楊美

【摘要】 《數(shù)學課程標準》（2011年版）指出：教師教學應該以學生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎. 作為一線教師，在課堂教學中只有遵循知識本身的邏輯，并準確把握學生已有的生活經(jīng)驗和真實的學習起點，才能有效提高課堂實效. 本文以《解決問題的策略—列舉》一課為例從教學前的思考、課前預學案的設計與分析、課堂教學實踐、教學后的思考四個方面來剖析如何構筑高效的數(shù)學課堂.

【關鍵詞】 教學起點；列舉策略；課前預學案；高效課堂

此文為江蘇省重點自籌項目《求真課堂：基于陶行知兒童哲學的實踐研究》階段性案例成果.

一、教學前的思考

1. 陶行知先生在《教學合一》文中指出：“先生的責任不在教，而在教學生學. ” 《數(shù)學課程標準》（2011年版）的課程基本理念中也明確指出“有效的教學活動是學生學與教師教的統(tǒng)一”，“教師教學應該以學生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎，面向全體學生，注重啟發(fā)式和因材施教”. 崔允漷教授在《有效教學》第二章“怎樣教得有效”的開篇設計了一個問題“請你設想一下，如果安排你上一節(jié)課，你在上課前會想什么，將做什么樣的準備”. 如果說陶行知先生道出了課堂教學的本質(zhì)，即教學的根本目的是促進學生愿學、會學、能學. 那么，《數(shù)學課程標準》則指明了課堂教學的方向，崔允漷教授則明示了要上好一節(jié)有效、高效課的路徑與方法.

2. 《解決問題的策略——列舉》是蘇教版五年級上冊第七單元內(nèi)容，列舉策略是生活中解決問題時常用的策略之一，因此學生并不陌生，關鍵是如何讓學生在不重復、不遺漏地列舉出符合要求的各種情況的同時，體會列舉策略的特點和價值，掌握列舉解決問題的方法.

3. 這節(jié)課的內(nèi)容如何讓學生學得更好，需要把握四個問題：

（1）對于例題學生解決的方式、解決的程度、能夠獨立解決此問題的學生范圍等學情情況需要明晰.

（2）學生對應用列舉策略解決實際問題的方法用語言描述時能否精當.

（3）學生能否熟練應用列舉策略解決生活中的實際問題. （4）能否正確選擇相應的策略解決生活中的不同問題.

綜上所述，教學前的思考涵蓋三方面：一是以“學生學”為教學中心；二是努力尋求學生的最近發(fā)展區(qū)；三是幫助學生建立科學規(guī)范的數(shù)學基本知識和基本能力.

二、課前預學案探尋學生認知狀況

1. 課前預學案的設計

本節(jié)課的內(nèi)容從知識體系的角度分析，學生已經(jīng)有了初步的認知儲備，例如：低年級時學習過數(shù)的拆分，中年級時學習過帽子與木偶的搭配問題等，這些個案的學習為學生有序地解決問題奠定了基礎. 此外，關于例1中已知周長為22米，如何擺出大小不同的長方形，此類型數(shù)學活動在三年級下冊第六單元《長方形和正方形的面積》學習時，已經(jīng)安排了數(shù)學活動. 可以說學生已經(jīng)具備了獨立解決例1的數(shù)學活動能力. 基于以上認識，我設計了課前預學案，以便找準課堂教學的起點.

2. 學生認知狀況分析

例1是學生關于列舉策略內(nèi)涵認知的示例，通過個案讓學生感知列舉策略的價值與方法，是學生學習列舉策略的基礎. 因此，正確了解學生對例1學習的狀況，是找準教學起點的關鍵.

①本班共有學生45人，完成課前預學案45人. 對于例1的學習，所有同學都能夠通過逐個羅列的方法，找到問題的答案. 其中44名同學沒有出現(xiàn)重復與遺漏情況，只有1名同學出現(xiàn)了一例重復的列舉. 說明用22根1米長的小棒圍成不同形狀的長方形，學生的思路與方法比較清晰.

