李 哲，李穎暉，吳 辰，陳柄任

(空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，陜西 西安 710038)

電流反饋型 Buck 變換器分岔動(dòng)力學(xué)分析及穩(wěn)定性控制

李 哲，李穎暉，吳 辰，陳柄任

(空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，陜西 西安 710038)

針對(duì)電流反饋型 Buck 變換器電路參數(shù)波動(dòng)引起分岔等非線性失穩(wěn)動(dòng)力學(xué)行為，研究了基于單值矩陣的動(dòng)力學(xué)分析及穩(wěn)定性控制方法。首先采用菲利波夫法得到了電流反饋型 Buck 變換器的一個(gè)線性化的周期軌道，并以單值矩陣的形式來(lái)描述。結(jié)合 Floquet 理論用單值矩陣的特征值(Floquet 乘子)分析了變換器的穩(wěn)定性：根據(jù)Floquet乘子是否處于單位圓內(nèi)，判定變換器是否發(fā)生分岔失穩(wěn)。進(jìn)一步考慮了多參數(shù)變化對(duì)變換器穩(wěn)定性的影響，多參數(shù)變化條件下系統(tǒng)的穩(wěn)定域比較狹窄，變換器很容易產(chǎn)生分岔，基于參數(shù)共振微擾法，在參考電流中添加小幅周期信號(hào)，使變換器模態(tài)之間的切換面發(fā)生了改變，有效地抑制了變換器的分岔行為，穩(wěn)定域得到了明顯的拓展。仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法和結(jié)論的有效性。

Buck 變換器；分岔；菲利波夫法；單值矩陣；穩(wěn)定性；穩(wěn)定域

0 引言

在電力系統(tǒng)的實(shí)際設(shè)計(jì)和規(guī)劃中，穩(wěn)定運(yùn)行的參數(shù)域一直是工程設(shè)計(jì)人員十分關(guān)注的問(wèn)題[1-2]。由于分岔[3]與混沌[4]等行為的存在，從動(dòng)力學(xué)的角度分析其穩(wěn)定性就顯得非常重要。電力電子變換器作為電力系統(tǒng)不可或缺的一部分，具有很強(qiáng)的非線性特性。它是一種切換動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，由于開(kāi)關(guān)的存在其被分割為幾個(gè)線性子模塊。對(duì)于它的穩(wěn)定性分析，需要得出其周期軌道的穩(wěn)定性而不僅僅是計(jì)算平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。因此需要用到一些特殊的方法來(lái)獲得一個(gè)線性化的周期軌道，在以往的研究中，通常是用龐加萊截面來(lái)描述整個(gè)周期的狀態(tài)變化，然后在平衡點(diǎn)將其局部線性化，求取雅可比矩陣，通過(guò)判斷雅可比矩陣的特征值是否處于夫洛開(kāi)(Floquet)圓內(nèi)來(lái)確定其穩(wěn)定性[5-6]。遺憾的是，在很多變換器中，并不能得到一個(gè)閉合形式的龐加萊曲線，所以這一方法的使用受到了限制。

菲利波夫提出了一種可用于分析不連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)體系，開(kāi)始這一方法被廣泛應(yīng)用于機(jī)械開(kāi)關(guān)系統(tǒng)，近年研究發(fā)現(xiàn)其用于電力電子電路也同樣有效[7]。這一方法所得出的單值矩陣與龐加萊截面的雅克比矩陣具有相似的性質(zhì)。并且當(dāng)龐加萊截面不能以閉合的形式得出時(shí)，這一方法依然有效，且更為直接(龐加萊截面的雅克比矩陣是通過(guò)判斷受擾軌道的擾動(dòng)是增強(qiáng)還是減弱來(lái)推測(cè)軌道穩(wěn)定性，而單值矩陣的特征值直接與擾動(dòng)相關(guān))。單值矩陣由各個(gè)子系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和用來(lái)連接兩個(gè)子模塊的跳躍矩陣組成，而變換器的穩(wěn)定性正是由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和跳躍矩陣決定。所以單值矩陣的特征值可以直接指示哪怕是很微弱的擾動(dòng)下的周期軌道的穩(wěn)定性[8]。用單值矩陣法來(lái)更準(zhǔn)確地確定參數(shù)的穩(wěn)定域以及穩(wěn)定邊界有著重要的現(xiàn)實(shí)意義。

