韓曉影，李瑞娟，張新鴻

(1.山西大學 數(shù)學科學學院,太原 030006；2.太原科技大學 應用科學學院，太原 030024)

本文中涉及到的有向圖是無環(huán)、無多重弧的簡單有向圖。

雙極模糊集[3]是模糊集[4]的推廣，它的隸屬度為[-1,1].在雙極模糊集中，一個元素的隸屬度為0表示該元素與對應性質(zhì)不相干，元素的隸屬度為[0,1]表示該元素滿足性質(zhì)的程度，隸屬度為[-1，0]表示該元素滿足相反性質(zhì)的程度。在許多領域中，運用雙極信息是很常見的，其中正面信息被認為是可能的，而負面信息被認為是不可能的。例如當評估應聘者是否適合某職位時，正面信息表示應聘者適合該職位的程度，而負面信息表示應聘者不適合該職位的程度。從而引出了雙極模糊圖[5]。

中智集[6]是模糊集和直覺模糊集[7]的推廣，它通過真實隸屬函數(shù)、不確定隸屬函數(shù)和失真隸屬函數(shù)這三個函數(shù)定義。由于某些工程和科學問題非常復雜，1998年Smarandache提出了單值中智集[8]的概念。Ye提出了單值中智圖[9]的概念。將雙極模糊集和中智集結(jié)合在一起得到了雙極單值中智集[10]。2018年Delietal提出了雙極單值中智有向圖[11]、雙極單值中智競爭圖、m-步雙極單值中智經(jīng)濟競爭圖等概念。由于現(xiàn)實中存在不同步的競爭關(guān)系，因此對(i,k)-步雙極單值中智競爭圖的研究是有必要的。模糊圖的應用非常廣泛，例如工程學[12]，醫(yī)學，人工智能等。在本文第四部分將舉例(i,k)-步雙極單值中智競爭圖在市場競爭中的應用。

1 準備工作

在本文中用x∧y表示min{x,y}，用x∨y表示max{x,y}.

定義5雙極單值中智有向圖為D=(A,B)，其中A為頂點集X上的雙極單值中智集，B為頂點集X上的雙極單值中智關(guān)系，且對所有u,v∈X有：

定義9雙極單值中智有向圖D=(A,B)中的雙極單值中智競爭圖為(D)=(A,R)，其中雙極單值中智頂點集與D的雙極單值中智頂點集相同，在(D)中有(u,v)邊當且僅當N+(u)∩N+(v)是D中一個非空雙極單值中智集，(D)中邊(u,v)的正真實隸屬值、正不確定隸屬值、正失真隸屬值和負真實隸屬值、負不確定隸屬值、負失真隸屬值分別為：

由m-步雙極單值中智經(jīng)濟競爭圖的定義，類似可得出m-步雙極單值中智競爭圖的定義。

2 (i,k)-步雙極單值中智競爭圖

(N+(u)∩N+(v))，

(N+(u)∩N+(v))，

(N+(u)∩N+(v))，

(N+(u)∩N+(v))，

(N+(u)∩N+(v))，

(N+(u)∩N+(v)).

例1設D=(A,B)是雙極單值中智有向圖，如圖1所示。

圖1 雙極單值中智有向圖D

故D的(2,3)-步雙極單值中智競爭圖2,3(D)如圖2所示。

圖2 (2,3)-步雙極單值中智競爭圖2,3(D)

定理1設D=(A,B)是一個雙極單值中智有向圖，如果

只包含一個元素，則i,k(D)中的(u,v)邊是獨立強的當且僅當：

從而：

要使Ci,k(D)中的(u,v)邊是獨立強的當且僅當lP>0.5，mP>0.5，nP<0.5，lN<0.5，mN<0.5，nN>0.5，即:

定理2設D=(A,B)是一個雙極單值中智有向圖，如果i>|D|或k>|D|，則D的(i,k)-步雙極單值中智競爭圖i,k(D)中沒有邊。

因此Ci,k(D)中沒有邊。

下面介紹(i,k)-步雙極單值中智有向圖的競爭圖與(i,k)-步雙極單值中智競爭圖之間的關(guān)系。

定理3若D=(A,B)是雙極單值中智有向圖，Di,k=(A,B′)是D的(i,k)-步雙極單值中智有向圖，則CC(Di,k)=Ci,k(D).

故在Ci,k(D)中有

從而:

因此證明了CC(Di,k)中的每條邊在Ci,k(D)中都存在。同樣Ci,k(D)中的每條邊在CC(Di,k)中也都存在，因此CC(Di,k)=Ci,k(D).

3 應用

下面給出具體的例子。供銷商a,b,c,d,e和它們之間的貨運關(guān)系的正真實隸屬值、正不確定隸屬值、正失真隸屬值和負真實隸屬值、負不確定隸屬值、負失真隸屬值分別如表1，表2所示。

表1 每個供銷商的各個隸屬值

表2 供銷關(guān)系的各個隸屬值

轉(zhuǎn)化為雙極單值中智有向圖如圖3所示。

圖3 極單值中智有向圖D

在D中，每個供銷商的2-步外鄰集和3-步外鄰集如表3所示。

表3 每個供銷商的2-步外鄰集和3-步外鄰集

則:

{(d,0.2,0.1,0.4,-0.2，-0.1,-0.5)}，

{(d,0.2,0.3,0.4,-0.2，-0.1,-0.3)}.

因此在D的(2,3)-步雙極單值中智競爭圖中有(a,b)邊和(b,c)邊，即供銷商a與供銷商b、供銷商b與供銷商c之間存在競爭關(guān)系且:

故D的(2,3)-步雙極單值中智競爭圖如圖4所示。

圖4 (2,3)-步雙極單值中智競爭圖2,3(D)

4 總結(jié)

本文介紹了(i,k)-步雙極單值中智有向圖和(i,k)-步雙極單值中智競爭圖的定義，建立了它們之間的關(guān)系，并舉例說明(i,k)-步雙極單值中智競爭圖在市場競爭中的應用。