加權Besicovitch-Eggleston集的Hausdorff維數

董秀英， 劉衛(wèi)斌

(武漢大學 數學與統(tǒng)計學院， 湖北 武漢 430072)

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加權Besicovitch-Eggleston集的Hausdorff維數

董秀英， 劉衛(wèi)斌*

(武漢大學 數學與統(tǒng)計學院， 湖北 武漢 430072)

摘要：研究符號空間上的一類特殊的加權Besicovitch-Eggleston集,即具有右可重排性質的元胞自動機作用下的加權Besicovitch-Eggleston型集。通過構造一個概率測度及應用Billingsley定理，得到此類集合的Hausdorff維數dimHEF,P。關鍵詞: 符號空間； 加權Besicovitch-Eggleston集； 元胞自動機； Hausdorff維數

MR subject classification: 28A78

并在1934年證明了它的Hausdorff維數

(i=0,1,…,c-1)},

Eggleston證明了

集合Eq亦被稱作Besicovitch-Eggleston集。

文獻[3]研究{0,1}N符號空間上的加權Besicovitch集，并計算其Hausdorff維數，本文主要將其向c個字符的符號空間作推廣，研究符號空間Ω={0,1,…,c-1}N上在右可重排的元胞自動機作用下的加權Besicovitch-Eggleston集，并給出其Hausdorff維數的計算公式。

為方便起見，介紹文中用到的記號：

(本文假設每個dk均存在)。

(2) 令A={0,1,…,c-1},Ω=AN={0,1,…,c-1}N是c個字符的符號空間，?x=x1x2…∈Ω,?n∈N,Nk(n)表示集合{Mk∩[1,n]}的勢，即

(0≤j≤c-1)。

(1)

(2)

(4)ψkj(x,n)表示符號j在x的Mk∩[1,n]項中出現的頻率，即

(5)B=(pij)l×(c-1)是一個矩陣且滿足pij≥0

(1≤k≤l，規(guī)定0log 0=0)。

(3)

我們將確定它的Hausdorff維數。

從元胞自動機的觀點看，易知(1)式等價于如下形式：

其中σ是Ω→Ω上的移位映射，σ(x)=(xi+1)i∈N，?x=(xi)i∈N。注意到映射σ是具有右可重排性質的元胞自動機，因此(1)式只是(2)式的特殊形式。

1預備知識

有關Hausdorff測度及Hausdorff維數的相關的定義和性質參見文獻[5]，下面給出文中用到的性質、定義和引理：

定理1設D?Rn，若f:D→Rm為雙利普希茨變換，即

c1|x-y|≤|f(x)-f(y)|≤

c2|x-y|(x、y∈D),

其中0

pij≥0(i=1,2,…,l;j=0,1,…,c-1),

令

則

詳細證明見文獻[4]中定理3。

有關符號空間的一些定義如下：

d(x,y)=c-inf(i:xi≠yi}。

定義1設X是一個緊空間，T：X→X是連續(xù)映射，則稱(X,T)是動力系統(tǒng)。對于兩個動力系統(tǒng)(X，T)和(Y，G)，如果存在一個連續(xù)的雙射φ:X→Y滿足φ°T=G°φ，則稱(X，T)和(Y，G)共軛。

