賀宏洲,秦玉峰,楊渝波,楊立明,雷　靜

(空間電子信息技術(shù)研究院 測(cè)控技術(shù)室,陜西 西安　710000)

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目標(biāo)跟蹤的轉(zhuǎn)換量測(cè)卡爾曼濾波算法性能分析

賀宏洲,秦玉峰,楊渝波,楊立明,雷靜

(空間電子信息技術(shù)研究院 測(cè)控技術(shù)室,陜西 西安710000)

摘要各種轉(zhuǎn)換量測(cè)算法均是基于不同假設(shè)條件下對(duì)最優(yōu)解的近似,不同的應(yīng)用環(huán)境可能造成算法完全迥異的性能表現(xiàn),因此有必要對(duì)各種不同的轉(zhuǎn)換量測(cè)算法進(jìn)行統(tǒng)一的分析和比較。文中討論分析了幾種典型的轉(zhuǎn)換量測(cè)算法,并通過(guò)仿真分析比較了它們?cè)诓煌h(huán)境下的跟蹤性能,可信性和運(yùn)算復(fù)雜度。最佳線性無(wú)偏估計(jì)算法的平均歸一化估計(jì)誤差平方約等于1,是最小均方誤差意義下的理論最優(yōu)估計(jì),其跟蹤性能最優(yōu)。

關(guān)鍵詞目標(biāo)跟蹤;卡爾曼濾波;轉(zhuǎn)換量測(cè);條件均值和協(xié)方差;性能分析

在航天器目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)中,量測(cè)一般是在極(球)坐標(biāo)系下獲得,但目標(biāo)狀態(tài)方程通常是在直角坐標(biāo)系下描述,這就涉及利用極(球)坐標(biāo)下的量測(cè)實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)系下目標(biāo)跟蹤問(wèn)題,即非線性系統(tǒng)下目標(biāo)跟蹤問(wèn)題。通常采用兩種方法:(1)采用擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)算法,形成所謂混合坐標(biāo)濾波器;(2)將極坐標(biāo)系量測(cè)轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系下,再用轉(zhuǎn)換量測(cè)算法。

傳統(tǒng)轉(zhuǎn)換量測(cè)算法通過(guò)一階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)近似轉(zhuǎn)換后直角坐標(biāo)系下的量測(cè)誤差,在遠(yuǎn)距離角度誤差較大時(shí)性能明顯下降。第一個(gè)針對(duì)二維情況去偏轉(zhuǎn)換算法(DCMKF)由Lerro[1]等于1993年提出,后由Suchomski等擴(kuò)展到3維情況。它采用加性偏差補(bǔ)償措施,先求得轉(zhuǎn)換量測(cè)誤差基于真實(shí)極坐標(biāo)位置(距離,方位角)下條件均值和方差,因?qū)嶋H真實(shí)位置不可獲得,要再基于量測(cè)信息對(duì)上述均值和方差求條件期望來(lái)獲得近似解。實(shí)際由于這種雙重條件均值,算法[1]并不是真正無(wú)偏[2-3]。1998年Mo等[2,4]提出一種適用于非高斯噪聲的真正無(wú)偏轉(zhuǎn)換量測(cè)算法(UCMKF),認(rèn)為轉(zhuǎn)換量測(cè)誤差的偏差本質(zhì)上是乘性的。先在轉(zhuǎn)換量測(cè)的基礎(chǔ)上除去乘性偏差補(bǔ)償因子可獲無(wú)偏轉(zhuǎn)換量測(cè),后在量測(cè)已知條件下求得無(wú)偏轉(zhuǎn)換量測(cè)協(xié)方差。但文獻(xiàn)[5]指出該協(xié)方差計(jì)算存在前后不一致,并給出修正后轉(zhuǎn)換量測(cè)算法。

自DCMKF和UCMKF算法提出后,轉(zhuǎn)換量測(cè)算法得到廣泛研究。Spitzmiller[6]對(duì)DCMKF算法進(jìn)行適當(dāng)補(bǔ)充并開(kāi)展更深入研究。文獻(xiàn)[3]一定程度總結(jié)了當(dāng)時(shí)現(xiàn)有轉(zhuǎn)換量測(cè)算法,只是用均方誤差代替協(xié)方差,將去偏轉(zhuǎn)換算法分為3類:量測(cè)固定目標(biāo)真實(shí)位置變化(Fixed Measurement),目標(biāo)真實(shí)位置固定量測(cè)變化(Fixed Target Truth),估計(jì)值固定量測(cè)和目標(biāo)真實(shí)位置均變化(Fixed Independent Estimate)。以上多數(shù)算法轉(zhuǎn)換量測(cè)誤差的條件均值和協(xié)方差均是基于量測(cè)條件下求得,但特別是跟蹤階段,狀態(tài)估計(jì)精度要高于量測(cè)信息,基于狀態(tài)估計(jì)求條件均值可能是更好選擇。文獻(xiàn)[3]的Fixed Independent Estimate是最早基于估計(jì)的轉(zhuǎn)換量測(cè)算法,但給出假設(shè)相對(duì)簡(jiǎn)單。文獻(xiàn)[6～8]在此方向做出更深入研究。但以上算法都存在根本缺陷:轉(zhuǎn)換后量測(cè)噪聲與狀態(tài)相關(guān),協(xié)方差在當(dāng)前量測(cè)的基礎(chǔ)上估計(jì)得到,觀測(cè)噪聲不再是白噪聲。文獻(xiàn)[9] 針對(duì)上述缺點(diǎn)做了部分改進(jìn)。但文獻(xiàn)[10]指出一旦預(yù)測(cè)量測(cè)和量測(cè)殘差的協(xié)方差已知,卡爾曼濾波不再需要知道轉(zhuǎn)換量測(cè)誤差的均值和方差。它提出利用最小線性無(wú)偏估計(jì)(BLUE)濾波方法來(lái)處理非線性量測(cè),得到理論最優(yōu)算法。Park等[11]也提出基于預(yù)測(cè)條件求轉(zhuǎn)換量測(cè)誤差均值和協(xié)方差的思想,并開(kāi)發(fā)一種類EKF形式濾波算法,它仍假定真實(shí)狀態(tài)是固定非隨機(jī),與卡爾曼濾波算法的假定實(shí)際是相矛盾,理論上性能不會(huì)超過(guò)BLUE算法。

