張江城

摘要：隨著經(jīng)濟(jì)全球化的深入，一國的經(jīng)濟(jì)實(shí)力在國家實(shí)力中的重要性越來越突出，世界各國都開始瘋狂發(fā)展經(jīng)濟(jì)，以在國際競爭中求得一席之位。GDP（國內(nèi)生產(chǎn)總值）從某個(gè)側(cè)面反映了國家的經(jīng)濟(jì)實(shí)力，成為了各國衡量經(jīng)濟(jì)實(shí)力的重要指標(biāo)。中國從改革開放之后，經(jīng)濟(jì)不斷發(fā)展，GDP數(shù)據(jù)逐年增加，并呈現(xiàn)一定的規(guī)律。若能準(zhǔn)確的預(yù)測中國之后幾年的GDP數(shù)據(jù)，對國家宏觀調(diào)控具有重要意義。本文在各項(xiàng)預(yù)測方法中選擇了時(shí)間序列模型作為研究對象。從時(shí)間序列的基本概念出發(fā)，了解時(shí)間序列模型的種類與建模方法，以整套的時(shí)間序列建模理論為基礎(chǔ)，在我國GDP數(shù)據(jù)上建立了ARMA模型，應(yīng)用ARMA模型對2012年我國GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，其預(yù)測結(jié)果與實(shí)際值之間相差很小，擬合結(jié)果比較滿意；在此基礎(chǔ)上，預(yù)測未來三年的GDP數(shù)據(jù)。

關(guān)鍵詞：GDP；時(shí)間序列模型；ARMA；預(yù)測

一、 我國GDP的ARMA模型的建立

（一） 數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性的檢驗(yàn)和處理

以我國1978年到2012年的GDP數(shù)據(jù)為例，分析ARMA的建模過程，并通過所選模型對2013年到2015年的我國GDP進(jìn)行預(yù)測，其中2012年的GDP數(shù)據(jù)為對照值。

1978-2012年我國GDP時(shí)間序列數(shù)據(jù)資料見表1。

從圖1可看出，近30多年來，我國GDP數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出指數(shù)增長趨勢，具有明顯的非平穩(wěn)性。同時(shí)通過對近三十多年的GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，結(jié)果見表2，ADF檢驗(yàn)表明GDP時(shí)間序列是單位根過程，是非平穩(wěn)時(shí)間序列?；蛘哂蒅DP時(shí)間序列的自相關(guān)和偏相關(guān)圖（圖2）可以看出，自相關(guān)系數(shù)沒有很快的趨于0，說明序列不是純隨機(jī)的，是非平穩(wěn)的。

為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測效果，將2012年的觀測值留出作為評價(jià)預(yù)測精度的參照對象。因此將建模的樣本期定為1978年到2011年。接下來對含有指數(shù)增長趨勢的時(shí)間序列，可以通過取對數(shù)將指數(shù)趨勢化為線性趨勢，然后在進(jìn)行差分消除線性趨勢。

如上圖，先經(jīng)過對數(shù)處理后的數(shù)據(jù)LGDP呈線性趨勢（圖3），然后再經(jīng)過一階差分后，數(shù)據(jù)DLGDP呈現(xiàn)上下波動的狀態(tài)（圖4），然后對DLGDP數(shù)據(jù)作單位根檢驗(yàn)（表3）和自相關(guān)-偏相關(guān)圖檢驗(yàn)（圖5）。

由表3可以看出，ADF檢驗(yàn)的t統(tǒng)計(jì)量=-3.724676，小于檢驗(yàn)水平為1%、5%、10%的統(tǒng)計(jì)量臨界值，而且t統(tǒng)計(jì)量相應(yīng)的概率值P非常小，因此拒絕存在單位根的原假設(shè)，即認(rèn)為序列是平穩(wěn)的。

同時(shí)，由圖5可以看出樣本自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)很快都落入隨機(jī)區(qū)間，即可認(rèn)為序列的趨勢性已基本消除，序列是平穩(wěn)的。