下面對元胞自動機作簡單的介紹，關于元胞自動機的知識可參見文獻[8-10]。

定義2如果存在半徑r∈N和局部規(guī)則f:Ar+1→A使得

F(x)i=f(xi,…,xi+r), ?x∈Ω。

稱映射F：Ω→Ω為元胞自動機。

例1Ω上的移位映射

σ(x)=(x2x3x4…),其中x=(x1x2x3…)∈Ω,以及{0,1}N上的求和映射

F(x)i=xi+xi+1, (mod 2)=:(xi+xi+1)2,

?i≥1其中x=(x1x2x3…)∈{0,1}N都是半徑為1的元胞自動機。

Hedlund[10]給出了元胞自動機的一個判別法則。

定理2[10]映射F：Ω→Ω為元胞自動機當且僅當映射F在空間Ω上是連續(xù)的，并且與移位映射σ是可交換的，即F°σ=σ°F。

下面介紹一類重要的元胞自動機——具有右可重排性質的元胞自動機。

定義3如果?u∈Ar和?b∈A，都存在唯一的a∈A滿足f(ua)=b,則稱(Ω,F)具有右可重排性。

例2(1)Ω上的移位映射σ的局部規(guī)則是f(xi,xi+1)=xi+1，從而具有右可重排性。

(2) {0，1}N上的求和映射F具有右可重排性。

性質1具有右可重排性的元胞自動機(Ω,F)是滿射，但不是單射。

引理2設F是Ω上半徑r≥1的自動機，且具有右可重排性，那么(Ω,F)共軛于(Ω,σr)。

證明定義映射φ:Ω→Ω為

φ(x)=x1x2…xrF(x)1F(x)2…F(x)r…

Fn(x)1…Fn(x)r…,x=x1x2…∈Ω。可以證明φ是一個連續(xù)的雙射，且是等距映射，并且滿足φ°F=σr°φ，由共軛的定義即得引理成立。

2主要結果及其證明

我們先證明當元胞自動機F取為移位映射σ時，集合EF,P的Hausdorff維數，即下面定理中集合EP的Hausdorff維數。

定理3令l是一個有限的正整數，P=(p1,p2,…,pc-1),0≤pj≤1(1≤j≤c-1)，集合

則

證明(1) 因為

由Lagrange乘數法知

(k=1,2,…,l;j=1,2,…,c-1),

(4)

(j=1,2,…,c-1),

(5)

由(4)、(5)式得

則

(j=1,2…,c-1),μ*a.e.x∈Ω。

因此,

此即證明了μ*(EP)=1。由Billingsley定理[4]即知

注1當l=1時，EP即是經典的Besicovitch-Eggleston集，定理3的結論與Eggleston定理[2]是一致的。

下面我們將對一般的具有右可重排性質的元胞自動機F確定集合EF，P的Hausdorff維數。

定理4設F是Ω上半徑為r≥1的元胞自動機，并且具有右可重排性，對于給定的概率向量P=(p1,…,pc-1),其中0≤pj≤1(1≤j≤c-1)且

集合

則集合EF,P的Hausdorff維數為

證明由引理2知，存在等距映射φ:Ω→Ω定義為

φ(x)=x1x2…xrF(x)1F(x)2…F(x)r…

Fn(x)1…Fn(x)r…,x=x1x2…∈Ω，

并且滿足φ°F=σr°φ，則有如下等價關系：

(1≤j≤c-1)?

pj(1≤j≤c-1)?

pj(1≤j≤c-1)?

令

3結論

在右可重排元胞自動機作用下的Besicovitch-Eggleston型集的Hausdorff維數與元胞自動機的半徑相關，與元胞自動機的具體形式無關。

參考文獻：

[1]BESICOVITCHA.Onthesumofdigitsofrealnumbersrepresentedinthedyadicsystem[J].MathematischeAnnalen,1934,110(1):321-330.

[2]EGGLESTONHG.Thefractaldimensionofasetdefinedbydecimalproperties[J].QuarterlyJournalofMathematics(OxfordSeries),1949,20(2):31-36.

[3]XIEYQ,WENZX,YUM.DimensionsofWeightedBesicovitchsets[J].ActaMathematicaSinicaEnglishSeries,2010,26(4):711-716.

[4]XIEYQ,WENZX.DimensionsofmodifiedBesicovitch-Egglestonset[J].ScienceinChina:SeriesAMathematics,2006,49(2):245-254.

[5] 文志英.分形幾何的數學基礎[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2000:43-49.

[6]SHERESHEVSKYMA.Ergodicpropertiesofcertainsurjectivecellularautomata[J].MonatsheftefürMathematik,1992,114(3/4):035-316.

[7]YUM,WENZX,XIONGY.TheHausdorffDimensionofweightedBesicovitchset[J].JournalofMathematics,2007,27(2):141-144.

[8]LINDD,MARCUSB.Anintroductiontosymbolicdynamicsandcoding[M].Cambridge:CambridgeUniversityPress,1995.

[9]KURKAP.Topologicalandsymbolicdynamics[M].Paris:CoursSpécialisés-CollectionSMF,2003.

[10]HEDLUNDGA.Endomorphismsandautomorphismsoftheshiftdynamicalsystem[J].TheoryofComputingSystems,1969,3:320-375.

〔責任編輯宋軼文〕

Hausdorff dimensions of weighted Besicovitch-Eggleston sets

DONG Xiuying, LIU Weibin*

(School of Mathematics and Statistics, WuHan University, Wuhan 430072, Hubei, China)

Keywords:symbolic space; weighted Besicovitch-Eggleston sets; celluar automata; Hausdorff dimension

Abstract:A class of weighted Besicovitch-Eggleston sets by the action of cellular automata which is right permutive in symbolic space were studied.By constructing a probability measure and applying Billingsley′s theorem,we obtain explicit formulas for their Hausdorff dimensions dimHEF,P.

文章編號：1672-4291(2016)03-0011-06

doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2016.03.133

收稿日期：2015-07-09

基金項目：國家自然科學基金(11171128); 中央高校基本科研業(yè)務費專項資金(2012201020204)

*通信作者：劉衛(wèi)斌，男，講師，博士。E-mail:weibinliu@whu.edu.cn

中圖分類號：O174.12

文獻標志碼：A