鐘勁松

【摘要】本文就澳大利亞IB（International Baccalaureate）數(shù)學(xué)教材中函數(shù)部分內(nèi)容的整體特色，以具體的例子來(lái)介紹，旨在說(shuō)明該套教材在某些方面有一定的特點(diǎn)，值得我們教材編寫(xiě)人員和教研人員的學(xué)習(xí)和借鑒.

【關(guān)鍵詞】澳大利亞IB；數(shù)學(xué)教材；函數(shù)；特點(diǎn)

1IB介紹

IB（International Baccalaureate）是一個(gè)非盈利性的教育基金會(huì)，成立于1968年，總部設(shè)在日內(nèi)瓦，在北京、布宜諾斯艾利斯、紐約、新加坡等11個(gè)城市設(shè)有辦事處.整個(gè)IB的課程分為四個(gè)階段：小學(xué)項(xiàng)目（PYP）、中學(xué)項(xiàng)目（MYP）、大學(xué)預(yù)科項(xiàng)目（DP）和IB職業(yè)相關(guān)課程（IBCC）.無(wú)論是在哪個(gè)階段，課程都十分關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生的國(guó)際視野.DP階段（Diploma Program）是整個(gè)IB課程系統(tǒng)中最早開(kāi)設(shè)的階段（1968年）.這個(gè)階段的課程對(duì)16到19歲的學(xué)生開(kāi)放.整個(gè)課程為時(shí)兩年，相當(dāng)于中國(guó)的高二、高三，完成DP階段的課程后即可進(jìn)入大學(xué)進(jìn)行學(xué)習(xí).整個(gè)課程分為六門(mén)學(xué)科組課程和三門(mén)核心課程.每一門(mén)學(xué)科組課程都分為高等級(jí)課程（Higher Level）和標(biāo)準(zhǔn)等級(jí)課程（Standard Level）.對(duì)于高等級(jí)的課程，學(xué)生被要求完成至少240小時(shí)的課程，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)水平的課程，學(xué)生至少要完成150小時(shí)的課業(yè).

2IB數(shù)學(xué)教材及其特點(diǎn)

筆者在研讀澳大利亞高中IB數(shù)學(xué)教材（MATHEMATICS HIGHER LEVEL （CORE））（3版3次）后，發(fā)現(xiàn)該套高中教材有一定的特色.該套教材是由Fabio Cirrito為主編，Nigel Buckle，lain Dunbar為數(shù)學(xué)叢書(shū)編者的一套國(guó)際文憑大學(xué)預(yù)科數(shù)學(xué)高級(jí)教材.該套教材共27章，1068面，1997年由澳大利亞IBID出版社首次出版，目前已經(jīng)是第3版3次印刷.該套教材的每次修訂都在廣泛征求一線教師、教研人員和學(xué)生的意見(jiàn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了大量的修訂，使得教材日趨完善.學(xué)生只有學(xué)完教材中的知識(shí)內(nèi)容，考試合格方可進(jìn)入國(guó)際文憑大學(xué).該套教材內(nèi)容涉及到我國(guó)現(xiàn)行普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的大部分內(nèi)容，但其編寫(xiě)順序、知識(shí)的呈現(xiàn)方式和方法有些不同，現(xiàn)將這套教材的函數(shù)部分（一次、二次函數(shù)，絕對(duì)值函數(shù)，分段函數(shù)，方程和不等式，多項(xiàng)式，二項(xiàng)式定理，圖形的變換，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)和反三角函數(shù)，復(fù)數(shù)等）的若干特點(diǎn)歸納、整理成文，與同行交流.

2.1開(kāi)篇整體介紹

教材第一章（Chapter 1Theory of Knowledge）主要介紹數(shù)學(xué)在古代和現(xiàn)代文明的發(fā)展史中扮演著重要的角色，特別是在天文、航海、建筑、橋梁等方面的影響，并列舉了大量的實(shí)例.并且還介紹了數(shù)學(xué)的公理體系和幾條公理，證明的幾種方法——列舉法，直接證明和間接證明（反證法）以及數(shù)學(xué)悖論.同時(shí)還介紹了理論數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)，數(shù)學(xué)的美與和諧.最后，列舉了幾道經(jīng)典題目，如孿生數(shù)的對(duì)數(shù)猜想、哥德巴赫猜想、求梅森數(shù)和立體幾何等問(wèn)題，這些問(wèn)題看似簡(jiǎn)單，但解決起來(lái)非常復(fù)雜，甚至目前為止還沒(méi)有解決的一些問(wèn)題.

