李昱筱

摘 要：概率與統(tǒng)計(jì)，求方差與期望，是高中數(shù)學(xué)一個(gè)非常實(shí)用的知識(shí)點(diǎn)。在高中學(xué)習(xí)中，對(duì)于方差與期望的認(rèn)識(shí)相對(duì)抽象，有時(shí)并不好理解，然而概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)可以說是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論基礎(chǔ)。在高中階段就在概率與統(tǒng)計(jì)方面打下良好的基礎(chǔ)，對(duì)于未來大學(xué)學(xué)習(xí)會(huì)產(chǎn)生很重要的幫助。本文就高中數(shù)學(xué)中的概率與統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)為展開，簡(jiǎn)述了概率論、統(tǒng)計(jì)方法，期望與方差的應(yīng)用，同時(shí)簡(jiǎn)要的介紹了現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的部分內(nèi)容。

關(guān)鍵詞：概率；統(tǒng)計(jì)；期望與方差；經(jīng)濟(jì)學(xué)

一、引言

數(shù)學(xué)作為一門最基礎(chǔ)的自然科學(xué)，它作為一種基礎(chǔ)的工具應(yīng)用于大部分自然科學(xué)的研究之中，數(shù)學(xué)的發(fā)展與突破促進(jìn)著現(xiàn)代科學(xué)的進(jìn)步，同樣科學(xué)領(lǐng)域的突破也作用于數(shù)學(xué)的發(fā)展。作為社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域的經(jīng)濟(jì)學(xué)，以其研究對(duì)象的獨(dú)特性質(zhì)也與數(shù)學(xué)產(chǎn)生了千絲萬縷的關(guān)系。經(jīng)濟(jì)學(xué)作為一門研究?jī)r(jià)值的生產(chǎn)、流通、分配、消費(fèi)的規(guī)律的科學(xué)，它對(duì)數(shù)學(xué)的依賴性可見一斑，數(shù)學(xué)對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展起到了巨大的貢獻(xiàn)作用，但隨著現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的日趨發(fā)展成熟，它對(duì)數(shù)學(xué)的反哺作用也日趨明顯，也伴隨產(chǎn)生了統(tǒng)計(jì)學(xué)、模糊數(shù)學(xué)等數(shù)學(xué)的分支學(xué)科。但是，在分析數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)的關(guān)系中，數(shù)學(xué)雖然重要，也要注意數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中依然是工具，我們既合理的掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)但也不能將其偏頗的凌駕于經(jīng)濟(jì)學(xué)之上。

二、概率與統(tǒng)計(jì)

作為高中數(shù)學(xué)涉及較晚的一項(xiàng)內(nèi)容，概率與統(tǒng)計(jì)已經(jīng)隨著現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展，成為了一個(gè)數(shù)學(xué)獨(dú)立的分支而存在。它是被應(yīng)用于研究和解釋隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科。我們?nèi)粘Ｉ钪?，尤其是在?jīng)濟(jì)生活中所遇到的很多涉及到計(jì)算的問題，其實(shí)大都屬于概率與統(tǒng)計(jì)的問題。數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)是研究這一類規(guī)律性現(xiàn)象的，這與另外一些自然學(xué)科的必然性截然不同。首先，因?yàn)楦怕式y(tǒng)計(jì)的條件和達(dá)成的結(jié)果之間有時(shí)并不是必然的聯(lián)系，即在同一情況下，可能會(huì)發(fā)生某一結(jié)果，也可能發(fā)生另一結(jié)果。這就要求研究者在精確的數(shù)學(xué)分析之上還要充分結(jié)合經(jīng)濟(jì)上規(guī)律進(jìn)行細(xì)致的分析與預(yù)估。

關(guān)于概率論的討論，最初是由數(shù)學(xué)家帕斯卡和費(fèi)馬在相互通信中展開的。那時(shí)概率的明確概念還沒有被提出，但他們的討論中已涉及到早期古典概率的概念，最初概率與數(shù)學(xué)期望等基本概念的雛形、性質(zhì)和相應(yīng)的計(jì)算方法都在這樣的討論中逐步確定了下來?？梢姡怕逝c統(tǒng)計(jì)在當(dāng)時(shí)就展現(xiàn)出了它作為具有特定研究對(duì)象的獨(dú)立學(xué)科的潛質(zhì)。

我們?nèi)粘Ｉ钪凶畛＝佑|的一類概率問題就是等可能性事件問題，即某件事包含基本事件m個(gè)，基本事件總數(shù)為n，那么這一事件A的概率計(jì)算為：

P（A）==

例1.從一個(gè)總體含有50人的班級(jí)，隨機(jī)選擇5名同學(xué)做一個(gè)問卷調(diào)查，以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方式從中抽取，則指定的某人被抽到的概率為多少？

P===0.1

上述列舉的就是一個(gè)最簡(jiǎn)單的等可能事件即古典概率事件。

三、期望與方差

期望與方差作為常用隨機(jī)變量的兩個(gè)重要數(shù)字特征，是對(duì)變量的一種理性地?cái)?shù)理分析，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，分析風(fēng)險(xiǎn)預(yù)估收益的一種重要參考標(biāo)準(zhǔn)。