（二） ARMA模型的建立與優(yōu)化

ARMA（p，q）的自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)均是拖尾的。從圖2-5中可以看出，自相關(guān)函數(shù)AC和偏相關(guān)函數(shù)PAC都具有拖尾性。自相關(guān)系數(shù)在q>1時(shí)顯示截尾現(xiàn)象，對q=1，2進(jìn)行比較最終確定最合適的值；偏相關(guān)系數(shù)在p>4時(shí)顯示明顯的截尾現(xiàn)象，對p=2，4進(jìn)行比較最終確定最合適的值。因此，可選擇的模型有ARMA（2，1），ARMA（2，2），ARMA（4，1），ARMA（4，2）.對這四個(gè)模型進(jìn)行檢驗(yàn)比較。

通過檢驗(yàn)，這四個(gè)模型中，除了ARMA（2，1）的滑動平均過程不可逆外，其他模型的之后多項(xiàng)式的根部落在單位圓外，說明序列DLGDP的平穩(wěn)性和可逆性。同時(shí)，通過表8可以看出，與前3個(gè)模型相比，ARMA（2，1）模型的AIC值和SC值最小，且擬合優(yōu)度2值最大，故選擇ARMA（2，1）為最優(yōu)預(yù)測模型。

估計(jì)該模型的參數(shù)及模型的相關(guān)檢驗(yàn)結(jié)果。結(jié)果顯示，參數(shù)估計(jì)的p值非常小，參數(shù)估計(jì)值具有統(tǒng)計(jì)意義。其展開式如下：

二、模型的診斷檢驗(yàn)

ARMA模型參數(shù)估計(jì)后，應(yīng)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠裾_。在前面已經(jīng)介紹過，通過殘差序列的白噪聲檢驗(yàn)來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行?。殘差序列的白噪聲檢驗(yàn)常用的是Q統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)：

從圖6可以看到，殘差序列的樣本自相關(guān)函數(shù)都在95%的置信區(qū)間以內(nèi)，從滯后1階到16階的自相關(guān)函數(shù)相應(yīng)的概率值P都大于檢驗(yàn)水平0.05，因此不能拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為模型ARMA（2，1）估計(jì)結(jié)果的殘差序列不存在自相關(guān)。

三、 模型的預(yù)測

根據(jù)以上的分析，所建立的ARMA（4，2）模型是合適的，因此可以用它來進(jìn)行預(yù)測。利用Eviews對DLGDP的2012到2015的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果如圖7，紅色虛線是預(yù)測置信區(qū)間，可以看到隨著向后預(yù)測期的增加，預(yù)測置信區(qū)間變大，從而表明預(yù)測期越往后，模型的預(yù)測精度越差。

如表1所示，經(jīng)預(yù)測2012年的GDP值為55144524，與實(shí)際值的誤差為6.19%，較為精確。利用此模型對2013年到2015年我國的GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果在表9中顯示。

四、總結(jié)

ARMA模型對具有明顯趨勢的時(shí)間序列分析提供了很好的數(shù)學(xué)模型，它不依賴于變量所涉及到的專業(yè)知識，只依靠了樣本數(shù)據(jù)本身來實(shí)現(xiàn)建模。在社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展變化過程的分析研究中廣泛應(yīng)用。預(yù)測時(shí)不需考慮其他因素的影響，僅從序列本身出發(fā)，建立相應(yīng)的模型進(jìn)行預(yù)測，這就從根本上避免了尋找主要因素和次要因素的困難；和回歸相比，可以避免了尋找模型中對隨機(jī)擾動項(xiàng)限定條件在經(jīng)濟(jì)實(shí)踐中難以滿足的矛盾。

本文將時(shí)間序列分析方法應(yīng)用到我國國內(nèi)生產(chǎn)總值短期預(yù)測中。文章對整個(gè)ARMA時(shí)間序列的建模及預(yù)測過程進(jìn)行了十分詳細(xì)的介紹，并且以我國GDP數(shù)據(jù)為例，利用ARMA模型進(jìn)行了預(yù)測，得到了比較好的預(yù)測結(jié)果。在整個(gè)建模過程中，通過Eviews軟件可以很方便地得出序列模型并且有很高的擬合精度。（作者單位：武漢大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院）

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