從開(kāi)篇第一章可以看出，編者通過(guò)詳細(xì)的實(shí)例——從古到今的數(shù)學(xué)的用處，數(shù)學(xué)的美，數(shù)學(xué)應(yīng)遵循的公理體系，證明的方法，以及一些問(wèn)題拋給學(xué)生，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)不僅有用，而且還存在很多未能解決的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的求知欲望.我們的教材出版機(jī)構(gòu)和教材編寫(xiě)人員在組織編寫(xiě)教材時(shí)，能否在開(kāi)篇不講具體的知識(shí)，而是通過(guò)具體的實(shí)例和圖形，將數(shù)學(xué)的作用、結(jié)構(gòu)和遵循的方法，數(shù)學(xué)解決的主要問(wèn)題簡(jiǎn)單地進(jìn)行說(shuō)明，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有整體的了解和全面的認(rèn)識(shí).

2.2呈現(xiàn)直觀、易懂

數(shù)學(xué)教材中通常包含文字、符號(hào)、圖形和表格語(yǔ)言，但作為數(shù)學(xué)學(xué)科來(lái)說(shuō)，抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科的主要特征，很多教材通過(guò)大量的文字來(lái)闡述公式或者一個(gè)定理，學(xué)生望而生畏.若能通過(guò)圖表形式呈現(xiàn)，學(xué)生容易直觀地理解并記憶.澳大利亞這套國(guó)際文憑大學(xué)預(yù)科數(shù)學(xué)教材中，有多處將難以理解的數(shù)學(xué)解題思想和方法，歸納和總結(jié)等通過(guò)圖表的形式呈現(xiàn)，直觀、容易理解.

（1）綜合除法的表格表示

若多項(xiàng)式A（x）=a3x3+a2x2+a1x+a0除以（x-k），所得的商是多項(xiàng)式Q（x）=b2x2+b1x+b0，余數(shù)是常數(shù)R，則有A（x）x-k=Q（x）+Rx-k.如何確定b2，b1，b0，R的值，可以通過(guò)綜合除法來(lái)求，也可以編制如圖1所示的表格，通過(guò)表格可以直接寫(xiě)出b2，b1，b0，R的值，即

b2=a3，b1=a2+kb2=a2+ka3，b0=a1+kb1，R=a0+kb0

（2）函數(shù)與關(guān)系的圖形表示圖2

如圖2所示，從圖形上可以看出，函數(shù)是一種特殊的關(guān)系，是關(guān)系的子集.另外，復(fù)合函數(shù)的存在性（即兩個(gè)函數(shù)能否復(fù)合），復(fù)合后的定義域和值域與復(fù)合前函數(shù)的定義域和值域的關(guān)系，通過(guò)圖3、4所示的圖形和表格，可以將它們的關(guān)系直觀化和可視化，可以知道復(fù)合函數(shù)（gf）的定義域、值域和函數(shù)f，g的定義域、值域的關(guān)系，即復(fù)合函數(shù)gf存在的前提是rfdg，同樣地，復(fù)合函數(shù)fg存在的前提是rgdf，一目了然，便于學(xué)生理解和掌握.

（3）用短句（口訣）幫助記憶圖5

如圖5，例如在講三角函數(shù)時(shí)，每個(gè)象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號(hào)，學(xué)生剛開(kāi)始時(shí)很難記憶.但通過(guò)記憶如右的簡(jiǎn)單圖形和短句（All Stations To City）就可以知道各個(gè)象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號(hào)的正負(fù)，即在第一象限內(nèi)，所有三角函數(shù)值為正；在第二象限內(nèi)，只有正弦函數(shù)值為正，其他三角函數(shù)值為負(fù)；第三象限內(nèi)，只有正切函數(shù)值為正，其他三角函數(shù)值均

為負(fù)；在第四象限內(nèi)，只有余弦函數(shù)值為正，其余均為負(fù).

