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2016-06-21 02:21王素旦
江西教育B 2016年5期
王素旦
數(shù)學(xué)的生命力在于它能有效地解決現(xiàn)實世界向我們提出的各種問題，而數(shù)學(xué)模型正是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的橋梁。引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程，就是數(shù)學(xué)化的過程，也是思維訓(xùn)練的過程，這將有助于提高他們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、“創(chuàng)造”數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
“模型思想”作為十大核心概念之一的重要地位，以及基于建模教學(xué)的現(xiàn)實價值，建模教學(xué)成為研究的熱點問題。建模教學(xué)不僅僅是教學(xué)的新授環(huán)節(jié)，還應(yīng)該有整體的視野、兒童的視角、系統(tǒng)的視域，讓學(xué)生模型建立的過程行之有“道”。
一般而言建立數(shù)學(xué)模型的新授課包含兩類，即全新型新授課和延伸型新授課兩類。所謂全新型新授課是指在學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，首次學(xué)習(xí)的全新知識。如“9加幾”中的“湊十法”、乘法的初步認(rèn)識、商的性質(zhì)（變與不變）、長方形面積計算公式、單式統(tǒng)計表（圖）等。學(xué)生學(xué)習(xí)這類知識，往往是以自己的生活經(jīng)驗（也需要學(xué)習(xí)經(jīng)驗）為基礎(chǔ)，通過觀察、實驗、比較、推理和交流，構(gòu)建新的數(shù)學(xué)模型。所謂延伸型的新授課是指在學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，新知識和已有相關(guān)知識聯(lián)系緊密。如“8加幾”中的“湊十法、分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)、正方形和平行四邊形面積計算公式、復(fù)式統(tǒng)計表（圖）等。學(xué)生學(xué)習(xí)這類知識，往往是以已有相關(guān)知識（也需要生活經(jīng)驗和學(xué)習(xí)經(jīng)驗）為基礎(chǔ)，通過猜想、驗證、推理和交流，實現(xiàn)知識的“同化”或“順應(yīng)”，構(gòu)建新的數(shù)學(xué)模型。
結(jié)合新課程提出的新授課的教學(xué)模式和對于教材解讀，筆者認(rèn)為對于教學(xué)全新型新授課教學(xué)往往需要經(jīng)歷四個環(huán)節(jié)：“一導(dǎo)?！薄岸！?“三用?！?“四化模”
所謂“導(dǎo)?！?，是指從教材創(chuàng)設(shè)的情境問題中導(dǎo)出數(shù)學(xué)問題，從多個數(shù)學(xué)問題中選擇本課的學(xué)習(xí)主題，并及時將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)算式。學(xué)生往往通過觀察與分析教材上的圖和式，并與已有知識進(jìn)行對比、質(zhì)疑，才能“導(dǎo)”出數(shù)學(xué)問題和學(xué)習(xí)主題。所謂“建?！笔侵钙饰鰡栴}抽象與概括及建模，在多數(shù)情況下，學(xué)生通過對數(shù)學(xué)算式（圖形）的分析與綜合、比較與分類，找出具有共性的特征（即本質(zhì)特征），運(yùn)用歸納推理（或不完全歸納推理），構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。所謂“用模”，是指運(yùn)用剛剛構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型，以演繹推理的思維方式去解釋并解決問題，并從中驗證和完善數(shù)學(xué)模型。所謂“化?！?，是指加深或延伸與主題有關(guān)的知識，學(xué)生是運(yùn)用類比推理完成學(xué)習(xí)任務(wù)的。這要根據(jù)學(xué)情而靈活安排，不必每節(jié)新授課都要“化?！?。
