李凱琪， 郭 健， 劉 軍， 張安紅， 俞少佳

(1. 南京航空航天大學(xué)， 江蘇 南京 211106； 2. 錢江電氣集團(tuán)股份有限公司， 浙江 杭州 311243)

一種高效的電力變壓器繞組軸向固有振動(dòng)頻率計(jì)算模型

李凱琪1， 郭 健1， 劉 軍2， 張安紅2， 俞少佳2

(1. 南京航空航天大學(xué)， 江蘇 南京 211106； 2. 錢江電氣集團(tuán)股份有限公司， 浙江 杭州 311243)

在電力變壓器設(shè)計(jì)過(guò)程中，繞組的固有振動(dòng)頻率是一個(gè)非常重要的性能參數(shù)。本文基于彈性動(dòng)力學(xué)理論，根據(jù)繞組周向墊塊彈性支撐等效原則，提出了一種高效的計(jì)算電力變壓器繞組軸向固有振動(dòng)頻率的二維有限元模型，其固有振動(dòng)頻率的計(jì)算具有與三維模型一致的結(jié)果，但其計(jì)算效率得到大大的提高。同時(shí)研究表明，增加墊塊的寬度和數(shù)量，以及增大預(yù)緊力都可以提高繞組軸向的固有振動(dòng)頻率，是避免繞組共振的一種有效應(yīng)對(duì)方法。最后通過(guò)對(duì)固有振動(dòng)頻率計(jì)算的實(shí)例校核，驗(yàn)證了本文所提二維模型方法的有效性。

電力變壓器； 繞組； 高效有限元模型； 軸向固有振動(dòng)頻率

1 引言

在電力變壓器設(shè)計(jì)過(guò)程中，繞組的固有振動(dòng)頻率是一個(gè)非常重要的性能參數(shù)[1]，當(dāng)固有振動(dòng)頻率與電動(dòng)力的頻率相接近時(shí)，將產(chǎn)生諧振現(xiàn)象[2]。這種振動(dòng)可能會(huì)導(dǎo)致比預(yù)緊力大得多的動(dòng)態(tài)力，從而使油道墊塊與線餅之間分開，進(jìn)而引起繞組的松散、扭轉(zhuǎn)，甚至倒塌，最終使得變壓器繞組失穩(wěn)而無(wú)法正常運(yùn)行[3,4]。對(duì)于大型電力變壓器，由于繞組輻向固有振動(dòng)頻率要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其運(yùn)行過(guò)程中承受的電動(dòng)力頻率，故而輻向固有振動(dòng)頻率在變壓器設(shè)計(jì)過(guò)程中一般不考慮。而繞組軸向由于采用導(dǎo)線-墊塊-導(dǎo)線的結(jié)構(gòu)形式，其軸向固有振動(dòng)頻率值大大降低，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)稍不合理，就會(huì)導(dǎo)致線圈發(fā)生共振，這也成為變壓器軸向失穩(wěn)或運(yùn)行噪音過(guò)大的一部分原因。因此，準(zhǔn)確計(jì)算變壓器繞組的固有振動(dòng)頻率，并通過(guò)改善結(jié)構(gòu)形式使其避開軸向動(dòng)態(tài)短路力的頻率對(duì)于變壓器設(shè)計(jì)和安全可靠運(yùn)行具有重要的意義。

目前，變壓器軸向固有振動(dòng)頻率的計(jì)算主要是基于“質(zhì)量-彈簧-阻尼”的集中參數(shù)法和有限元法，由于有限元模型可以很好地兼顧繞組結(jié)構(gòu)形式、支撐件結(jié)構(gòu)力學(xué)特性等因素，相對(duì)于傳統(tǒng)的集中參數(shù)法可以得到更加接近實(shí)際的計(jì)算結(jié)果。文獻(xiàn)[5]建立了電力變壓器固有振動(dòng)頻率計(jì)算的三維有限元模型，在軸向固有振動(dòng)頻率計(jì)算上取得了很好的效果；文獻(xiàn)[6]在此基礎(chǔ)上研究了軸向預(yù)緊力對(duì)固有振動(dòng)頻率的影響規(guī)律，并提出了改善變壓器軸向穩(wěn)定性的措施。綜上，三維有限元模型在變壓器軸向固有振動(dòng)頻率計(jì)算上具有較好的結(jié)果，但由于這種方法建模過(guò)程復(fù)雜，計(jì)算代價(jià)高，從而限制了該方法在工程實(shí)際中的普遍應(yīng)用。