②運用列舉策略解決例1的過程中，學生運用了不同的形式，具體情況如下表：

從表中數(shù)據(jù)可以看出，形象直觀的畫圖形式并不是學生首選，學生還是比較傾向于邏輯性強、條理清晰、便于操作的列表形式.

③ 為了進一步了解“學生對應用列舉策略解決實際問題的方法的語言描述”狀態(tài)時，我采取了訪談法. 訪談對象共10名學生，含三種情況：寫兩種方式以上的學生3人，寫一種方式的學生6人，出現(xiàn)重復情況的學生1人. 通過對學生的訪談可以得出以下三個結論：

第一、在訪談的學生中，有90%的孩子能夠清楚地表述出解題思路和解題過程，并且能感受到，解決本題時，需要進行有序地一一列舉.

第二、學生能夠感受到有序列舉的價值，即有序能夠做到不重復和不遺漏，但是學生對這樣的價值的表述還不夠完整和準確.

第三、對于畫圖、分合式計算、列表三種方式之間的關系不夠清晰.

3. 基本結論

（1）列舉策略的序化思考學生已經(jīng)有了比較清晰的理解，課堂教學可基于這樣的起點，在學生匯報交流的基礎上點撥提升，有效提煉列舉策略的內(nèi)涵與方法.

（2）需要通過 “辨識”、“辨析”等途徑和方法，通過豐富的、典型的例子來讓學生進一步感受列舉策略的價值. 通過“模仿”、“變式”等不同題型的練習，讓學生熟練掌握應用列舉策略解決實際問題的方法.

三、基于學生學習起點的課堂教學實踐

根據(jù)課前預學案學生認知水平的探知，重新確立了課堂教學的起點，在學生認知呈現(xiàn)的基礎上，通過錯例辨識、優(yōu)化方法、示例拓展、策略辨析等途徑，促進學生完善認識，形成能力.

1.認知呈現(xiàn)，點撥提升

教學片斷1：

師：昨天預學案第1題你是如何解決的？哪名同學能夠把你的解決方法與結果與同學們分享一下？

生1：我用的是分與合的方法. 先用22 ÷ 2 = 11（米），求出一個長一個寬的和，再分別找到圍成的長方形的長和寬，用長乘寬算出不同圍法的長方形的面積，從小到大，我發(fā)現(xiàn)當長是6米，寬是5米時，長方形面積最大，最大的面積是30平方米.

生2：我補充一下，除了分與合的方法還可以用畫圖的方法與列表的方法. 畫圖時，先畫寬1米，長10米的長方形，面積是10平方米；再畫寬2米，長9米的長方形，面積是18平方米；……；通過畫圖，我得出當寬5米，長6米時，面積最大，是30平方米. 畫圖后，我覺得太麻煩，又將畫圖時的數(shù)據(jù)列成了表格，同樣知道“長6米，寬5米時，面積最大”.

師：下面是一名同學預學案的解答方法，看后你有什么想法？

生4：圍成長6米、寬5米的長方形，與圍成長5米，寬6米的長方形重復了. 因為如果將長方形旋轉(zhuǎn)一下，它們是相同形狀的長方形.

生5：這名同學首先畫了最大的長方形，然后再畫其他形狀的長方形，順序有點亂，我們最好按寬從小到大有序地去畫，這樣就不會出現(xiàn)重復與遺漏的現(xiàn)象. （板書有序，不重復、不遺漏）

師：在解決這個問題時，有的小組用列表的方法一一呈現(xiàn)可能的結果、有的小組畫圖、有的列算式、有的借助數(shù)的分與合一個一個找出所有可能結果，看起來方式不一樣，但在本質(zhì)上有什么共同的特點？

生6：他們把所有的方法都一一列舉出來，然后分析比較，找到面積最大的.

師：在解決問題時，都是有序地，一個一個找出圍法，然后分析比較，選擇適當?shù)慕Y果，從而解決問題. 這種解決問題的策略，叫做列舉（板書）

通過課前預學案的學習，已經(jīng)基本了解了學生的認知起點，因此，在第一教學環(huán)節(jié)的學習過程中，重點解決三個問題：

第一，讓學生呈現(xiàn)解決例1時的思路與方法，并在匯報過程中，逐步完善學生的認知水平，感受列舉策略的價值，學會用列舉策略解決問題的方法.

