高等數(shù)學(xué)中積分計算的代數(shù)思想

剛蕾 徐爽 唐強

摘要：重積分是高等數(shù)學(xué)的重點，也是難點，是研究空間解析幾何經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)工具，因為重積分的計算技巧性較強而且存在很多困難；如果能夠結(jié)合線性代數(shù)中的正交變換，利用“正交變換”的有關(guān)理論來解決某些重積分問題會顯得比較簡便且頗有成效，而且近年來數(shù)學(xué)的代數(shù)化思想日漸顯示它的重要作用，從而推進了各學(xué)科之間的聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：正交變換，重積分

中圖分類號：O1文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2016）04（B）-0000-00

在重積分的計算過程中，經(jīng)常要用到坐標(biāo)變換，常用的坐標(biāo)變換有極坐標(biāo)變換、廣義極坐標(biāo)變換、柱坐標(biāo)變換、球坐標(biāo)變換、廣義球坐標(biāo)變換等，而坐標(biāo)變換只不過是改變積分區(qū)域的劃分，選擇替換有著很大的隨意性并且存在一定的困難.對于被積函數(shù)可用二次型形式或積分區(qū)域可用二次型函數(shù)描述的重積分的計算問題，我們通過引進代數(shù)中關(guān)于二次型化標(biāo)準(zhǔn)型的方法，對坐標(biāo)系作正交變換，這樣就可以簡化被積函數(shù)，或者一定意義上可以簡化積分區(qū)域，從而簡化了重積分的計算。對于那些需要兼顧被積函數(shù)和積分區(qū)域特點的重積分計算問題，用正交變換則顯得尤為簡單。

應(yīng)當(dāng)指出，化重積分為累次積分的變量替換，是計算重積分中最常用的方法，但是我們所遇到的重積分不一定都能用他們算出來，所以有時不得不使用其它數(shù)學(xué)工具和方法.在積分計算中引入正交變換可以簡化這類積分的運算，從而卓有成效的解決積分的某些問題，它是解決二重積分的變量替換的一種有力工具，另外在三重積分、曲線積分、曲面積分等中也都有著廣泛的應(yīng)用。

3結(jié)論

正交變換之所以能夠在數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)揮重要的作用，是因為它符合數(shù)學(xué)發(fā)展的代數(shù)化潮流，集合了數(shù)學(xué)方法論中豐富的數(shù)學(xué)思想，因而得到了廣泛應(yīng)用。文中已經(jīng)舉例說明的積分結(jié)論，恰恰是在正交變換作用下獲得的具有數(shù)學(xué)美的產(chǎn)物。所以高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)是密不可分的，相互影響相互推進。

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