2.3注重通性通法

該套教材函數(shù)部分內(nèi)容始終與圖形緊密結(jié)合，注重通性通法，結(jié)合函數(shù)圖形可以解決很多問(wèn)題，如函數(shù)的零點(diǎn)，方程的解和不等式的解集.例如在第三章多項(xiàng)式（Polynomials）中，內(nèi)容涉及到多項(xiàng)式的剩余定理、因式定理、繪制一般多項(xiàng)式函數(shù)的圖像，根據(jù)函數(shù)圖像了解根的情況.余數(shù)定理，即對(duì)于任意多項(xiàng)式P（x）=anx+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0來(lái)說(shuō)，除以（x-α）的余數(shù)是P（α）；因式定理，若（x-α）是多項(xiàng)式P（x）的一個(gè)因式，當(dāng)且僅當(dāng)P（α）=0.上述兩個(gè)定理的證明容易，有了這兩個(gè)武器后，勾勒一般函數(shù)（高于3次）的圖像并非難事.多項(xiàng)式的分解和穿過(guò)x軸的關(guān)系如下：

（1）當(dāng)P（x）=（x-a）（x-b）（x-c）…，其中a≠b≠c≠…，曲線將穿過(guò)x=a，x=b，x=c，…，在每一個(gè)點(diǎn)，曲線穿過(guò)該點(diǎn)的形狀是如圖6所示，共4種情形.

（2）當(dāng)P（x）=（x-a）2（x-b）（x-c）…，其中x=a時(shí)P（x）=0二重根，且a≠b≠c≠…，函數(shù)y=P（x）的曲線穿過(guò)x=a時(shí)，符號(hào)不改變，曲線在x=a附近的形狀如圖7所示，共2種情形.

（3）當(dāng)P（x）=（x-a）3（x-b）（x-c）…，其中x=a時(shí)P（x）=0三重根，且a≠b≠c≠…，函數(shù)y=P（x）的曲線穿過(guò)x=a，曲線穿過(guò)x=a時(shí)的圖像如圖8所示，共2種情形，根據(jù)上述三點(diǎn)可以勾勒一部分函數(shù)（n≥3）的圖像，特別是容易因式分解的多項(xiàng)式的函數(shù)圖像.

實(shí)際上，學(xué)生若能掌握上述三點(diǎn)，在研究一些函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性和極值很有好處，避免了繁瑣的求導(dǎo)計(jì)算.不過(guò)，本方法也存在一些弊端，難在將一些多項(xiàng)式正確地進(jìn)行分解因式.另外，本套教材還充分利用變換的觀點(diǎn)，即利用平移、旋轉(zhuǎn)、反射和放縮的變換的思想，從基本的圖形開(kāi)始，通過(guò)分析圖形的變換，最后達(dá)到能夠繪制復(fù)雜的圖形，直觀地分析圖形的性質(zhì).

2.4與技術(shù)結(jié)合緊密

澳大利亞這套教材充分利用信息技術(shù)，使用數(shù)學(xué)軟件，圖形計(jì)算器（T1-83）等，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，特別是將學(xué)生從繁雜的計(jì)算、圖形的繪制中“解放”出來(lái)，用更多的時(shí)間進(jìn)行構(gòu)思和創(chuàng)造性的研究.例如利用圖形計(jì)算器解方程（組）、不等式（組），計(jì)算組合數(shù)和三角函數(shù)，作函數(shù)的圖像，根據(jù)函數(shù)圖像研究函數(shù)的性質(zhì)，以及在同一坐標(biāo)中作不同函數(shù)的圖像，通過(guò)比較函數(shù)圖像，研究各種變換（平移、旋轉(zhuǎn)、伸縮、對(duì)稱和反射）對(duì)函數(shù)圖形的影響，將抽象的問(wèn)題通過(guò)直觀的圖形體現(xiàn).另外，圖形計(jì)算器還能夠作兩組關(guān)聯(lián)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖來(lái)選擇哪類函數(shù)進(jìn)行擬合，計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和期望值等等.總之，與新技術(shù)緊密結(jié)合是該套教材的一大特點(diǎn)，鼓勵(lì)學(xué)生充分利用新技術(shù)來(lái)做數(shù)學(xué)，減少繁雜重復(fù)的計(jì)算.