第二，通過錯例辨析，一方面幫助學生明白出現(xiàn)重復的原因，另一方面強化列舉策略的關鍵是“有序”.

第三，優(yōu)化了一一列舉策略的方式，使學生在應用列舉策略解決實際問題時條理清楚，思路明確，提升學生數(shù)學思考的水平.

2. 例題拓展，掌握技能

根據(jù)學生已有經(jīng)驗，解決例1困難不大. 但是，對于學生的抽象邏輯思維，以及獨立運用列舉策略解決實際問題的方法還是不夠的，需要啟發(fā)學生做進一步的深入思考.

教學片斷2：

師： 王大叔用22根1米長的木條靠一面墻（如圖）圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？你能用我們剛學習的列表的方式解決這個問題嗎？

（學生獨立練習）

課前預學案的學習，拓展了學生學習的時間與空間，提高了學生課堂學習的起點，但是，學生對新知內(nèi)容的建構會是膚淺、表面，而缺乏系統(tǒng)性和邏輯性. 特別是對不同學力的學生而言，知識建構的程度是不一樣的. 因此，通過例題的變式，一方面讓學生借助表格進行有序列舉，鞏固強化列舉策略解決問題的技能，另一方面深化了實際問題的難度，有利于促進學生在數(shù)學思考、問題解決和情感態(tài)度方面得到發(fā)展. 3. 策略辨析，建構體系

當學生面對各種各樣需要解決的問題時，其思維是開放、多方位的，學生是否具有策略意識，是否能夠作出正確的策略選擇，就顯得尤為重要. 因此，在課堂教學結束前夕，教師安排了兩道辨析題：

下面兩個問題，你準備運用什么樣的策略去解決？

（1）梅山小學有一塊長方形花圃，長8米. 在修建校園時，花圃的長增加了3米，這樣花圃的面積就增加了18平方米. 原來花圃的面積是多少平方米？

（2）3本字典的高度是18厘米，10本這樣的高度是多少厘米？

辨析的目的一方面讓學生通過實例體會到：一一列舉的策略可以解決一些生活中的實際問題，但不能解決所有的問題. 另一方面通過對比，讓學生逐步建立選擇適當策略解決問題的意識，并建構數(shù)學知識體系.

四、教學后的思考

1. 高效課堂一定是學生“學得懂，懂得學”的課堂. “學得懂，懂得學”是知識與技能，過程與方法的和諧統(tǒng)一，教師應注重數(shù)學知識與學生生活經(jīng)驗的聯(lián)系、與學生學科知識的聯(lián)系，把握住學生的數(shù)學學習認知起點，找準學生的最近發(fā)展區(qū)，通過呈現(xiàn)與分享、討論與交流、質(zhì)疑與探究等教學活動，在教師的組織與引導下，讓學生自主建構、主動發(fā)展的學與教的過程.

2. 高效課堂一定是學生思辨與創(chuàng)新的課堂. 日本數(shù)學教育家米山國藏說過：“學生在學校學的數(shù)學知識，畢業(yè)后若沒什么機會去用，不到一兩年，很快就忘掉了. 然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在頭腦中的數(shù)學的精神、數(shù)學的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等卻隨時隨地地發(fā)生作用，使他們終身受益”. 因此，高效課堂應該是問題發(fā)現(xiàn)與問題解決不斷螺旋上升的課堂，高效課堂是知識與能力層層遞進與發(fā)展的課堂，高效課堂是智慧火花在碰撞中不斷閃現(xiàn)的課堂，高效課堂是創(chuàng)意無限的課堂.

3. 高效課堂一定是人格養(yǎng)成、人性發(fā)展的課堂. 課堂中充滿著真實、真誠、真心的人文氛圍，教師尊重學生自己對各種現(xiàn)象的理解，傾聽他們的看法，洞察他們想法的由來，并以此為根據(jù)，與學生共同針對某些問題進行探索與交流. 學生在課堂學習中充滿自信，敢于和善于表達自己的觀點與見解，并在與他人的分享與交流中獲得成就感與自豪感.