實(shí)際以上轉(zhuǎn)換量測(cè)算法均是基于不同假設(shè)條件下對(duì)最優(yōu)解的近似,不同應(yīng)用環(huán)境可能造成算法完全迥異的性能表現(xiàn)。有必要對(duì)各種不同轉(zhuǎn)換量測(cè)算法進(jìn)行統(tǒng)一分析和比較,為后續(xù)相關(guān)研究和應(yīng)用提供理論參考。文獻(xiàn)[12]對(duì)當(dāng)時(shí)流行的各種轉(zhuǎn)換量測(cè)算法核心思想進(jìn)行總結(jié)和分析,但沒(méi)給出具體仿真比較。本文針對(duì)距離-方位角-俯仰角形式的量測(cè)系統(tǒng),討論5種典型轉(zhuǎn)換量測(cè)算法,通過(guò)設(shè)定不同仿真環(huán)境,對(duì)各算法性能優(yōu)劣展開(kāi)分析和比較。BLUE算法是最小均方誤差意義下的理論最優(yōu)估計(jì),順序處理量測(cè)的類EKF算法與BLUE算法的性能接近,其它轉(zhuǎn)換量測(cè)算法的性能優(yōu)劣與跟蹤環(huán)境有關(guān),視情況而定。

1問(wèn)題描述

考慮三維情況下的跟蹤問(wèn)題,目標(biāo)的狀態(tài)方程描述為

(1)

(2)

xm=rmZEEθmZEEφm,ym=rmsinθmZEEφm,zm=rmsinφm

(3)

(x,y,z)是目標(biāo)的真實(shí)位置,可得到轉(zhuǎn)換量測(cè)誤差為

(4)

顯然,轉(zhuǎn)換量測(cè)誤差與量測(cè)相關(guān),非高斯,各坐標(biāo)間耦合而且均值不再為零。因此轉(zhuǎn)換量測(cè)實(shí)際是有偏的,需要計(jì)算轉(zhuǎn)換量測(cè)誤差的均值和相應(yīng)的協(xié)方差,然后去偏,最后采用線性濾波算法(卡爾曼濾波),只是不同的轉(zhuǎn)換算法計(jì)算均值和協(xié)方差的方法不同。

2典型轉(zhuǎn)換量測(cè)算法

2.1加性去偏轉(zhuǎn)換量測(cè)算法

2.2乘性去偏轉(zhuǎn)換量測(cè)算法

(6)

2.3基于量測(cè)的轉(zhuǎn)換量測(cè)算法

此算法也稱為“固定量測(cè)(Fixed Measurement)算法”[3],轉(zhuǎn)換量測(cè)誤差的均值和協(xié)方差計(jì)算均是直接基于量測(cè)條件下求得的。

對(duì)式(4)基于量測(cè)求條件期望得到均值

(7)

2.4基于估計(jì)的轉(zhuǎn)換量測(cè)算法

文獻(xiàn)[1]中曾指出當(dāng)位置估計(jì)的精度高于量測(cè)時(shí),應(yīng)使用估計(jì)值作為已知條件來(lái)求轉(zhuǎn)換量測(cè)誤差的條件期望和方差,但并沒(méi)給出具體統(tǒng)計(jì)結(jié)果和分析,文獻(xiàn)[7]推出一種新的基于位置估計(jì)的轉(zhuǎn)換量測(cè)算法。

(8)

則轉(zhuǎn)換量測(cè)誤差的均值可以表示為

(9)

其中

(10)

2.5最佳線性無(wú)偏估計(jì)濾波

先假定Zk和Xk分別為k時(shí)刻的量測(cè)和狀態(tài),Zk-1表示k時(shí)刻之前的所有量測(cè)。準(zhǔn)遞歸形式的最優(yōu)線性無(wú)偏狀態(tài)估計(jì)可表示為

(11)

其中

(12)