1 系統(tǒng)模態(tài)分析及建模

一般而言，電流反饋型 Buck 變換器的模型如圖1 所示當(dāng)開(kāi)關(guān) S 和 D 導(dǎo)通或者關(guān)斷時(shí)，系統(tǒng)是不連續(xù)的。以時(shí)鐘脈沖的上升沿為周期起點(diǎn)，S導(dǎo)通，D 關(guān)斷，電感電流 i上升，此時(shí)變換器工作在模態(tài)一；當(dāng) i上升到時(shí)，比較器給觸發(fā)器一個(gè)上升沿觸發(fā)，S關(guān)斷，由電感電流 i給負(fù)載供電，i減小，D因承受正向電壓而導(dǎo)通，此時(shí)變換器工作在模態(tài)二；若周期時(shí)間足夠長(zhǎng)，那么當(dāng) i減小到零時(shí)，S和D都關(guān)斷，由電容給負(fù)載供電，此時(shí)變換器工作在模態(tài)三，直到下一個(gè)時(shí)鐘脈沖的到來(lái)。

圖1 電流反饋型 Buck 變換器模型Fig. 1 Current mode controlled Buck converter model

分析可知，這是一個(gè)典型的切換系統(tǒng)，對(duì)于切換系統(tǒng)，通常是建立其基于切換系統(tǒng)的模型，構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)分析其穩(wěn)定性，并以此設(shè)計(jì)切換控制率。本文采用菲利波夫法在切換點(diǎn)處構(gòu)造跳躍矩陣，將切換系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性化的周期軌道，用以分析其穩(wěn)定性，更加形象直觀。

表1 變換器數(shù)學(xué)模型Table 1 Mathematical model of the converter

切換面可分別表示為

切換面的法向量為

變換器三個(gè)模態(tài)狀態(tài)矢量之間的關(guān)系為

2 單值矩陣的確立

開(kāi)關(guān)從閉合到斷開(kāi)是系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的跳躍，且這一過(guò)程在很短的時(shí)間內(nèi)完成(幾乎無(wú)窮小)?？捎梅评ǚ蚍▉?lái)確定跳躍矩陣和單值矩陣。

跳躍矩陣為

單值矩陣由各子系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和連接兩個(gè)子模塊的跳躍矩陣組成。電流反饋型 Buck 變換器由三個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)組成，取兩個(gè)切換面的時(shí)刻為，則其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣分別為：，

第一個(gè)和第二個(gè)切換面處的跳躍矩陣可由式(6)求得，而在t= T處還有一個(gè)跳躍矩陣，因其為時(shí)鐘控制，所以跳躍矩陣可視為至此，可以求出整個(gè)周期的單值矩陣。

DCM模式下：

CCM模式下：

從式(7)、式(8)可以看出，單值矩陣本質(zhì)上是對(duì)一個(gè)切換系統(tǒng)圍繞其周期軌道的線性化，它的特征值稱作 Floquet乘子，根據(jù) Floquet理論，如果 Floquet乘子都處于單位圓內(nèi)，則認(rèn)為周期軌道是穩(wěn)定的。

3 基于單值矩陣的分岔分析

系統(tǒng)初始參數(shù)可依表2取值。

表2 變換器參數(shù)Table 2 Parameter values of the converter

一般說(shuō)來(lái)，變換器圍繞周期1軌道運(yùn)行時(shí)，將工作在穩(wěn)定狀態(tài)。所以預(yù)測(cè)狀態(tài)變量的周期1分岔點(diǎn)，顯得非常重要。變換器各單元參數(shù)如表2所示，利用 Floquet理論，在參考電流變化的情況下，預(yù)測(cè)變換器的分岔點(diǎn)，如表3所示。

