R-δ)2下，若形狀參數(shù)θ的先驗(yàn)分布為式(12)，則Lomax分布可靠度R(x)的貝葉斯估計(jì)為

定理5～定理8的證明過程類似于定理1～定理4，在此略.

3Monte Carlo隨機(jī)模擬

用隨機(jī)模擬來比較失效率和可靠度的幾種估計(jì)的優(yōu)劣.具體步驟如下:

1)產(chǎn)生一組容量為n=50的服從U(0,1)的相互獨(dú)立隨機(jī)樣本Y1,Y2,…,Yn；

Xi=,

則X1,X2,…,Xn是服從Lomax分布(2)的隨機(jī)樣本，確定截尾數(shù)n-r，得到截尾樣本；

3)當(dāng)取定參數(shù)a=8,b=0.3及變量x的值時(shí)，可以計(jì)算出失效率和可靠度在不同損失函數(shù)及先驗(yàn)分布下的貝葉斯估計(jì).以上步驟重復(fù)模擬1 000次，計(jì)算在不同的截尾數(shù)下，失效率和可靠度的均值和均方誤差(MSE).模擬結(jié)果分別列于表1和表2.

表1　失效率H(x)的各種估計(jì)的均值和均方誤差

表2　可靠度R(x)的各種估計(jì)的均值和均方誤差

由表1和表2可知，當(dāng)形狀參數(shù)的先驗(yàn)分布取為Jeffreys先驗(yàn)分布，并且在平方損失函數(shù)或者熵?fù)p失函數(shù)下，失效率和可靠度的貝葉斯估計(jì)與真值的偏差及均方誤差都較小，是較好的估計(jì).當(dāng)形狀參數(shù)的先驗(yàn)分布取為共軛先驗(yàn)分布時(shí)，失效率和可靠度的貝葉斯估計(jì)與真值的偏差及均方誤差都比取Jeffreys先驗(yàn)分布時(shí)大一些.因此推薦使用Jeffreys先驗(yàn)作為形狀參數(shù)的先驗(yàn)分布.

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【中文責(zé)編：莊曉瓊英文責(zé)編：肖菁】

Bayesian Estimation of Failure Rate and Reliability on Lomax Distribution Under Type-II Censored Samples

LONG Bing1, ZHANG Mingbo2

(1.Department of Mathematics and Physics, Jingchu University of Technology, Jingmen 448000, China;2. School of Mathematics and Computational Science, Sun Yat-Sen University, Guangzhou 510275, China)

Abstract：Likelihood function of the samples is got by type-II censored life test data. Taking the prior distribution of the shape parameter as conjugate prior distribution and Jeffreys prior distribution respectively, posterior distribution of the shape parameter is obtained according to the Bayesian formula, and further the posterior distribution of the failure rate and reliability are obtained. When choosing square loss and entropy loss function, based on the principle of minimum posterior risk, Bayesian estimation of the failure rate and reliability are obtained through the Bayesian statistical method. Mean and mean square error of the failure rate and reliability are obtained through the computer’s 1000 times stochastic simulation. Several estimates are compared from two aspects of mean and mean square error. Further if there is no sufficient prior information can be used, and more accurate estimation of super parameters a, b could not be obtained, it is recommended to use Jeffreys prior.

Key words：Lomax distribution; failure rate; reliability; Bayesian estimation

中圖分類號：O212.8

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號:1000-5463(2016)02-0102-05

*通訊作者:龍兵，副教授，Email: qh-longbing@163.com.

基金項(xiàng)目：湖北省教育廳重點(diǎn)科研項(xiàng)目(D20134301)；荊楚理工學(xué)院院級科研項(xiàng)目(ZR201504)

收稿日期：2015-05-22《華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n