費(fèi)為銀,盧琴云,胡慧敏,夏登峰

(安徽工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽蕪湖 241000)

1 引言

投資組合選擇問(wèn)題一直以來(lái)都是金融數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中的一個(gè)最基本問(wèn)題，資產(chǎn)配置是一種投資組合技術(shù)，利用資產(chǎn)配置可以有效的平衡投資風(fēng)險(xiǎn)．眾所周知，現(xiàn)實(shí)生活中資本市場(chǎng)環(huán)境以及經(jīng)濟(jì)條件不總是一成不變的，投資者應(yīng)該及時(shí)地對(duì)投資組合策略進(jìn)行動(dòng)態(tài)的調(diào)整．事實(shí)表明，突發(fā)事件的發(fā)生必然會(huì)引起資產(chǎn)價(jià)格的非連續(xù)變化，因此針對(duì)這種變化，研究突發(fā)事件沖擊下的動(dòng)態(tài)資產(chǎn)配置策略具有重要意義．

目前，已有大量文獻(xiàn)用跳擴(kuò)散過(guò)程來(lái)刻畫(huà)突發(fā)事件沖擊下資產(chǎn)價(jià)格的非連續(xù)變化現(xiàn)象．在投資組合問(wèn)題研究中，Press[1]首次在純擴(kuò)散模型的基礎(chǔ)上引入了跳躍行為．Merton[2]研究了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)可能違約的情形下短視資產(chǎn)的配置問(wèn)題，違約事件是通過(guò)Poisson跳描述的并且使用隨機(jī)控制方法獲得最優(yōu)資產(chǎn)配置策略．此后，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在此基礎(chǔ)上，從不同角度研究了跳擴(kuò)散環(huán)境下動(dòng)態(tài)資產(chǎn)配置問(wèn)題．近年來(lái)，費(fèi)為銀等[3-5]分別研究跳擴(kuò)散環(huán)境下考慮通脹對(duì)資產(chǎn)配置的影響，模型不確定和極端事件沖擊下帶通脹的最優(yōu)投資組合問(wèn)題以及跳擴(kuò)散環(huán)境下匯率變動(dòng)的外商直接投資問(wèn)題．梁勇等[6]研究了在跳擴(kuò)散環(huán)境下紅利支付對(duì)不確定厭惡投資者最優(yōu)投資組合的影響．他們都是用股票價(jià)格服從跳擴(kuò)散過(guò)程來(lái)刻畫(huà)突發(fā)事件沖擊，但是突發(fā)事件沖擊下資產(chǎn)收益波動(dòng)率也會(huì)發(fā)生跳躍行為．Bakshi等[7]進(jìn)行了廣泛的實(shí)證研究說(shuō)明股票收益具有隨機(jī)波動(dòng)性和跳躍行為．Branger等[8]研究了股票收益波動(dòng)率發(fā)生跳時(shí)的動(dòng)態(tài)資產(chǎn)配置問(wèn)題，說(shuō)明對(duì)于跳風(fēng)險(xiǎn)也有一個(gè)對(duì)沖需求部分，波動(dòng)率跳在投資組合計(jì)劃中是一個(gè)非常重要的風(fēng)險(xiǎn)因子．因此，突發(fā)事件沖擊下應(yīng)該考慮資產(chǎn)收益波動(dòng)率的跳躍行為．

另一方面，金融市場(chǎng)中通脹是投資者面臨的最基本風(fēng)險(xiǎn)之一，自20世紀(jì)70年代以來(lái)，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者研究了在通脹背景下的資產(chǎn)配置策略．Brennan和Xia[9]采用連續(xù)時(shí)間模型鞅方法研究了考慮通脹動(dòng)態(tài)投資組合最優(yōu)化問(wèn)題，Munk等[10]探討了投資于現(xiàn)金、名義債券和股票的投資者考慮通脹時(shí)最優(yōu)資產(chǎn)配置，并利用美國(guó)的股票、債券和通脹數(shù)據(jù)去校驗(yàn)資本市場(chǎng)．近期，姚海洋等[11]研究了不確定時(shí)間和通貨膨脹影響下風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最優(yōu)投資策略，費(fèi)為銀等[12]研究了通脹服從均值回復(fù)過(guò)程的最優(yōu)消費(fèi)和投資決策．梁勇等[13]研究了Knight不確定及機(jī)制轉(zhuǎn)化環(huán)境下帶通脹的最優(yōu)消費(fèi)投資問(wèn)題研究．費(fèi)為銀和李淑娟[14]研究了Knight不確定下帶通脹的最優(yōu)消費(fèi)和投資模型．上述文獻(xiàn)中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格大多數(shù)是由Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)，而實(shí)際生活中的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格有時(shí)會(huì)發(fā)生跳躍行為．