本文基于彈性動(dòng)力學(xué)理論[7]，根據(jù)繞組周向墊塊彈性支撐等效原則，提出了一種高效的計(jì)算電力變壓器繞組軸向固有振動(dòng)頻率的二維有限元模型，其固有振動(dòng)頻率的計(jì)算結(jié)果具有與三維模型一致的效果，同時(shí)相對(duì)于三維模型，其計(jì)算效率亦得到大大的提高。最后，通過(guò)對(duì)固有振動(dòng)頻率計(jì)算的實(shí)例校核，驗(yàn)證了本文所提二維模型方法的有效性。

2 二維有限元模型

2.1 模型的提出

大型電力變壓器的三維軸對(duì)稱模型如圖1所示。其中繞組的線餅是由絕緣墊塊隔開的線段組成的，并被壓緊在夾件之間；繞組中的墊塊在相鄰兩餅銅線中起到一個(gè)支撐的作用，是變壓器機(jī)械系統(tǒng)可靠性的一個(gè)重要的影響因素，在固有振動(dòng)頻率計(jì)算模型中必須予以考慮。為了能夠兼顧到墊塊沿繞組周向布置的特點(diǎn)，計(jì)算模型應(yīng)屬于三維問(wèn)題，但是這將會(huì)使得固有振動(dòng)頻率計(jì)算的代價(jià)大大提高。

圖1 三維軸對(duì)稱模型Fig.1 3D axisymmetric model of winding

絕緣墊塊受到導(dǎo)線軸向電動(dòng)力壓縮時(shí)，其受到的應(yīng)力滿足：

(1)

式中，δ為墊塊受到的應(yīng)力；F為墊塊受到的軸向壓力；∑A為兩線餅間的墊塊與線餅接觸的實(shí)際面積之和。

根據(jù)胡克定理，墊塊的應(yīng)力-應(yīng)變滿足：

(2)

式中，ε為墊塊的應(yīng)變；E為墊塊材料的彈性模量。

絕緣墊塊由于受壓導(dǎo)致線餅在軸向發(fā)生ΔZ的位移，位移與壓力之間滿足式(3)：

(3)

式中，k為墊塊的等效彈性系數(shù)，反映了墊塊對(duì)線餅的支撐作用。

由于線餅位移與墊塊的應(yīng)變滿足ΔZ∝ε，因此

(4)

聯(lián)立式(1)、式(2)和式(4)，則可以得到墊塊的等效彈性系數(shù)與墊塊材料的彈性模量，及墊塊與線餅接觸面積之間的關(guān)系：

(5)

由式(5)可以看出，只要E∑A為常數(shù)，則可以保證墊塊對(duì)線餅的支撐效果不變。由此就可以將固有振動(dòng)頻率計(jì)算的三維問(wèn)題簡(jiǎn)化為二維模型進(jìn)行處理。

圖2(a)為滿足軸對(duì)稱的三維計(jì)算模型，在該計(jì)算模型中絕緣墊塊與線餅之間滿足全接觸，進(jìn)一步可以得到簡(jiǎn)化的二維計(jì)算模型，如圖2(b)所示。為了保證墊塊對(duì)線餅的支撐效果不變，根據(jù)式(5)，墊塊材料的等效彈性模量應(yīng)滿足：

(6)

式中，Ee為等效彈性模量；r1、r2分別為線餅的內(nèi)、外半徑。

圖2 繞組軸對(duì)稱模型Fig.2 Axisymmetric models of winding

為了考慮軸對(duì)稱處理后墊塊質(zhì)量對(duì)軸向固有振動(dòng)頻率的影響，還需要對(duì)墊塊的密度做等效處理，等效密度滿足：

(7)

式中，ρe為等效密度；ρ為墊塊材料的實(shí)際密度。

2.2 控制方程

假定繞組的線餅是由絕緣墊塊隔開的線段組成的，并被壓緊在夾件之間。在研究繞組中的動(dòng)態(tài)過(guò)程中，可以把它視為由有彈性聯(lián)系的實(shí)體(線段)所組成的機(jī)械系統(tǒng)[8]。

基于圖2(b)提出的有限元模型，并根據(jù)彈性動(dòng)力學(xué)理論，各單元運(yùn)動(dòng)方程為：

(8)

式中，Z為各線餅絕對(duì)位移；M為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；C為系統(tǒng)的阻尼系數(shù)矩陣；K為系統(tǒng)剛度系數(shù)矩陣；F(t)為墊塊受到的軸向壓力矩陣；g為重力加速度。

