許麗蕓

2003年，《普通高中數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱“中國標準”）公布之后，各省市先后進行了實踐，至今已經整整12年了.2013年至今，高中數學課程標準正在積極修訂，有效借鑒國外高中數學課程標準的優(yōu)點，可以為我國高中數學課程標準的修訂提供參考.本文所涉及的美國標準是2010年6月美國州立學校首席官員委員會領導（CCSSO）和全國州長協會（NGA）最佳實踐中心聯合頒布的《州共同核心數學標準》.美國成就公司（簡稱Achieve）關于課程標準的評價提出了如下的評價指標：嚴格性（rigor）、連貫性（coherence）與聚焦性（focus）三個指標.[1]從一定程度上來說，這三條準則在標準中的體現反映了標準的可行性和實用性.因此，本文從聚焦性、連貫性、嚴謹性的角度出發(fā)，進一步比較中美最新數學課程標準，發(fā)現彼此間的差異，引發(fā)我們對于中國新一輪數學課程改革的思考，進而更好地實施課程改革.函數內容是高中數學的核心內容之一，中國標準中函數內容是必修1和必修4的主要內容.而在美國標準中“函數”內容也是主要知識點之一.因此，我們選擇“函數”部分的內容具體地比較中美數學課程標準的聚焦性、連貫性、嚴謹性.

一、聚焦性視角下的中美高中數學課程標準

聚焦性是指標準是否表明一個適當的平衡在概念理解，程序技巧，和重點在應用和建模的問題解決；標準應該是可教的在一個學年（或在四年的高中），和應該清楚在一個給定的年級或主題區(qū)域的關鍵想法.由此可見，所謂聚焦性，是指教學應該聚焦于標準里所強調的那些概念，使得學生能獲得基礎性概念的深刻理解和程序技巧，以及應用他們所知道的數學知識去解決課堂上和課堂之外數學問題的能力.

美國標準中的函數部分僅僅只是羅列了每個概念類別的綜述，并沒有具體指出教學過程中應聚焦于哪些關鍵的概念.例如，數學Ⅰ中的函數內容在敘述解釋函數這一部分時，僅僅是羅列了以下三個內容：理解一個函數的概念和使用函數符號；解釋出現在應用程序的上下文中的功能；分析函數使用不同的方式.從上可以看出，教師在教學過程中并不能清楚地把握哪些才是知識的要點.而中國標準在“前言”中指出了標準的目標要求所包括的三個方面：知識與技能，過程與方法，情感、態(tài)度與價值觀，并將此在“內容標準”中具體化.中國標準規(guī)定了“知識與技能，過程與方法，情感、態(tài)度與價值觀”所“涉及的行為動詞”，并按水平分類.例如，屬于“知識與技能”領域的“知識/了解/模仿”水平的動詞有“了解、體會、知道、識別、感知、認識、初步了解、初步體會、初步學會、初步理解、求”；“過程與方法”領域中“經歷/模仿”水平的動詞有“經歷、觀察、感知、體驗、操作、查閱、借助、模仿、收集、回顧、復習、參與、嘗試”；“情感、態(tài)度與價值觀”領域中“反映/認同”水平的動詞有“感受、認識、了解、初步體會、體會”等.在“內容標準”中表述函數部分內容的同時，利用這些動詞表述出“知識與技能，過程與方法，情感、態(tài)度與價值觀”方面的目標.在數學1中函數概念與基本初等函數Ⅰ的第一講函數內容包括：（1）通過豐富實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域；了解映射的概念.（2）在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（圖像法、列表法、解析法）表示函數.（3）通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用.（4）通過已學過的函數特別是二次函數，理解這些函數的單調性、最大（小）值及其幾何意義；知道奇偶性的含義.（5）學會運用函數圖像理解和研究函數的性質.通過對于所涉及三維目標不同水平的行為動詞的把握，教師可抓住教學中應重點講解哪些知識.其次，中國標準中的內容皆安排了課時，必修1中的函數有32課時，必修4中三角函數有14課時.教師可以依據課時的大小來判斷需重點講解的知識點.由此可看出，聚焦性在中國標準中體現的較為明顯.