綜上所述，突發(fā)事件發(fā)生時(shí)，考慮風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益波動(dòng)率的跳躍行為和通脹因素的模型更符合實(shí)際情況．本文在文獻(xiàn)[15]中的事件風(fēng)險(xiǎn)模型基礎(chǔ)上考慮了通貨膨脹因素，并且通過(guò)數(shù)值模擬分析了風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益波動(dòng)率跳大小和通脹對(duì)投資組合策略的影響，對(duì)原有模型進(jìn)行了進(jìn)一步推廣．本文安排如下：第2節(jié)給出模型的基本框架及相應(yīng)的結(jié)論；第3節(jié)就所得的理論結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬分析，并給出經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋?zhuān)辉诘?節(jié)對(duì)全文做了小結(jié)．

2 模型及結(jié)果

假設(shè)在金融市場(chǎng)中只有兩種可投資的資產(chǎn)．一種是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券，另一種是風(fēng)險(xiǎn)股票．設(shè)(?,F,{Ft},P)是一個(gè)完備的帶流概率空間，在這個(gè)概率空間上的標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)和Poisson過(guò)程可以刻畫(huà)經(jīng)濟(jì)狀態(tài)的不確定性．設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券價(jià)格S0服從dS0=rS0dt，風(fēng)險(xiǎn)股票價(jià)格St服從

其中ZS和ZV是相關(guān)系數(shù)為ρ的標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)，N是隨機(jī)到達(dá)強(qiáng)度為λV的Poisson過(guò)程，X(X∈(?1,∞))是均值為μ的價(jià)格跳大小，Y(Y∈[0,∞))是均值為κ的波動(dòng)率跳大小，X和Y是獨(dú)立的，且獨(dú)立于ZS,ZV和N，θ=E[V]．

此外，金融市場(chǎng)中還存在一種通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)．考慮通貨膨脹折扣率It為帶流概率空間(?,F,{Ft},P)上的可測(cè)適應(yīng)過(guò)程，滿(mǎn)足下面的隨機(jī)微分方程

其中αI是t時(shí)刻預(yù)期通貨膨脹率，σI是t時(shí)刻通脹波動(dòng)率，ZI是標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)且和ZS的相關(guān)系數(shù)為ρ1，和ZV的相關(guān)系數(shù)為ρ2．

利用通貨膨脹率對(duì)資產(chǎn)價(jià)格進(jìn)行折算，折算后的價(jià)格分別為

根據(jù)伊藤-德布林公式推導(dǎo)出折算后的價(jià)格分別滿(mǎn)足下面的隨機(jī)微分方程

在Merton問(wèn)題和文獻(xiàn)[15]的基礎(chǔ)上，本文主要研究考慮事件風(fēng)險(xiǎn)和通脹因素時(shí)最大化投資者終端財(cái)富的預(yù)期效用問(wèn)題．投資者考慮冪型效用，在上述的兩種資產(chǎn)上投資，并擁有初始財(cái)富W0，在每一個(gè)t(0≤t≤T)時(shí)刻投資者投資財(cái)富的?t比例在股票上，則與投資策略相關(guān)的財(cái)富過(guò)程Wt的動(dòng)力學(xué)方程為

投資者的目標(biāo)是

我們采用標(biāo)準(zhǔn)的隨機(jī)控制方法來(lái)求解最優(yōu)投資策略．類(lèi)似Merton的思想，我們定義如下的間接效用函數(shù)

