一類冪函數(shù)的半共軛

石勇國(guó)，鐘韜

一類冪函數(shù)的半共軛

石勇國(guó)1，鐘韜2

(1.信陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南信陽(yáng)464000;2.四川交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川成都611130)

運(yùn)用動(dòng)力系統(tǒng)方法得到了一種新的實(shí)數(shù)表示.利用這種實(shí)數(shù)的表示，給出了冪函數(shù)ft:［－1，1］→［－1，1］，ft(x)=2|x|t－1，t＞0到f1(x)=2|x|－1的半共軛的精確表達(dá)式.

區(qū)間映射;半共軛;冪函數(shù);實(shí)數(shù)表示;共軛方程

設(shè)I和J是緊區(qū)間.若共軛方程φ°f=g°φ存在連續(xù)解φ:I→J，則稱自映射f:I→I和g:J→J是拓?fù)浒牍曹?，?jiǎn)稱f半共軛于g.連續(xù)映射φ稱作拓?fù)浒牍曹棧?jiǎn)稱半共軛.進(jìn)一步，如果連續(xù)映射φ是雙射，那么稱f和g是拓?fù)涔曹?，?jiǎn)稱f共軛于g.

如果2個(gè)映射共軛，則它們具有相同的動(dòng)力學(xué)性質(zhì);如果f半共軛于g，則映射f的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)至少像g那樣復(fù)雜.這樣，考慮某個(gè)映射的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，一般先將這個(gè)映射(半)共軛到最簡(jiǎn)單的映射，即是所謂的正規(guī)型.

W.Parry［1］首先給出了關(guān)于區(qū)間映射共軛的經(jīng)典結(jié)果:若多峰映射f是傳遞的，則f共軛于一個(gè)斜率為±s的逐段線性映射，其中l(wèi)og s為f的拓?fù)潇?后來(lái)，J.Milnor等［2］進(jìn)一步給出了半共軛的結(jié)果:如果f是連續(xù)的逐段單調(diào)的區(qū)間映射，拓?fù)潇豯og s＞0，則f半共軛于一個(gè)斜率為±s的逐段線性映射，而且這樣的半共軛是單調(diào)的.J.F.Alves等［3］指出這樣的單調(diào)半共軛不唯一.

不妨設(shè)I:=［－1，1］，考慮區(qū)間I上的冪函數(shù)ft(x)=2|x|t－1，t＞0，如圖1所示.這類映射是一類單谷映射，最簡(jiǎn)單的形式是逐段線性映射f1(x)=2|x|－1.J.Mycielski［4］利用所謂的零點(diǎn)匹配法［5］構(gòu)造共軛，證明了:對(duì)于1/2≤t≤2，ft共軛于f1;對(duì)于0＜t＜1/2，ft不共軛于f1.C.Kawan［6］利用不動(dòng)點(diǎn)定理得到:對(duì)于t＞1，ft共軛于f1.于是有:對(duì)于t≥1/2，ft共軛于f1.

D.S.Ou等［7］考慮了單峰映射與帳篷映射的半共軛問(wèn)題，及其推廣.由他們的結(jié)論可得到:對(duì)于0＜t＜1/2，ft半共軛于f1，而且遞增的半共軛存在且唯一.由于無(wú)法找到半共軛的精確表達(dá)式，他們利用逐段線性的函數(shù)序列逼近半共軛.一個(gè)有意思的問(wèn)題是如何準(zhǔn)確確定半共軛，這也是求解共軛方程的核心問(wèn)題之一［8－9］.

本文利用實(shí)數(shù)的f1展開(kāi)，對(duì)于t＞0，給出了映射ft到f1的半共軛的精確表達(dá)式.該方法可以推廣到一般的單谷或單峰映射的半共軛問(wèn)題.無(wú)需逼近，即可得到精確的半共軛.

1 實(shí)數(shù)的f1展開(kāi)

下面介紹f1展開(kāi)的概念.它是文獻(xiàn)［10］中一類特殊的展開(kāi).

考慮區(qū)間I=［－1，1］，按照f(shuō)1的谷點(diǎn)，將它分成2部分:

任意的實(shí)數(shù)x∈I有下面的展開(kāi)表達(dá)式

不論哪種情形，均有x2∈I.

迭代上面過(guò)程，得到一個(gè)序列{xn}，這里x1= x，且對(duì)于n≥2有

令

于是

這樣x可以展開(kāi)成級(jí)數(shù)的形式

類似于二進(jìn)制，對(duì)于每個(gè)x∈I都可以通過(guò)0－1序列{εn}n∈N表示.簡(jiǎn)記為

容易得到x=－1的f1展開(kāi)為［1，0，0，0，…］;x=0的f1展開(kāi)為［1，1，0，0，0，…］;x=1的f1展開(kāi)為［0，0，0，0，…］.對(duì)于每個(gè)0－1序列{εn}n∈N，根據(jù)上面的展開(kāi)式，在I上存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng).

定義關(guān)于映射f1展開(kāi)的柱集.

可以看出這些集合是端點(diǎn)為［ε1，ε2，…，εk，1，0，0，0，…］和［ε1，ε2，…，εk，0，0，0，…］的閉區(qū)間.因此這些閉區(qū)間的長(zhǎng)度為

2 半共軛的精確表達(dá)式

定義2.1給定t＞0，一個(gè)0－1數(shù)列{εn}n∈N稱為點(diǎn)x∈I關(guān)于映射ft的跡，如果

特別地，當(dāng)上面定義的映射ft是映射f1時(shí)，點(diǎn)x∈I關(guān)于映射f1的跡就是f1展開(kāi)式.