二、連貫性視角下的中美高中數學課程標準

連貫性是指標準是否反映出有意義的結構，揭示主題之間的重大關系和建議一個合乎邏輯發(fā)展的內容和技能.連貫性源于知識間的聯系；標準里的一些聯系將一個年級里的數學框架編織在一起；而大多數聯系是縱向的，此套標準適用于隨著跨年級不斷增長的知識，技能的發(fā)展.由上可知，連貫性不僅包括跨年級間知識的連貫性，還包括某一部分知識點之間的聯系.

中國標準中函數知識點的聯系，不僅包括與方程、不等式、算法、微積分等內容的橫向聯系，還包括在整個中學數學中多次接觸，反復體會，螺旋上升地學習函數的縱向聯系.例如，標準要求結合二次函數的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，了解函數的零點與方程根的聯系可見，為后面的方程學習做一些準備.美國標準將數學內容分為以下五個主題：數與量、代數、函數、建模、幾何、統計與概率.該分類體現了連貫的高中數學.以函數為例，學生有關函數的學習跨越了傳統的“數”的課程的邊界，通向微積分的內容.例如，標準要求在指定的間隔中計算和解釋函數的平均變化率（象征性地提出或作為一個表格），從圖估計變化率，為以后微積分的學習打下一定的基礎.可見，中美數學課程標準均體現了跨年級間知識的連貫性.

但中國標準中高中數學課程分為必修和選修.必修課程由5個模塊組成，選修課程有4個系列，其中系列1、系列2由若干個模塊組成，系列3、系列4由若干專題組成.“函數”內容主要在教材必修1和必修4中，必修1中的函數有32課時，主要內容有：（1）函數，（2）指數函數，（3）對數函數，（4）冪函數，（5）函數與方程，（6）函數模型及其應用，（7）實習作業(yè)；必修4中三角函數有14課時，是學生在學習函數的基礎上，進一步學習三角函數，運用三角函數解決實際問題的基本思想.中國標準中將“函數”內容劃分為一些較小的模塊，忽視了函數知識點間的內部聯系.由此可見，我們的數學課程標準是零散分布的個體，沒有較強的連貫性，不能體現相關知識點之間的關聯.但美國標準中高中數學課程標準是按照數學主題組織的，并對每個主題中的內容進行分層.“函數”內容在標準的數學Ⅰ、數學和Ⅱ數學Ⅲ中是集中體現的，是一個內容連貫的整體.從上我們可以看出，美國標準中連貫性體現的較為明顯.

三、嚴謹性視角下的中美高中數學課程標準

嚴謹性是指程度，標準標出關鍵內容為學生獲得超越高中的成功做準備.嚴謹性不僅僅包括先進的數學內容，還需要深入理解每個年級的內容，并提供足夠的關注使這成為可能.可見，嚴謹性既包括包含的先進內容，也包括內容的深度.

語言有國界，但數學是沒有國界的，這兩份標準有很多共同之處和通常描述相同的內容.例如，兩國課程標準中相同的內容是：對數函數、指數函數的概念、性質、圖像和應用；方程和函數的關系；三角函數；函數模型；函數的應用等.但是，對于這些具體內容的呈現上關于被包含的內容有一些差異.從知識的廣度上看，中國高中數學課程標準“函數”部分的知識點是25個，而美國標準的知識點是34個，美國的函數知識點比我國多9個.由此可看出，美國涉及的函數知識點大于中國.從內容是否深入的角度上來看，美國標準“函數”部分知識點的深度高于我國.例如，美國標準中的分段函數、跳躍函數、絕對值函數和多項式函數在中國標準中沒有提到；美國標準要求學生會證明畢達哥拉斯同一性sin 2（θ） + cos2 （θ） = 1，而中國標準則需學生理解同角三角函數的基本關系式：sin 2（θ） + cos2 （θ） = 1，不需要學生掌握此證明.從嚴謹性的角度來看，美國課程標準包含先進數學內容的范圍更廣，深度比中國標準更深.

總的來說，從連貫性和嚴謹性的角度來看，中國標準仍存在一些不足，美國課程標準在這兩方面的設置還是值得我們注意和借鑒的.因此，中國數學課程改革應在理性反思的基礎上，應恰當運用美國標準的成果，促進我國高中數學課程標準的完善.

【參考文獻】

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