根據(jù)最優(yōu)隨機(jī)控制原理，我們可得到這個(gè)間接效用函數(shù)的HJB方程

其中JW,JV,JWW,JWV,JV V和Jt分別是J(W,V,t)關(guān)于W,V和t的偏導(dǎo)數(shù)．

為了保證最優(yōu)投資策略存在，下面給出兩個(gè)適度的正則條件

接下來(lái)的命題將給出最優(yōu)動(dòng)態(tài)資產(chǎn)配置策略．

命題1假設(shè)滿(mǎn)足上述的兩個(gè)正則條件，則動(dòng)態(tài)資產(chǎn)配置問(wèn)題有最優(yōu)解

其中時(shí)變系數(shù)B(t)滿(mǎn)足下面的常微分方程

且終端條件B(T)=0．

證明 首先對(duì)方程(7)關(guān)于?求偏導(dǎo)得一階條件

假設(shè)間接效用函數(shù)如下

求其各階偏導(dǎo)得

將上述各階偏導(dǎo)數(shù)帶入方程(12)式得

故有(10)式成立．接下來(lái)推導(dǎo)關(guān)于時(shí)變系數(shù)B(t)的常微分方程，我們將(13)和(14)式代入方程(7)得

上式對(duì)所有的V恒成立，則有(11)式成立．

3 數(shù)值模擬和經(jīng)濟(jì)意義分析

為了更直觀地說(shuō)明通脹因素和跳對(duì)投資者的動(dòng)態(tài)資產(chǎn)配置策略的影響，下面分析收益波動(dòng)率是隨機(jī)的而跳大小是確定的這種簡(jiǎn)單情況下通脹因素和跳對(duì)投資者的動(dòng)態(tài)資產(chǎn)配置策略的影響．

在這種情況下，模型的動(dòng)力學(xué)方程為

根據(jù)命題1可知，上述情況下的最優(yōu)動(dòng)態(tài)資產(chǎn)配置策略為

且時(shí)變系數(shù)B(t)滿(mǎn)足下面的常微方程

和終端條件B(T)=0.

由圖1可見(jiàn)，當(dāng)ρ=0.5時(shí)，即股票市場(chǎng)的不確定性和通脹的不確定性相關(guān)系數(shù)為正，隨著通脹波動(dòng)率的增大，股票價(jià)格波動(dòng)變大，金融市場(chǎng)不穩(wěn)定性增強(qiáng)，風(fēng)險(xiǎn)喜好的投資者(γ＞1)愿意承受高的風(fēng)險(xiǎn)以獲得高的收益，從而在股票上的投資增加．當(dāng)ρ=?0.5時(shí)，即股票市場(chǎng)的不確定性和通脹的不確定性相關(guān)系數(shù)為負(fù)，隨著通脹波動(dòng)率的增大，股票價(jià)格波動(dòng)變小，金融市場(chǎng)相對(duì)穩(wěn)定，風(fēng)險(xiǎn)喜好的投資者認(rèn)為沒(méi)有太高的收益可獲得，反而減少了在股票上的投資．由此可知，當(dāng)股票市場(chǎng)的不確定性和通脹的不確定性相關(guān)系數(shù)為正時(shí)，即通脹波動(dòng)率增大，股票價(jià)格波動(dòng)變大，金融市場(chǎng)不穩(wěn)定性增強(qiáng)，風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者(0＜γ＜1)擔(dān)憂(yōu)情緒上升，從而相應(yīng)的減少風(fēng)險(xiǎn)股票的頭寸．當(dāng)股票市場(chǎng)的不確定性和通脹的不確定性相關(guān)系數(shù)為負(fù)，即通脹波動(dòng)率增大，股票價(jià)格波動(dòng)變小，金融市場(chǎng)相對(duì)穩(wěn)定，風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者擔(dān)憂(yōu)情緒有所緩和，從而相應(yīng)的增加風(fēng)險(xiǎn)股票的頭寸．