表3 變化對(duì) Floquet乘子的影響Table 3 Floquet multipliers for various inputrefI

表3 變化對(duì) Floquet乘子的影響Table 3 Floquet multipliers for various inputrefI

I / A 4r e f1( e ) t - / S 42( e ) t - / S 單值矩陣 M F l o q u e t乘子 f 0 . 2 0 . 3 6 3 6 9 3 . 9 1 3 0 0 0 0 . 0 0 0 7 0 . 9 6 9 6éêùêúêú?-ú?éùêúêúêú??0 . 9 6 0 6 0 0 . 2 7 7 9 0 . 5 2 8 0 2 4 . 0 0 0 0 0 . 1 5 4 3 0 . 1 0 0 9 0 . 0 0 1 0 0 . 9 6 1 7éêùéùêúêúêúêú?---ú?ê?-0 . 1 5 4 4 0 . 9 6 1 7ú?0 . 8 1 . 8 9 0 8 4 . 0 0 0 0 0 . 8 9 7 3 0 . 0 1 1 8 0 . 0 0 2 1 0 . 9 7 9 2éêùéùêúêúêúêú?---ú?ê?-0 . 8 9 7 3 0 . 9 7 8 0ú?0 . 8 2 9 6 1 . 9 9 9 8 4 . 0 0 0 0 0 . 9 9 9 7 0 . 0 0 0 6 0 . 0 0 2 1 0 . 9 7 9 2éêùéùê-úêúêúêú?-ú?ê?-0 . 9 9 9 7 0 . 9 7 9 2ú?0 . 8 2 9 7 2 . 0 0 0 1 4 . 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 0 . 0 0 0 6 0 . 0 0 2 1 0 . 9 7 9 3éêùé-1 . 0 0 0 1 0 . 9 7 9 3-úêùêúêúêú?-ú?ê?ú?0 . 8 3 2 . 0 0 1 3 4 . 0 0 0 0 1 . 0 0 1 2 0 . 0 0 0 8 0 . 0 0 2 1 0 . 9 7 9 3éêùéùê-úêúêúêú?-ú?ê?-1 . 0 0 1 2 0 . 9 7 9 3ú?0 . 9 2 . 9 5 7 6 4 . 0 0 0 0 2 . 8 0 9 9 0 . 2 2 0 7 0 . 0 0 1 4 0 . 9 9 0 7éêùéùê-úêúêúêú?-ú?ê?-2 . 8 0 9 5 0 . 9 9 0 6ú?

圖2 Floquet乘子隨參考電流的變化趨勢(shì)Fig. 2 Values of Floquet multipliers for varyingrefI

圖3 以為參數(shù)的系統(tǒng)分岔圖Fig. 3 Bifurcation diagram of the system for varyingrefI

在實(shí)際電路中，變化的參量不止一個(gè)，輸入電壓、參考電壓、負(fù)載電阻等的小幅變動(dòng)都是需要考慮的因素，以 Floquet乘子等于-1 為邊界條件，可得出在這些參量變化時(shí)變換器的穩(wěn)定區(qū)域。圖4所示為以參考電流和負(fù)載電阻 R 為變量時(shí)的變換器周期一軌道的穩(wěn)定域。

圖4 周期 1 軌道穩(wěn)定域Fig. 4 Stable region of the period-1 orbit

圖4 中淺色區(qū)域?yàn)樽儞Q器穩(wěn)定運(yùn)行的周期1軌道區(qū)域，深色區(qū)域?yàn)椴环€(wěn)定區(qū)域。由此可以看出，參考電流和負(fù)載電阻的參數(shù)范圍非常窄，電路在受到干擾的情況下稍有波動(dòng)，變換器便可能從穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)。

4 基于參數(shù)共振微擾法的穩(wěn)定性控制

4.1 參數(shù)共振微擾法

由式(4)可知，加入正弦信號(hào)后，做出改變的只有分母最后一項(xiàng)

則其單值矩陣變?yōu)?/p>

給參考電壓加入一個(gè)小幅正弦信號(hào)之后，從模態(tài)一到模態(tài)二的切換面發(fā)生了改變，如圖5所示。

圖5 電感電流與切換面原理圖Fig. 5 Principle diagram of inductor current and switching hypersurface

由圖5 可知，變換器在 t=41 ms 附近開(kāi)始出現(xiàn)倍周期分岔，但由于小幅正弦信號(hào)的加入，電感電流與切換面的交點(diǎn)發(fā)生了變化，形成了一個(gè)新的切換面，系統(tǒng)在大約經(jīng)過(guò) 14個(gè)周期的調(diào)整之后，進(jìn)入了一個(gè)新的周期1軌道。這一方法之所以可行，是因?yàn)楸吨芷诜植聿](méi)有破壞變換器的周期1軌道，而僅僅是改變了它的穩(wěn)定性。所以理論上，只要變換器還沒(méi)有進(jìn)入混沌狀態(tài)，通過(guò)微小調(diào)整切換面，可以使其周期1軌道趨于穩(wěn)定。

4.2 穩(wěn)定性控制方法

給參考電流加入小幅正弦信號(hào)之后的電路如圖6所示。

圖6 改善之后的電流反饋型 Buck 變換器Fig. 6 Improved current mode controlled Buck converter

表4 a逐漸增大時(shí)的 Floquet乘子Table 4 Floquet multipliers for increasing values of a

由表4可知，一個(gè)非常微弱的周期信號(hào)的加入，甚至都不能檢測(cè)到其對(duì)開(kāi)關(guān)導(dǎo)通時(shí)間 t1所產(chǎn)生的影響，但已足以使原本不穩(wěn)定的周期1軌道回到穩(wěn)定狀態(tài)。而且隨著a的增大，變換器的穩(wěn)定性會(huì)變得更好。

圖7 電流反饋型 Buck 變換器電感電流波形Fig. 7 Inductor current of current mode controlled Buck converter

圖8 電流反饋型 Buck 變換器穩(wěn)定域Fig. 8 Stable region of current mode controlled Buck converter