小學(xué)生有限的生活經(jīng)驗、學(xué)習(xí)經(jīng)驗和數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)決定他們在數(shù)學(xué)建模的過程中，往往要經(jīng)歷“由模糊到清晰”“由繁瑣到簡約”“由粗放到精確”“由具體到抽象”的認(rèn)知過程，不可能一蹴而就，這需要教師給他們有較多的思考時空和耐心的引導(dǎo)、等待，以使他們的“個性化建?！表樌剡^渡到“規(guī)范化建模”。
結(jié)合《9加幾》一課闡述 “一導(dǎo)?！薄岸！?“三用?！?“四化?！?的四個教學(xué)環(huán)節(jié)。
（一）導(dǎo)?！獜那榫硢栴}中導(dǎo)出學(xué)習(xí)主題
在導(dǎo)模環(huán)節(jié)，從問題情境中提煉學(xué)習(xí)主題可分為兩種情形，一種單一型問題情境圖（如《9加幾》蘇教版教材）另一種為開放型問題情景圖（如《9加幾》人教版教材）。作如下詳細(xì)闡述。
1.提出數(shù)學(xué)問題直奔本課主題
出示手偶“小猴靈靈”，教師表演并配音：小朋友，我是小猴靈靈，今天我來和大家一起學(xué)習(xí)，好嗎？我們先來做一個游戲：請小朋友從袋子里先取9個桃（實物圖），再從袋子里隨便取出一些桃。你能提出什么問題？（一共取了幾個桃）會列算式嗎？
根據(jù)學(xué)生回答板書：9+1、9+2、9+3、9+4、9+5、9+6、9+7、9+8、9+9、9+10。（有順序地排成一豎排）
小猴靈靈：大家列出的算式真多，這些算式有什么共同的特點呢？（揭示課題：9加幾）
1.要適時地引導(dǎo)學(xué)生選擇用加法計算的問題。
2.在加法計算的問題中，暫且擱置已經(jīng)學(xué)習(xí)過（或還未學(xué)習(xí)）的諸如列式為“6+3”“8+7”……問題。
3.直奔本課的主題“9+4”“9+3”……問題。
當(dāng)然也可以班本化實施本節(jié)課的教學(xué)，整合學(xué)生潛在經(jīng)驗，激活潛在經(jīng)驗，設(shè)計9加幾的學(xué)習(xí)單。
找一找：你能找一找我們生活中的9加幾的問題嗎？（可以寫一寫或者畫一畫）
我找到的生活中的9加幾的問題是：
（二）建?！饰鰡栴}，抽象與概括及建立模型
《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011）版指出：“要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程……”建構(gòu)主義認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者進(jìn)行主動建構(gòu)的過程。因此建模教學(xué)是對接學(xué)生已有經(jīng)驗，不斷抽象剝離概括構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程。
案例A：
1.復(fù)習(xí)1O的組成，或lO以內(nèi)口算，初步感知為“湊十法”作鋪墊
師：剛才口算的這些題，你發(fā)現(xiàn)有什么共同的地方？
生：都是10加幾的。
生：得數(shù)都是十幾。
師：計算這些題，你為什么這么快？
生：都是10加幾，就能很快算出得數(shù)是十幾。
2.計算：9+4=□。學(xué)生可能沿用“數(shù)數(shù)法”和“接數(shù)法”等算法。應(yīng)及時引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“湊十法”，要求學(xué)生“擺一擺”學(xué)具，怎樣先“湊成10”。用左邊算式表示思考過程，請學(xué)生用自己的話“說一說”：
生1：“我看到9，就想到1，因為1和9合起來是l0，我把4分成1和3，9加1等于10，10加3等于13?！?/p>
生2：“看到9，想到1，把4分成1和3，9加l等于1O，1O再加3等于l3。”（簡單了些）……（算法的第一次抽象）
3.計算：9+3=□。同樣要學(xué)生說一說是怎樣計算的。
4.小結(jié)：在經(jīng)過多個“9加幾”算式的計算后，引導(dǎo)學(xué)生比較其異同，找出算式的相同點（一個加數(shù)是9，即本質(zhì)特征）抽象概括經(jīng)歷，不完全歸納出“湊十法”的法則：“看大數(shù)拆小數(shù)，湊成十，再加幾?！薄ㄋ惴ǖ牡诙纬橄螅?/p>
案例B：
或者用大問題引發(fā)思考
想一想：怎樣解決這個問題？
我是這樣列式的：
我這樣思考：
記一記：我的方法是（畫一畫、圈一圈、連一連、寫一寫……）