圖1: 通脹波動(dòng)率σI對(duì)資產(chǎn)配置策略??的影響

由圖2可見(jiàn)，對(duì)于特定的μ值，股票收益波動(dòng)率跳大小越大，風(fēng)險(xiǎn)喜好的投資者會(huì)持有更多的股票，并且隨著通脹波動(dòng)率的增大，風(fēng)險(xiǎn)喜好的投資者對(duì)收益波動(dòng)率跳大小變化的敏感度緩慢下降，當(dāng)通脹波動(dòng)率大于0.6時(shí)，經(jīng)濟(jì)環(huán)境惡化，投資者將避開(kāi)投資大量不可預(yù)料的資產(chǎn)，風(fēng)險(xiǎn)喜好的投資者對(duì)收益波動(dòng)率跳大小的變化幾乎不敏感，收益波動(dòng)率跳是否發(fā)生都不會(huì)改變投資者的股票頭寸，投資者在股票上的配置很少甚至不配置，從而降低因高的通脹波動(dòng)率所帶來(lái)的經(jīng)濟(jì)損失．

圖2: 通脹波動(dòng)率σI和收益波動(dòng)率跳大小κ對(duì)資產(chǎn)配置策略??的影響

由圖3可知，無(wú)論價(jià)格跳的方向如何，當(dāng)股票價(jià)格發(fā)生跳時(shí)，投資者都將會(huì)相應(yīng)地減少風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的配置，并且在低通脹波動(dòng)率(0.2附近)的環(huán)境下，投資者在股票價(jià)格發(fā)生向上跳時(shí)持有的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)明顯比股票價(jià)格發(fā)生同等幅度向下跳時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)多，當(dāng)通脹波動(dòng)率大于0.6時(shí)，無(wú)論股票價(jià)格跳的方向如何，投資者都將持有少量風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)甚至不持有．這是因?yàn)樵诘屯洸▌?dòng)率的環(huán)境下，投資環(huán)境好，金融市場(chǎng)穩(wěn)定，投資者信心和積極性強(qiáng)，投資者認(rèn)為股票價(jià)格發(fā)生向上跳時(shí)比股票價(jià)格發(fā)生同等幅度向下跳時(shí)的預(yù)期收益高，從而在股票價(jià)格發(fā)生向上跳時(shí)持有的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)明顯比股票價(jià)格發(fā)生同等幅度向下跳時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)多．當(dāng)通脹波動(dòng)率大于0.6時(shí)，這時(shí)的投資環(huán)境惡化，金融市場(chǎng)劇烈震蕩，投資者擔(dān)憂(yōu)情緒上升，不再大量持有不可預(yù)料的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，對(duì)股票價(jià)格跳也不再那么敏感，從而無(wú)論股票價(jià)格跳的方向如何，投資者都將持有少量風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)甚至不持有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)．

圖3: 通脹波動(dòng)率σI和股票價(jià)格跳大小μ對(duì)資產(chǎn)配置策略??的影響

4 小結(jié)

本文主要探討了在突發(fā)事件沖擊下，通貨膨脹因素對(duì)動(dòng)態(tài)資產(chǎn)配置策略的影響．當(dāng)突發(fā)事件發(fā)生時(shí)，不管資產(chǎn)價(jià)格跳的方向和大小是如何變化，投資者都會(huì)減少風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的配置，然而對(duì)于特定的資產(chǎn)價(jià)格跳大小，風(fēng)險(xiǎn)喜好者將會(huì)隨著收益波動(dòng)率跳大小增加而增加風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)配置．同時(shí)當(dāng)通脹波動(dòng)率過(guò)高時(shí)，經(jīng)濟(jì)惡化，金融市場(chǎng)波動(dòng)劇烈，投資者對(duì)收益波動(dòng)率跳大小和股票價(jià)格跳大小的變化都不再那么敏感，投資者將持有非常少的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)甚至不配置風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)．總之，突發(fā)事件和通貨膨脹對(duì)不同投資者的投資策略都有著重要的影響．因此，投資者應(yīng)時(shí)刻關(guān)注國(guó)家宏觀政策變化，根據(jù)不同的通脹程度和自己的風(fēng)險(xiǎn)承受能力，適時(shí)地調(diào)整自己的資產(chǎn)配置比例，以獲得自己期望的收益．本文利用隨機(jī)微分方程和隨機(jī)控制理論，得到最優(yōu)動(dòng)態(tài)資產(chǎn)配置策略，并通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)化模型的數(shù)值分析說(shuō)明突發(fā)事件沖擊下跳和通脹對(duì)投資者投資決策的影響．研究結(jié)果不僅可以擴(kuò)展現(xiàn)有的模型，還可以為投資者提供一定的指導(dǎo)．

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