忽略阻尼的影響，且沒(méi)有外力作用，可得繞組自由振動(dòng)方程為：

(9)

式(9)為線性齊次常微分方程組，其解可表示為：

(10)

將式(10)代入式(9)，得：

(11)

該方程具有非零解的條件為：

(12)

解式(12)可得n個(gè)正實(shí)根ωi，則繞組軸向振動(dòng)的固有振動(dòng)頻率為：

(13)

3 計(jì)算結(jié)果

3.1 二維模型計(jì)算結(jié)果

本文以文獻(xiàn)[9]提出的模型為例，進(jìn)行二維計(jì)算模型有效性的驗(yàn)證，模型對(duì)應(yīng)的參數(shù)如表1所示。

表1 模型參數(shù)

根據(jù)本文所提模型分析得到的固有振動(dòng)頻率及對(duì)應(yīng)的振型如表2所示。

表2 固有振動(dòng)頻率對(duì)應(yīng)振型

3.2 二維與三維計(jì)算比較

本文還將三維模型與二維模型的計(jì)算進(jìn)行了比較。圖3(a)為三維模型的網(wǎng)格劃分圖，圖3(b)為三維模型得到的一階軸向固有振動(dòng)頻率振型。

圖3 固有振動(dòng)頻率對(duì)應(yīng)振型Fig.3 Vibration models according to natural vibration frequency

表3列出了兩種模型的計(jì)算結(jié)果與計(jì)算代價(jià)的比較?？梢钥闯鰞煞N方法計(jì)算結(jié)果非常接近，但是在計(jì)算時(shí)間上，二維模型的計(jì)算效率要明顯優(yōu)于三維模型。

表3 固有振動(dòng)頻率結(jié)果比較

3.3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

對(duì)變壓器模型的固有振動(dòng)頻率進(jìn)行試驗(yàn)測(cè)試，表4列出了實(shí)驗(yàn)結(jié)果?？梢钥闯?，計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)所得結(jié)果基本吻合，證明了本文所提方法的有效性。

表4 二維模型結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較

4 影響因素研究

由固有振動(dòng)頻率求解控制方程式(12)可知，固有振動(dòng)頻率的大小與機(jī)械系統(tǒng)等效的彈性系數(shù)及質(zhì)量有關(guān)，系統(tǒng)質(zhì)量的大小一般取決于變壓器的電磁設(shè)計(jì)和經(jīng)濟(jì)成本，調(diào)整空間不大；而系統(tǒng)的彈性系數(shù)則取決于墊塊對(duì)線餅的支撐，一方面，可以通過(guò)調(diào)整墊塊的個(gè)數(shù)及尺寸來(lái)實(shí)現(xiàn)，另一方面，可以通過(guò)改變預(yù)緊力來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)軸向固有頻率的調(diào)整，是改善系統(tǒng)固有振動(dòng)頻率，避免共振的有效方法[10]。

本文以表1模型參數(shù)為例研究影響變壓器繞組軸向固有振動(dòng)頻率的因素。表5列出了不同墊塊的寬度對(duì)固有振動(dòng)頻率的影響；圖4為對(duì)應(yīng)的一階固有振動(dòng)頻率關(guān)系曲線圖?？梢钥闯?，隨著墊塊寬度的增加，墊塊對(duì)線餅有效的支撐面增大，使得系統(tǒng)等效的彈性系數(shù)k增大，因此系統(tǒng)的固有振動(dòng)頻率亦成比例增大。

表5 變壓器繞組不同寬度墊塊時(shí)的固有振動(dòng)頻率

圖4 墊塊寬度-頻率曲線Fig.4 Curve of pressboard’s width and frequency

表6列出了不同墊塊的數(shù)量對(duì)固有振動(dòng)頻率的影響；圖5為對(duì)應(yīng)的一階固有振動(dòng)頻率關(guān)系曲線圖?？梢钥闯?，增加墊塊的數(shù)量與增加墊塊的寬度對(duì)固有振動(dòng)頻率具有相同的影響效果。

表6 變壓器繞組不同個(gè)數(shù)墊塊時(shí)的固有振動(dòng)頻率

圖5 墊塊個(gè)數(shù)-頻率曲線Fig.5 Curve of pressboard’s number and frequency

變壓器繞組的絕緣主要是墊塊及匝絕緣，其材料為絕緣紙板[11]。對(duì)于絕緣紙板，其靜剛度為非線性，絕緣紙板在一定范圍內(nèi)(δ：0～103MPa)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可表示為：