（三）用?！脭?shù)學(xué)模型解釋并解決問題（經(jīng)歷具體化，演繹推理）
“湊十法”的法則是不是通用，需要學(xué)生在同類題目的計算中進(jìn)行驗證。
1.觀察與判斷：9+6=□，9+8=□（屬“9加幾”，用“湊十法”）
2.計算與說理：9+6=15，9+8=17
用模過程就是需要把學(xué)習(xí)中建立的已有模型在解決問題的過程中運(yùn)用鞏固，從而使得新建的數(shù)學(xué)模型不斷得以完善，同時在運(yùn)用的過程中深化對數(shù)學(xué)模型的理解，形成基本的運(yùn)用能力和問題解決能力。
（四）化?！由罨蜓由炫c主題相關(guān)知識（類比推理）
模仿是小學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)象中的常見模式。簡單化的用模，易于造成思維定式，成為數(shù)學(xué)思維的桎梏。因此在化模中必須活化模型，實現(xiàn)簡單知識記憶應(yīng)用走向問題深層剖析的思維提升。
1.“看大數(shù)，拆小數(shù)，湊成十，再加幾”的法則。（“8加幾”“7加幾”“6加幾”……時出現(xiàn)）
2.探索“9加幾”的規(guī)律：9+1=10，9+2=11……9+9=18。即9+n=10+（n-1）
3.探索“十幾減9”的規(guī)律：n-9=（n-10）+1。（2、3可視情況而定）
學(xué)習(xí)“湊十法”的計算法則，為之后學(xué)習(xí)“8加幾”“7加幾”……以至用“湊整”（加法或乘法）方法的簡便計算作了良好的鋪墊，也使學(xué)生感受了數(shù)學(xué)的無窮魅力。
基于建模思想下教學(xué)過程突出了基本數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，并深刻體驗運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，為后續(xù)的教學(xué)打下伏筆，以期能駕輕就熟。同時通過四個環(huán)節(jié)的層層推進(jìn)，在學(xué)生對“湊十法”透徹認(rèn)識的同時，歷經(jīng)分析綜合抽象概括等思維活動。
此外，在建模教學(xué)實施過程中需要關(guān)注建模教學(xué)的幾個特性：一是注重知識的漸進(jìn)性，不斷完善豐滿構(gòu)建學(xué)習(xí)模型。二是尊重學(xué)生的差異性，最終能利用差異，發(fā)展差異。三是必須體現(xiàn)過程的結(jié)構(gòu)性，在學(xué)習(xí)中不斷主動地進(jìn)行模型的構(gòu)建、感悟、運(yùn)用。
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王素旦
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“模型思想”作為十大核心概念之一的重要地位，以及基于建模教學(xué)的現(xiàn)實價值，建模教學(xué)成為研究的熱點問題。建模教學(xué)不僅僅是教學(xué)的新授環(huán)節(jié)，還應(yīng)該有整體的視野、兒童的視角、系統(tǒng)的視域，讓學(xué)生模型建立的過程行之有“道”。
一般而言建立數(shù)學(xué)模型的新授課包含兩類，即全新型新授課和延伸型新授課兩類。所謂全新型新授課是指在學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，首次學(xué)習(xí)的全新知識。如“9加幾”中的“湊十法”、乘法的初步認(rèn)識、商的性質(zhì)（變與不變）、長方形面積計算公式、單式統(tǒng)計表（圖）等。學(xué)生學(xué)習(xí)這類知識，往往是以自己的生活經(jīng)驗（也需要學(xué)習(xí)經(jīng)驗）為基礎(chǔ)，通過觀察、實驗、比較、推理和交流，構(gòu)建新的數(shù)學(xué)模型。所謂延伸型的新授課是指在學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，新知識和已有相關(guān)知識聯(lián)系緊密。如“8加幾”中的“湊十法、分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)、正方形和平行四邊形面積計算公式、復(fù)式統(tǒng)計表（圖）等。學(xué)生學(xué)習(xí)這類知識，往往是以已有相關(guān)知識（也需要生活經(jīng)驗和學(xué)習(xí)經(jīng)驗）為基礎(chǔ)，通過猜想、驗證、推理和交流，實現(xiàn)知識的“同化”或“順應(yīng)”，構(gòu)建新的數(shù)學(xué)模型。