下面給出半共軛的精確表達(dá)式

定理2.2給定t＞0，任取點(diǎn)x∈I，設(shè)0－1數(shù)列{εn}n∈N是點(diǎn)x關(guān)于映射ft的跡，則φt:I→I

是映射ft到映射f1的一個(gè)半共軛.

利用MATLAB畫(huà)出φt曲線，如圖2所示.

證明首先證明定義的φt滿足φt°ft=f1°φt.因?yàn)辄c(diǎn)ft(x)關(guān)于映射ft的跡為{ε2，ε3，…，εn，…}，于是

另一方面，若φt(x)≤0，則ε1=1，于是

若φt(x)＞0，則ε1=0，于是

因此，對(duì)于所有x∈［－1，1］，都有φt°ft=f1°φt.

再證明φt是區(qū)間［－1，1］上的連續(xù)的滿射.根據(jù)跡，容易得到φt(－1)=－1，φt(0)=0和φt(1)=1.下面分3種子情形證明.

情形(i)任取x∈［－1，1］使得對(duì)于所有的非負(fù)整數(shù)k，ft

k(x)≠0.證φt在這樣的點(diǎn)x上連續(xù).事實(shí)上，由ft的連續(xù)性知ft的所有次迭代也連續(xù).任取?＞0，選擇N使得2－(N+1)＜?.令

存在一個(gè)δ＞0使得如果x'∈［－1，1］且|x－x'|＜δ，那么對(duì)于k=0，1，2，..，N均有|(x)－(x')|＜δ'.由x， x'的假設(shè)，則x，x'關(guān)于映射ft的跡在前N+1個(gè)位置相同，根據(jù)φt的定義有|φt(x)－φt(x')|≤2－(N+1)＜?.

情形(ii)證φt在點(diǎn)x=0處連續(xù).知道無(wú)窮數(shù)列{1，1，0，0，0，…}是點(diǎn)x=0關(guān)于映射f1的跡;前面N+1個(gè)數(shù)字具有形式{1，1，0，0，0，…}的跡的點(diǎn)x都落在區(qū)間［－1/2N，0］上;前面N+1個(gè)數(shù)字具有形式{0，1，0，0，0，…}的跡的點(diǎn)x都落在區(qū)間［0，1/ 2N］上.同時(shí)，點(diǎn)x=0關(guān)于映射ft的跡是{1，1，0，0，0，…}.任取?＞0，選擇N使得1/2N－1＜?.于是對(duì)于所有的正整數(shù)k，有fk(c)≠c，類似情形(i)的證明，可以找到一個(gè)δ＞0使得如果x'∈［－1，1］且|0－x'|＜δ，點(diǎn)x=0和x'關(guān)于映射ft的跡至少?gòu)牡?個(gè)位置到前N+1個(gè)位置相同.這樣φt(x)∈［－1/2N，1/2N］上，由于φt(0)=0，所以|φt(x')－φt(0)|≤1/2N－1＜?.

情形(iii)討論x≠0但存在正整數(shù)k使得fk(x)=0的所有這樣的點(diǎn)，證φ在這樣點(diǎn)x處連續(xù).設(shè)存在最小的正整數(shù)N使得fN(x)=0，記y=0=fN(x).由情形(ii)，φ在這樣點(diǎn)y=0處連續(xù)，即對(duì)于任取?＞0，存在δ'＞0使得如果y'∈［－1，1］且|y－y' |＜δ'，則有|φt(y)－φt(y')|＜?.令存在正數(shù)δ使得如果x'∈［－1，1］且|x－x'|＜δ，則有|(x)－(x')|＜δ'和(x)－(x')|＜γ，k=0，1，2，..，N－1.這樣點(diǎn)x和x'關(guān)于映射ft的跡的前N個(gè)位置相同.因此，令g－i1表示f1某個(gè)單調(diào)區(qū)間上的逆映射

證畢.

注2.3根據(jù)φt公式，容易驗(yàn)證φt(x)≥0當(dāng)且僅當(dāng)x≥0.φt(x)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0.進(jìn)一步可得φt(［－1，0］)=［－1，0］，φt(［0，1］)=［0，1］.

注2.4給定0＜t＜1/2，設(shè)0＜x0＜1是映射ft的不動(dòng)點(diǎn).于是對(duì)于任意的x∈［x0，1］，x關(guān)于映射ft的跡{0，0，0，…}，所以φt(x)=1.對(duì)于任意的x∈［－1，(x0+1)1/t］，x關(guān)于映射ft的跡{1，0，0，0，…}，所以φt(x)=－1.

致謝四川師范大學(xué)博士科研啟動(dòng)一般項(xiàng)目(2015KYQD314)對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.

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Semi-conjugacies for a Type of Power Functions

SHI Yongguo1，ZHONG Tao2
(1.College of Mathematics and Information Science，Xinyang Normal University，Xinyang 464000，Henan; 2.Sichuan Vocational and Technical College of Communications，Chengdu 611130，Sichuan)

With the method of dynamical system，we obtain a new representation of real numbers.Using this new real number representation，we obtain the explicit expression of the semi-conjugacy of the power function ft:［－1，1］→［－1，1］，ft(x)=2|x|t－1，t＞0 to f1(x)=2|x|－1.

maps of the interval;semi-conjugacy;power function;real number representation;conjugacy equation

46B20;39B12

A

1001－8395(2016)03－0318－04

10.3969/j.issn.1001－8395.2016.03.003

(編輯周俊)

2015－11－19

國(guó)家自然科學(xué)基金(11301256)，四川省教育廳科研創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)基金(14TD0026)和四川省教育廳自然科學(xué)一般項(xiàng)目(16ZB0063)

石勇國(guó)(1978—)，男，副教授，主要從事函數(shù)方程的研究，E－mail:scumat@163.com

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2010 MSC:26A03