通過(guò)以上仿真結(jié)果可以看出，加入小幅周期信號(hào)之后，電路周期1軌道的穩(wěn)定域得到了明顯的拓展。

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

根據(jù)圖1和圖6以及本文的電路參數(shù)，建立相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，其中電源用直流電壓源，MOSFET開(kāi)關(guān)管采用 IR2125 驅(qū)動(dòng)，比較器采用 LM311 型集成運(yùn)算放大器芯片，RS觸發(fā)器采用或非門(mén)構(gòu)成，時(shí)鐘脈沖和小幅周期信號(hào)由雙路輸出信號(hào)發(fā)生器提供，負(fù)載電阻采用電子負(fù)載。參考電流refI 變化時(shí)電感電流的實(shí)驗(yàn)時(shí)域波形如圖9所示。

圖9 電流反饋型 Buck 變換器實(shí)驗(yàn)波形Fig. 9 Experimental waveforms of the current mode controlled Buck converter

實(shí)驗(yàn)表明，隨著參考電流的增大，電流反饋型Buck 變換器從穩(wěn)定的周期 1 軌道發(fā)生倍周期分岔，最后進(jìn)入混沌。在變換器未進(jìn)入混沌之前，通過(guò)給參考電流加入一個(gè)小幅周期信號(hào)，對(duì)變換器進(jìn)行穩(wěn)定性控制之后，變換器又回到周期1狀態(tài)，仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文所提理論的正確性。

6 結(jié)論

本文將菲利波夫法應(yīng)用于電流反饋型 Buck 變換器，分析了變換器在工作過(guò)程中可能出現(xiàn)的三個(gè)模態(tài)，得出了可以指示變換器穩(wěn)定性的單值矩陣。仿真驗(yàn)證表明，變換器周期一軌道的穩(wěn)定性與單值矩陣的特征值——Floquet乘子密切相關(guān)，在電路參數(shù)發(fā)生波動(dòng)時(shí)，F(xiàn)loquet乘子的絕對(duì)值也會(huì)隨著增大并最終穿出單位圓，變換器發(fā)生倍周期分岔進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)。在此基礎(chǔ)上得出了在一些可變參量，如參考電壓、負(fù)載電阻變化時(shí)，周期1軌道的穩(wěn)定域。這一穩(wěn)定域過(guò)于狹窄以至電路參數(shù)的選取變得非?？量?。所以通過(guò)給參考電流加入一個(gè)小幅周期信號(hào)，有效地拓展了變換器電路參數(shù)的選取范圍，擴(kuò)大了系統(tǒng)工作的穩(wěn)定區(qū)域。

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(編輯 姜新麗)

Study on bifurcation behaviors and stabilization in current mode controlled Buck converter

LI Zhe, LI Yinghui, WU Chen, CHEN Bingren
(School of Aeronautics and Astronautics Engineering, Air Force Engineering University, Xi’ an 710038, China)

To restrain the nonlinear dynamical behaviors like bifurcation in current mode controlled Buck converter caused by variation of circuit parameters, a dynamic analysis and control method based on monodromy matrix is studied. First, Filippov’s method is applied to obtain a linearization around the periodic orbit of current mode controlled Buck converter, and it can be described as monodromy matrix; combined with Floquet theory, the eigenvalues of the monodromy matrix (Floquet multipliers) are used to analyze the stability of the converter: the state whether Floquet multipliers are within the unit circle is committed to determine whether the converter occur bifurcation. Meanwhile, the stability of the converter under condition in multi-parameter changes is considered, its stable region is relatively narrow, converter is easy to occur bifurcation and become unstable. Based on the method of resonant parametric perturbation, a slight period signal is added to the reference current, which can change the switching hypersurface between the state of converter, and the bifurcation behaviors can be effectively restrained, through this, stable region is obviously expanded. Finally, the simulation and experimental results show that the analysis method and conclusion proposed is effective.

This work is supported by National Key Basic Research Program of China (973 Program) (No. 2015CB755805).

Buck converter; bifurcation; Filippov’s method; monodromy matrix; stability; stable region

10.7667/PSPC151842

：2015-12-31

李 哲(1992-)，男，通信作者，碩士，研究方向?yàn)殡娏﹄娮优c電力傳動(dòng)；E-mail: lizheabcde@163.com

李穎暉(1966-)，女，博士后，教授，博士生導(dǎo)師。研究方向?yàn)榉蔷€性控制理論；E-mail: liyinghui66@163.com

吳 辰(1988-)，男，博士生，研究方向?yàn)橄冗M(jìn)控制理論。E-mail: chenwukgd@126.com

國(guó)家 973 計(jì)劃(2015CB755805)