對(duì)于轉(zhuǎn)換后的量測(cè),由文獻(xiàn)[10]中的引理1、引理2和一系列運(yùn)算及推導(dǎo)得到

(13)

3性能分析

3.1仿真條件

為比較上述幾種轉(zhuǎn)換量測(cè)算法的跟蹤性能,設(shè)計(jì)了一個(gè)三維勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤問(wèn)題并給出了2種不同情況下的仿真結(jié)果。目標(biāo)初始位置為(150,120,5) km,速度為(100,700,400) M/s,過(guò)程噪聲q=0.01 M/s2。仿真條件1:距離,方位角和俯仰角的量測(cè)誤差標(biāo)準(zhǔn)差分別為100 M,5°和5°。仿真條件2:距離,方位角和俯仰角的量測(cè)誤差標(biāo)準(zhǔn)差分別為30 M,1.5°和1.5°。雷達(dá)的采樣周期為1 s,整個(gè)跟蹤過(guò)程持續(xù)200 s。蒙特卡洛仿真次數(shù)為100次。

本文采用位置均方根誤差(RMSE)來(lái)反映算法的跟蹤精度,平均歸一化估計(jì)誤差的平方(ANEES)來(lái)反映算法的可信性。ANEES的定義如下

(14)

3.2仿真結(jié)果

對(duì)于仿真條件2,各個(gè)算法的位置RMSE和ANEES分別如圖3和圖4所示。當(dāng)量測(cè)誤差減小時(shí),各個(gè)算法的跟蹤精度和可信性都顯著提高,BLUE最優(yōu),DCMKF最差。此時(shí)由于橫向距離誤差減小,DCMKF的跟蹤精度接近于UCMKF,ECKF的跟蹤精度則高于MCKF算法。

圖1　條件1時(shí)各算法的位置均方根誤差

圖2　條件1時(shí)各算法的ANEES曲線

圖3　條件2時(shí)各算法的位置均方根誤差

圖4　條件2時(shí)各算法的ANEES曲線

關(guān)于運(yùn)算復(fù)雜度,表1給出各個(gè)算法運(yùn)行一次仿真所需時(shí)間?？梢?jiàn)MCKF最快,而無(wú)味變換的使用導(dǎo)致ECKF所需計(jì)算時(shí)間最長(zhǎng)。BLUE的處理時(shí)間略高于DCMKF和UCMKF。可看到,BLUE的跟蹤性能最優(yōu),而運(yùn)算時(shí)間卻沒(méi)顯著增加。

表1　各個(gè)算法的CPU運(yùn)行時(shí)間對(duì)比　/s

4結(jié)束語(yǔ)

轉(zhuǎn)換量測(cè)算法是在航天器目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域處理非線性量測(cè)的一種有效方法。本文回顧了轉(zhuǎn)換量測(cè)算法的發(fā)展歷程,討論幾種典型的轉(zhuǎn)換量測(cè)算法的核心思想,并通過(guò)設(shè)定不同仿真環(huán)境分析比較了它們的跟蹤性能,可信性和運(yùn)算復(fù)雜度。最佳線性無(wú)偏估計(jì)(BLUE)算法是最小均方誤差意義下的理論最優(yōu)估計(jì),其跟蹤性能和可信性都最優(yōu),而運(yùn)算時(shí)間卻沒(méi)顯著增加。綜合比較可見(jiàn)BLUE算法是最優(yōu)的。MCKF和ECKF跟蹤性能差于BLUE算法,UCMKF再次,DCMKF跟蹤性能最差。由于使用無(wú)味變換,ECKF運(yùn)算最慢,而BLUE和UCMKF運(yùn)算速度相當(dāng),MCKF最快。

目前轉(zhuǎn)換量測(cè)算法需轉(zhuǎn)換量測(cè)誤差均值和方差的清晰表達(dá)式,這使它的應(yīng)用有一定局限性,因此很多其他的處理非線性量測(cè)的方法如無(wú)味卡爾曼濾波,粒子濾波等得到了廣泛研究,需根據(jù)具體的研究問(wèn)題選擇最合適濾波方法。

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Analysis of the Performance of Converted MeasurementKalman Filter Algorithms for Target Tracking

HE Hongzhou,QIN Yufeng,YANG Yubo,YANG Liming,LEI Jing

(Laboratory of TT&C Technology,CAST-Xi’an Institute of Space Radio Technology,Xi’an 710000,China)

AbstractThe converted algorithms are approximations of the optimal solution based on different assumptions,leading distinct performance in different applications,thus it is necessary to uniformly compare and analyze the performance of different converted algorithms.In this paper,the typical converted measurement algorithms are demonstrated.Their performances in different scenarios are evaluated by simulations in terms of tracking accuracy,credibility and computation complexity.The averaged normalized estimation error squared of the best linear unbiased estimate (BLUE) is approximately equals to 1,which is theoretically optimal in the sense of minimum mean square error with superior tracking performance to other filters.

Keywordstarget tracking;Kaman filter;converted measurement;conditional mean and covariance;performance analysis

中圖分類號(hào)TN953

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

文章編號(hào)1007-7820(2016)05-112-05