結(jié)合新課程提出的新授課的教學(xué)模式和對于教材解讀，筆者認(rèn)為對于教學(xué)全新型新授課教學(xué)往往需要經(jīng)歷四個環(huán)節(jié)：“一導(dǎo)?！薄岸！?“三用?！?“四化模”
所謂“導(dǎo)?！?，是指從教材創(chuàng)設(shè)的情境問題中導(dǎo)出數(shù)學(xué)問題，從多個數(shù)學(xué)問題中選擇本課的學(xué)習(xí)主題，并及時將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)算式。學(xué)生往往通過觀察與分析教材上的圖和式，并與已有知識進(jìn)行對比、質(zhì)疑，才能“導(dǎo)”出數(shù)學(xué)問題和學(xué)習(xí)主題。所謂“建?！笔侵钙饰鰡栴}抽象與概括及建模，在多數(shù)情況下，學(xué)生通過對數(shù)學(xué)算式（圖形）的分析與綜合、比較與分類，找出具有共性的特征（即本質(zhì)特征），運(yùn)用歸納推理（或不完全歸納推理），構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。所謂“用模”，是指運(yùn)用剛剛構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型，以演繹推理的思維方式去解釋并解決問題，并從中驗證和完善數(shù)學(xué)模型。所謂“化?！?，是指加深或延伸與主題有關(guān)的知識，學(xué)生是運(yùn)用類比推理完成學(xué)習(xí)任務(wù)的。這要根據(jù)學(xué)情而靈活安排，不必每節(jié)新授課都要“化?！?。
小學(xué)生有限的生活經(jīng)驗、學(xué)習(xí)經(jīng)驗和數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)決定他們在數(shù)學(xué)建模的過程中，往往要經(jīng)歷“由模糊到清晰”“由繁瑣到簡約”“由粗放到精確”“由具體到抽象”的認(rèn)知過程，不可能一蹴而就，這需要教師給他們有較多的思考時空和耐心的引導(dǎo)、等待，以使他們的“個性化建?！表樌剡^渡到“規(guī)范化建模”。
結(jié)合《9加幾》一課闡述 “一導(dǎo)?！薄岸！?“三用?！?“四化?！?的四個教學(xué)環(huán)節(jié)。
（一）導(dǎo)?！獜那榫硢栴}中導(dǎo)出學(xué)習(xí)主題
在導(dǎo)模環(huán)節(jié)，從問題情境中提煉學(xué)習(xí)主題可分為兩種情形，一種單一型問題情境圖（如《9加幾》蘇教版教材）另一種為開放型問題情景圖（如《9加幾》人教版教材）。作如下詳細(xì)闡述。
1.提出數(shù)學(xué)問題直奔本課主題
出示手偶“小猴靈靈”，教師表演并配音：小朋友，我是小猴靈靈，今天我來和大家一起學(xué)習(xí)，好嗎？我們先來做一個游戲：請小朋友從袋子里先取9個桃（實物圖），再從袋子里隨便取出一些桃。你能提出什么問題？（一共取了幾個桃）會列算式嗎？
根據(jù)學(xué)生回答板書：9+1、9+2、9+3、9+4、9+5、9+6、9+7、9+8、9+9、9+10。（有順序地排成一豎排）
小猴靈靈：大家列出的算式真多，這些算式有什么共同的特點呢？（揭示課題：9加幾）
1.要適時地引導(dǎo)學(xué)生選擇用加法計算的問題。
2.在加法計算的問題中，暫且擱置已經(jīng)學(xué)習(xí)過（或還未學(xué)習(xí)）的諸如列式為“6+3”“8+7”……問題。
3.直奔本課的主題“9+4”“9+3”……問題。
當(dāng)然也可以班本化實施本節(jié)課的教學(xué)，整合學(xué)生潛在經(jīng)驗，激活潛在經(jīng)驗，設(shè)計9加幾的學(xué)習(xí)單。
找一找：你能找一找我們生活中的9加幾的問題嗎？（可以寫一寫或者畫一畫）
我找到的生活中的9加幾的問題是：
（二）建?！饰鰡栴}，抽象與概括及建立模型
《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011）版指出：“要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程……”建構(gòu)主義認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者進(jìn)行主動建構(gòu)的過程。因此建模教學(xué)是對接學(xué)生已有經(jīng)驗，不斷抽象剝離概括構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程。