2.5習(xí)題量多、偏應(yīng)用

本套教材在每節(jié)后面配有大量的習(xí)題，如在解含有絕對(duì)值的一次式方程（Linear Equations involving Absolute values）時(shí)，本節(jié)有兩道例題，在后面配有八道練習(xí)題，每道練習(xí)題有2～12個(gè)小題，難度從低到高，內(nèi)容涉及到各個(gè)方面，并且有些超難題.練習(xí)題的配置還有一個(gè)顯著特點(diǎn)，那就是偏重應(yīng)用.實(shí)際上，函數(shù)部分習(xí)題主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力，很難與實(shí)際生活結(jié)合起來(lái).

本套教材的例題和習(xí)題，有很多題來(lái)源于實(shí)際生活.例如在講指數(shù)函數(shù)模型時(shí)，有關(guān)細(xì)菌隨時(shí)間的增長(zhǎng)，礦物質(zhì)隨時(shí)間的減少，機(jī)器隨時(shí)間折舊，光的強(qiáng)度通過(guò)水域時(shí)強(qiáng)度減弱等等，涉及到醫(yī)療、衛(wèi)生、環(huán)境和科技等各個(gè)方面.同樣，對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)模型，數(shù)列（等差、等比，復(fù)利率和養(yǎng)老金），三角函數(shù)等等，幾乎涉及到社會(huì)生活的方方面面，讓學(xué)生感知到數(shù)學(xué)的應(yīng)用和魅力.

2.6注重內(nèi)容連貫

本套數(shù)學(xué)教材非常注重內(nèi)容的連貫性.首先，講代數(shù)的基本知識(shí)，如數(shù)軸、無(wú)理數(shù)、絕對(duì)值以及區(qū)間的表示方法；其次，講二（一）次函數(shù)、方程和不等式，解一次、二次方程組等.最后，講多項(xiàng)式，二項(xiàng)式定理，函數(shù)與關(guān)系，圖形與變換，指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，數(shù)列和級(jí)數(shù)，三角函數(shù)及其應(yīng)用，復(fù)數(shù)（復(fù)數(shù)的幾何表示和幾何屬性，復(fù)數(shù)的三角表示，復(fù)數(shù)域內(nèi)多項(xiàng)式方程及其解，三角不等式、德模弗定理、代數(shù)基本定理）等等.通過(guò)連續(xù)地將函數(shù)知識(shí)介紹完，有利于學(xué)生系統(tǒng)地理解和掌握函數(shù)的知識(shí)，更加符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.另外，統(tǒng)計(jì)與概率方面按照統(tǒng)計(jì)（描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、統(tǒng)計(jì)測(cè)量），計(jì)數(shù)原理，概率，離散隨機(jī)變量（數(shù)學(xué)期望與方差、二項(xiàng)分布、超幾何分布、泊松分布、正態(tài)分布）等順序，按照內(nèi)容的關(guān)聯(lián)度，連貫地串聯(lián)而成，便于學(xué)生系統(tǒng)地了解和掌握知識(shí).

2.7關(guān)注數(shù)學(xué)與文化

本套教材關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)容的同時(shí)，注意文化的熏陶.例如在“指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)”章中，介紹了自然對(duì)數(shù)的底e歷史，通過(guò)復(fù)利的計(jì)算，即當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)的極限，即limn→∞1+1nn=e=2.71828…；再例如在對(duì)數(shù)函數(shù)的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題上，真數(shù)的乘除可以化為指數(shù)的加減運(yùn)算，大大地減少了人類的運(yùn)算量.關(guān)于對(duì)數(shù)的發(fā)明問(wèn)題，蘇格蘭數(shù)學(xué)家、神學(xué)家納皮爾（John Napier）和瑞士數(shù)學(xué)家布爾基（Jobst Bürgi），是否獨(dú)立發(fā)表，誰(shuí)先誰(shuí)后的爭(zhēng)議上都有介紹.實(shí)際上，納皮爾于1614年出版了關(guān)于對(duì)數(shù)討論的小冊(cè)子，而布爾基于1620年獨(dú)立地出版了他的發(fā)現(xiàn).最后，在講二項(xiàng)式定理時(shí)，展開(kāi)項(xiàng)的系數(shù)與Pascal三角形數(shù)一致，在本書(shū)中，還提到了Pascal早期的概率理論的研究，同時(shí)提到了中國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝對(duì)“楊輝三角形”的研究，且比Pascal的研究早很多年，等等.