(14)

式中，a為線性系數(shù)；b為硬化系數(shù)，可通過(guò)加載-變形試驗(yàn)測(cè)試得到[12,13]。a=1.05×102MPa，b=1.75×103MPa。

則彈性模量為：

(15)

假設(shè)施加在線圈上的預(yù)緊力為T，則

(16)

因此，可以通過(guò)改變等效的墊塊的彈性模量來(lái)模擬預(yù)緊力的大小。

對(duì)應(yīng)的等效剛度系數(shù)為：

(17)

式中，h為絕緣墊塊的高度。

表7列出了變壓器繞組在不同預(yù)緊力下的固有振動(dòng)頻率值。圖6為對(duì)應(yīng)的一階固有振動(dòng)頻率關(guān)系曲線圖。

表7 變壓器繞組不同預(yù)緊力下的固有振動(dòng)頻率

圖6 預(yù)緊力-頻率曲線Fig.6 Curve of pre-compression and frequency

可以看出，隨著軸向預(yù)緊力的增大，繞組的各階軸向振動(dòng)固有頻率都在提高，這是因?yàn)槔@組的固有振動(dòng)頻率在很大程度上取決于裝配后的壓緊程度，絕緣墊塊的彈性系數(shù)與此有關(guān)。因此，可以通過(guò)改變等效的墊塊彈性模量來(lái)模擬預(yù)緊力的大小。

表5～表7和圖4～圖6數(shù)據(jù)表明了墊塊的個(gè)數(shù)和尺寸以及預(yù)緊力對(duì)變壓器繞組的固有振動(dòng)頻率的影響。在設(shè)計(jì)變壓器時(shí)，應(yīng)當(dāng)考慮這幾點(diǎn)，使得變壓器繞組軸向的固有振動(dòng)頻率避開軸向動(dòng)態(tài)短路力的頻率(50Hz或100Hz)。

5 結(jié)論

本文基于彈性動(dòng)力學(xué)理論，根據(jù)繞組周向墊塊彈性支撐等效原則，提出了一種高效的計(jì)算電力變壓器繞組軸向固有振動(dòng)頻率的二維有限元模型，其固有振動(dòng)頻率的計(jì)算具有與三維模型一致的結(jié)果，但其計(jì)算效率得到大大的提高。同時(shí)研究表明，增加墊塊的寬度和數(shù)量以及增大預(yù)緊力都可以提高繞組軸向的固有振動(dòng)頻率，在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)當(dāng)給予考慮，避免繞組產(chǎn)生共振。最后通過(guò)對(duì)固有振動(dòng)頻率計(jì)算的實(shí)例校核，驗(yàn)證了本文所提二維模型方法的有效性。

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Efficient model to calculate axial natural vibration frequency of power transformer winding

LI Kai-qi1, GUO Jian1, LIU Jun2, ZHANG An-hong2, YU Shao-jia2

(1. Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 211106, China; 2. Hangzhou Qiantang River Electric Group Co. Ltd., Hangzhou 311243, China)

In the design of transformer winding, natural vibration frequency is an important parameter. Based on the elastic dynamics theory, and according to the elastic support equivalent principle of radial pressboards, a 2D model to calculate axial vibration natural frequency of power transformer winding is presented. The 3D model to calculate natural vibration frequency can be simplified as a 2D one as the support of pressboard on the winding is same. It is tested that results of the 2D model are consistent with those of 3D model, but the former can achieve much higher calculation efficiency. It shows that increasing the width and number of pressboard can improve axial natural frequency through formula analysis and simulation, and also the relations between the changes of axial pre-compression and axial natural vibration frequencies on the windings are investigated. So these factors should be taken into consideration in the design of transformer winding, which can be an effective way to avoid the resonance of winding. Finally, the proposed 2D model’s effectiveness is proved when compared with tested ones.

power transformer; winding; efficient finite element model; axial natural vibration frequency

2015-03-08

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51307082)

李凱琪(1991-)， 女， 江蘇籍， 碩士研究生， 研究方向?yàn)殡娏ψ儔浩鞫搪窂?qiáng)度; 郭 健(1980-)， 男， 山西籍， 副教授， 博士, 研究方向?yàn)樘胤N電機(jī)的設(shè)計(jì)。

TM401+.1

A

1003-3076(2016)02-0048-06