案例A：
1.復(fù)習(xí)1O的組成，或lO以內(nèi)口算，初步感知為“湊十法”作鋪墊
師：剛才口算的這些題，你發(fā)現(xiàn)有什么共同的地方？
生：都是10加幾的。
生：得數(shù)都是十幾。
師：計算這些題，你為什么這么快？
生：都是10加幾，就能很快算出得數(shù)是十幾。
2.計算：9+4=□。學(xué)生可能沿用“數(shù)數(shù)法”和“接數(shù)法”等算法。應(yīng)及時引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“湊十法”，要求學(xué)生“擺一擺”學(xué)具，怎樣先“湊成10”。用左邊算式表示思考過程，請學(xué)生用自己的話“說一說”：
生1：“我看到9，就想到1，因為1和9合起來是l0，我把4分成1和3，9加1等于10，10加3等于13?！?/p>
生2：“看到9，想到1，把4分成1和3，9加l等于1O，1O再加3等于l3。”（簡單了些）……（算法的第一次抽象）
3.計算：9+3=□。同樣要學(xué)生說一說是怎樣計算的。
4.小結(jié)：在經(jīng)過多個“9加幾”算式的計算后，引導(dǎo)學(xué)生比較其異同，找出算式的相同點（一個加數(shù)是9，即本質(zhì)特征）抽象概括經(jīng)歷，不完全歸納出“湊十法”的法則：“看大數(shù)拆小數(shù)，湊成十，再加幾?！薄ㄋ惴ǖ牡诙纬橄螅?/p>
案例B：
或者用大問題引發(fā)思考
想一想：怎樣解決這個問題？
我是這樣列式的：
我這樣思考：
記一記：我的方法是（畫一畫、圈一圈、連一連、寫一寫……）
（三）用?！脭?shù)學(xué)模型解釋并解決問題（經(jīng)歷具體化，演繹推理）
“湊十法”的法則是不是通用，需要學(xué)生在同類題目的計算中進(jìn)行驗證。
1.觀察與判斷：9+6=□，9+8=□（屬“9加幾”，用“湊十法”）
2.計算與說理：9+6=15，9+8=17
用模過程就是需要把學(xué)習(xí)中建立的已有模型在解決問題的過程中運(yùn)用鞏固，從而使得新建的數(shù)學(xué)模型不斷得以完善，同時在運(yùn)用的過程中深化對數(shù)學(xué)模型的理解，形成基本的運(yùn)用能力和問題解決能力。
（四）化?！由罨蜓由炫c主題相關(guān)知識（類比推理）
模仿是小學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)象中的常見模式。簡單化的用模，易于造成思維定式，成為數(shù)學(xué)思維的桎梏。因此在化模中必須活化模型，實現(xiàn)簡單知識記憶應(yīng)用走向問題深層剖析的思維提升。
1.“看大數(shù)，拆小數(shù)，湊成十，再加幾”的法則。（“8加幾”“7加幾”“6加幾”……時出現(xiàn)）
2.探索“9加幾”的規(guī)律：9+1=10，9+2=11……9+9=18。即9+n=10+（n-1）
3.探索“十幾減9”的規(guī)律：n-9=（n-10）+1。（2、3可視情況而定）
學(xué)習(xí)“湊十法”的計算法則，為之后學(xué)習(xí)“8加幾”“7加幾”……以至用“湊整”（加法或乘法）方法的簡便計算作了良好的鋪墊，也使學(xué)生感受了數(shù)學(xué)的無窮魅力。
基于建模思想下教學(xué)過程突出了基本數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，并深刻體驗運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，為后續(xù)的教學(xué)打下伏筆，以期能駕輕就熟。同時通過四個環(huán)節(jié)的層層推進(jìn)，在學(xué)生對“湊十法”透徹認(rèn)識的同時，歷經(jīng)分析綜合抽象概括等思維活動。
此外，在建模教學(xué)實施過程中需要關(guān)注建模教學(xué)的幾個特性：一是注重知識的漸進(jìn)性，不斷完善豐滿構(gòu)建學(xué)習(xí)模型。二是尊重學(xué)生的差異性，最終能利用差異，發(fā)展差異。三是必須體現(xiàn)過程的結(jié)構(gòu)性，在學(xué)習(xí)中不斷主動地進(jìn)行模型的構(gòu)建、感悟、運(yùn)用。
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