2.8重視演繹推理和細(xì)節(jié)

該套教材的編寫(xiě)在關(guān)注合情推理的同時(shí)，始終按照傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)方式編寫(xiě)——演繹推理，特別關(guān)注數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，同時(shí)也注重現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論，經(jīng)典方法與現(xiàn)代信息技術(shù)結(jié)合，讓學(xué)生感知到不僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而是某種程度上參與數(shù)學(xué)問(wèn)題的討論.通常是介紹定理，從不同方面來(lái)證明，對(duì)于數(shù)學(xué)例題，從不同角度進(jìn)行解答，規(guī)范解題步驟，最后達(dá)到定理的應(yīng)用和總結(jié).

該套教材在細(xì)節(jié)方面也特別注意，譬如在講復(fù)合函數(shù)時(shí)，通常情況下為什么有fg≠gf？對(duì)數(shù)的真數(shù)為什么不能為負(fù)數(shù)？等等，都很注重.

2.9注重總結(jié)與歸納

本套教材非常注重總結(jié)與歸納，例如解三元一次方程組時(shí)，把解的情況與空間三個(gè)平面的關(guān)系對(duì)應(yīng)起來(lái)，并列出了空間中三個(gè)平面的8種位置關(guān)系.再例如二次函數(shù)ax2+bx+c=0（a≠0）的根的三種情形；關(guān)系的四種類型（一對(duì)一、一對(duì)多、多對(duì)一、多對(duì)多），只有一對(duì)一才是函數(shù)關(guān)系，其他情況不是函數(shù)關(guān)系，并配有圖示.在函數(shù)與關(guān)系章節(jié)中，列舉了兩個(gè)變量x，y的9種關(guān)系，它們分別為y=mx+c，y=ax2+bx+c，y=ax3+bx2+cx+d，y=a×bkx+c，y=ax-b+c，y=ax+b和y=alogb（x-c），y=a（x-b）2+c，（x-a）2+（y-b）2=r2，分別繪制它們的圖形和進(jìn)行了性質(zhì)的說(shuō)明.再譬如用正弦定理解三角形時(shí)，當(dāng)已知銳角α和兩邊a，b，有四種可能情況，已知鈍角α和兩邊a，b，有兩種情況，均配有圖示.

3總結(jié)與反思

本套澳大利亞IB高級(jí)大學(xué)預(yù)科數(shù)學(xué)教材是按照IB課程標(biāo)準(zhǔn)編寫(xiě)，有些內(nèi)容比我國(guó)按現(xiàn)行課程標(biāo)準(zhǔn)編寫(xiě)的數(shù)學(xué)教材要難，例如在復(fù)數(shù)內(nèi)容上，在概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容上，在微積分內(nèi)容上，甚至在函數(shù)內(nèi)容上，有很多內(nèi)容超出了我國(guó)現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材的難度和深度，有些知識(shí)內(nèi)容在我國(guó)教材中出現(xiàn)一點(diǎn)點(diǎn)，甚至沒(méi)有出現(xiàn).如復(fù)數(shù)的三角表示，代數(shù)基本定理，德模弗定理及復(fù)數(shù)的應(yīng)用.再比如如何求三角函數(shù)（sin x，cos x，tan x）的反函數(shù)等，在我國(guó)現(xiàn)行教材中就沒(méi)有出現(xiàn).我們國(guó)家的教材建設(shè)經(jīng)過(guò)一代又一代人的努力，積累了很多優(yōu)點(diǎn)，希望我們的教材編寫(xiě)單位在發(fā)揚(yáng)傳統(tǒng)教材優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，廣泛吸取國(guó)外優(yōu)秀教材編寫(xiě)經(jīng)驗(yàn)，特別是國(guó)際上反響比較好的數(shù)學(xué)教材，共同提高我們的數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)質(zhì)量，培養(yǎng)出更加優(yōu)秀的、與國(guó)際接軌的優(yōu)秀數(shù)學(xué)人才.