1.期望

若X為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為P（X=xk）=pk （k=1，2…），則稱和數(shù)

x1p1+x2p2+…+xkpk+…=xkpk

為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，通常簡(jiǎn)稱期望，記為E（X）即

E（X）=xkpk

若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f（x），則X的數(shù)學(xué)期望為

E（X）=xf（x）dx

期望體現(xiàn)出了隨機(jī)變量取值范圍的真正的“平均”，因此在對(duì)于不確定性因素的分析中，期望體現(xiàn)出了其極大地作用。

2.方差

方差是對(duì)期望的進(jìn)一步分析，是函數(shù)f（x）=[X-E（X）]2的期望，因此，離散型、連續(xù)型隨機(jī)變量的方差可統(tǒng)一為

D（X）=E[X-E（X）]2

方差揭示了X的取值偏離期望值E（X）的程度，在經(jīng)濟(jì)學(xué)當(dāng)中，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)分析和收益預(yù)估有著極其重要的作用。方差的計(jì)算經(jīng)常用到簡(jiǎn)化公式：D（X）=E（X2）-[E（X）]2

3.期望與方差在投資分析時(shí)的應(yīng)用

通過一道實(shí)際問題來體現(xiàn)期望與方差在實(shí)際經(jīng)濟(jì)應(yīng)用中的解決，我們可以更直觀的感受期望與方差的在經(jīng)濟(jì)決策與分析中的應(yīng)用。如現(xiàn)在相對(duì)比較火的投資項(xiàng)目基金為例，如將一筆閑置資金投入到三個(gè)不同的盈利基金中，設(shè)為基金A、基金B(yǎng)、基金C。

不同的基金收入不同，同時(shí)又與經(jīng)濟(jì)形勢(shì)和投資領(lǐng)域有關(guān)系。假設(shè)對(duì)應(yīng)的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)可粗略的分為好、中、差三個(gè)級(jí)別，發(fā)生的概率分別為 P好=0.2，P中=0.7，P壞=0.1

根據(jù)各基金的數(shù)據(jù)參考可得到不同級(jí)別狀態(tài)下各基金的收益概率分布如下表：

[＼& P好=0.2＼&P中=0.7＼&P壞=0.1＼&基金A＼&11＼&3＼&-3＼&基金B(yǎng)＼&6＼&4＼&-1＼&基金C＼&10＼&2＼&-2＼&]

此時(shí)，我們?cè)撊绾瓮顿Y才能獲得比較好的收入呢？

解：首先通過計(jì)算三個(gè)基金的數(shù)學(xué)期望

E（A）=11×0.2+3×0.7+（-3）×0.1=4

E（B）=6×0.2+4×0.7+（-1） ×0.1=3.9

E（C）=10×0.2+2×0.7+（-2） ×0.1=3.9

方差：

D（A）=（11-4）2×0.2+（3-4）2×0.7+（-3-4）2×0.1=15.4

D（B）=（6-3.9）2×0.2+（4-3.9）2×0.7+（-1-3.9）2×0.1=3.29

D（C）=（10-3.2）2×0.2+（2-3.2）2×0.7+（-2-3.2）2×0.1=12.96

通過分析離散型隨機(jī)變量的期望可知，投資基金A的平均收益最大。但投資的同時(shí)也要注意風(fēng)險(xiǎn)，這時(shí)通過對(duì)它們各自方差的分析，方差越大，風(fēng)險(xiǎn)的波動(dòng)越大。這樣比較看，基金B(yǎng)的風(fēng)險(xiǎn)最小，同時(shí)收益上又比基金A相差較小，所以選擇基金B(yǎng)來投資更加合理。

四、數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)初識(shí)

可以看出，經(jīng)濟(jì)學(xué)從它誕生到發(fā)展，數(shù)學(xué)都在其中起著重要的作用，數(shù)學(xué)使經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究變得清晰、精確、嚴(yán)密，并加速了經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展。但如果在經(jīng)濟(jì)研究中片面的強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的作用，就會(huì)喪失經(jīng)濟(jì)學(xué)的本質(zhì)，甚至?xí)?dǎo)致我們誤入歧途。

經(jīng)濟(jì)學(xué)作為一門科學(xué)，是一個(gè)有機(jī)的整體，它研究的是人類社會(huì)當(dāng)中眾多經(jīng)濟(jì)活動(dòng)和與其相對(duì)應(yīng)的經(jīng)濟(jì)關(guān)系，和其中的運(yùn)行、發(fā)展的規(guī)律。其實(shí)，經(jīng)濟(jì)學(xué)以資源的優(yōu)化配置為核心的，目的在于將資源做出最大化的利用。在經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展過程中，初見產(chǎn)生了微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)和宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)兩大重要分支。經(jīng)濟(jì)學(xué)被認(rèn)為起源于古代經(jīng)濟(jì)思想，以及逐步產(chǎn)生的早期經(jīng)濟(jì)學(xué)思想，在經(jīng)過現(xiàn)當(dāng)代諸多經(jīng)濟(jì)學(xué)家亞當(dāng)·斯密、馬克思、凱恩斯等的完善與發(fā)展，經(jīng)濟(jì)學(xué)逐步建立起完整統(tǒng)一的理論體系，經(jīng)濟(jì)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用由最初的政治經(jīng)濟(jì)學(xué)向科學(xué)的經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展，成為一門復(fù)雜而具體的科學(xué)門類。