初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中杜絕易錯(cuò)題的方法

唐小平

甘肅省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2014年度《初中學(xué)生數(shù)學(xué)易錯(cuò)題分析研究》課題（課題批準(zhǔn)號(hào)：GS[2014]GHB0668）成果.

初中學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中由于主觀和客觀方面的原因出現(xiàn)解題方面的錯(cuò)誤是可以杜絕的.下面通過(guò)具體的例子給出杜絕初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中易錯(cuò)題的方法：

例1 等腰三角形ABC中，∠A = 70°，求∠B，∠C的度數(shù).

錯(cuò)解 ∵∠A = 70°，∴∠B = ∠C = （180° - ∠A） = （180° - 70°） = 55°.

錯(cuò)因分析 考慮問(wèn)題不全面，學(xué)生在這里誤認(rèn)為∠A為等腰△ABC的頂角，沒(méi)有考慮∠B是等腰三角形ABC的頂角，從而導(dǎo)致漏解.

正解 當(dāng)∠A = 70°是等腰三角形ABC的頂角時(shí)，由“三角形的內(nèi)角和定理”和“等邊對(duì)等角定理”有∠B = ∠C = （180° - ∠A） = （180° - 70°） = 55°；

當(dāng)∠A = 70°是等腰三角形ABC的底角，而∠B是等腰△ABC的頂角時(shí)，利用“三角形的內(nèi)角和定理”和“等邊對(duì)等角定理”就可以求出∠B = 180° - 2∠A = 180° - 2 × 70° = 40°，∠C = 70°；

當(dāng)∠A和∠B都是等腰三角形ABC的底角時(shí)，有∠B = ∠A = 70°，此時(shí)∠C = 40°.

綜上所述，∠B = ∠C = 55°或∠B = 40°，∠C = 70°或∠B = 70°，∠C = 40°.

杜絕錯(cuò)誤的方法：對(duì)于受思維定式（或思維的片面性）的影響，考慮問(wèn)題不全面，造成漏（少）解或出現(xiàn)增（多）解（根）而出錯(cuò)的題目，只要考慮問(wèn)題周全（如用分類討論的數(shù)學(xué)思想），即把幾種可能性都考慮進(jìn)去的話，這類錯(cuò)誤是可以杜絕的.

例2 如果函數(shù)y = （m - 2）xm2 + m - 4是二次函數(shù)，求常數(shù)m的值.

錯(cuò)解 ∵ y = （m - 2）xm2 + m - 4是二次函數(shù)，

∴ m2 + m - 4 = 2，即m2 + m - 6 = 0，∴ m1 = -3，m2 = 2.

錯(cuò)因分析：不能正確理解二次函數(shù)的定義，即二次函數(shù)中自變量的最高次數(shù)是2，且二次項(xiàng)的系數(shù)不為零，錯(cuò)解中忽略了m - 2 ≠ 0的條件而產(chǎn)生多解.

正解 ∵ y = （m - 2）xm2 + m - 4是二次函數(shù)，

∴ m2 + m - 4 = 2，即m2 + m - 6 = 0，∴ m1 = -3，m2 = 2.

∵ m - 2 ≠ 0，∴ m ≠ 2，∴常數(shù)m的值為-3.

杜絕錯(cuò)誤的方法：只要抓住概念的本質(zhì)，正確、深刻、透徹的理解概念，搞清楚概念的內(nèi)涵和外延，就可以杜絕這類錯(cuò)誤的發(fā)生.

例3 已知x = 2 + ■，y = 2 - ■，求式子■ - ■■ - ■的值.

錯(cuò)解 ■ - ■■ - ■ = ■ × ■ = ■×■ = -■×■ = -■.

當(dāng)x = 2 + ■，y = 2 - ■時(shí)，原式 = -■ = -■ = -■ = -■.

錯(cuò)因分析：不能正確運(yùn)用完全公式（a±b）2 = a2±2ab + b2，即錯(cuò)誤地認(rèn)為（a±b）2 = a2±b2而出錯(cuò).

正解 ■ - ■■ - ■ =

■ × ■ =

■×■ =

-■ × ■ = -■.

當(dāng)x = 2 + ■，y = 2 - ■時(shí)，原式 = -■ = -■ = - ■ = -4.

杜絕錯(cuò)誤的方法：只要記熟完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征“首平方，尾平方，首尾的2倍中間放”就可以杜絕這類錯(cuò)誤的發(fā)生.

例4 已知（x2 + y2）2 + 2（x2 + y2） = 15，則x2 +y2 = .

錯(cuò)解 將原方程變形成[（x2 + y2） + 5][（x2 + y2） - 3] = 0.即（x2 + y2） + 5 = 0或（x2 + y2） - 3 = 0. 所以（x2 + y2） = -5或（x2 + y2） = 3.

錯(cuò)因分析 由于忽視了x2 + y2 ≥ 0這個(gè)隱含條件而出錯(cuò).

正解 將原方程變形成[（x2 + y2） + 5][（x2 + y2） - 3] = 0.即（x2 + y2） + 5 = 0或（x2 + y2） - 3 = 0. 亦即（x2 + y2） = -5或（x2 + y2） = 3. 但x2 + y2 ≥ 0，故（x2 + y2） = 3.

杜絕錯(cuò)誤的方法：對(duì)于這樣的題，只要能挖掘出題目中的隱含條件或認(rèn)真審題的話，這類錯(cuò)誤是可以杜絕的.

例5 一個(gè)商店在某一時(shí)間以每件60元的價(jià)格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？

錯(cuò)解 不盈不虧.

錯(cuò)因分析：習(xí)慣思維定式、不尊重客觀事實(shí)想當(dāng)然憑直覺解題，即誤認(rèn)為一個(gè)贏利25%，另一個(gè)虧本25%，贏和虧的百分?jǐn)?shù)相同，并且每件都以60元的價(jià)格賣出，所以總的贏、虧情況一定是不賠不賺，這中間就忽略了兩件衣服的進(jìn)價(jià).

正解 設(shè)盈利25%的衣服的進(jìn)價(jià)為x元，虧損25%的衣服的進(jìn)價(jià)為y元，則由題意知

60 - x = 25%x，解出x = 48.

y - 60 = 25%y，解出y = 80.

∴總售價(jià) - 總進(jìn)價(jià) = 60 × 2 - （48 + 80） = -8.

∴賣這兩件衣服總的是虧損8元.

杜絕錯(cuò)誤的方法：解盈虧問(wèn)題是利用售價(jià)與進(jìn)價(jià)的差值來(lái)比較的，所以只要弄清這兩件衣服的進(jìn)價(jià)，然后用總售價(jià)減去總進(jìn)價(jià)就可以杜絕這類錯(cuò)誤的發(fā)生.

當(dāng)然要杜絕初中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中易錯(cuò)題的發(fā)生，并非一朝一夕就能完成，這是一個(gè)長(zhǎng)期的、復(fù)雜的過(guò)程，一方面需要老師的反復(fù)強(qiáng)調(diào)，更重要的是要靠學(xué)生自己，因?yàn)閮?nèi)因是變化的根據(jù)，外因是變化的條件.