李海東 印建鳳

數(shù)學(xué)建模是學(xué)生用數(shù)學(xué)工具解決實際問題的重要手段之一?！熬驮S多小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容而言，本身就是一種數(shù)學(xué)模型……我們每堂課都在建立數(shù)學(xué)模型。”（張奠宙語）幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的“四基”要求之一。因此，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，還要幫助學(xué)生不斷積累數(shù)學(xué)建?；顒咏?jīng)驗。所謂數(shù)學(xué)建模活動經(jīng)驗，就是學(xué)生從已有生活經(jīng)驗、知識經(jīng)驗和活動經(jīng)驗出發(fā)，把實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型過程中所形成的經(jīng)驗。教學(xué)時，教師要根據(jù)學(xué)生年齡特點(diǎn)，恰當(dāng)應(yīng)用行為主義學(xué)習(xí)理論中的接近原理、重復(fù)原理和強(qiáng)化原理，努力引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理和驗證等探究活動過程，幫助學(xué)生在知識形成過程中積累數(shù)學(xué)建模活動經(jīng)驗。

一、嘗試比較中接近建模經(jīng)驗

心理學(xué)研究表明，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都是基于他們自身經(jīng)驗、用自己的獨(dú)特思維方式進(jìn)行意義建構(gòu)的過程?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》認(rèn)為“有效的數(shù)學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上”，并且要求教師“重視學(xué)生已有的經(jīng)驗，使學(xué)生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程”。因此，教師可以結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，根據(jù)接近原理（刺激情境與合乎要求的反應(yīng)一起出現(xiàn)），精心創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的、有意義的問題情境，激活學(xué)生已有的知識經(jīng)驗和數(shù)學(xué)建?；顒咏?jīng)驗，為學(xué)生形成新的建模經(jīng)驗做好知識準(zhǔn)備和經(jīng)驗準(zhǔn)備。

教師先出示一個釘子板，告訴學(xué)生釘子板上相鄰兩個釘子之間相距1厘米，然后在釘子板上用毛線圍一個規(guī)則的多邊形（如梯形），引導(dǎo)學(xué)生嘗試說出多邊形的面積。有的學(xué)生開始計算多邊形的面積，有的學(xué)生開始用公式或割補(bǔ)法計算多邊形的面積，有的學(xué)生有點(diǎn)懵懂無知……當(dāng)他們還沒有結(jié)果時，教師隨手寫出一個數(shù)字，問學(xué)生答案是否正確。等了一會兒，才有個別速度快的學(xué)生認(rèn)可了教師的答案。多數(shù)學(xué)生很驚訝，有個別學(xué)生認(rèn)為那個圖形是老師圍的，也許老師事先計算過。于是，教師現(xiàn)場指定學(xué)生在釘子板上圍一個任意多邊形，并且告訴學(xué)生：為了研究方便，可以用點(diǎn)陣圖代替釘子板圍多邊形。教師隨即把學(xué)生所圍圖形畫到點(diǎn)陣圖上（圖1），再引導(dǎo)學(xué)生自主探究它的面積，自己故意等會兒說出答案。

學(xué)生們好不容易才得到結(jié)果，但教師的答案不但迅速而且正確，他們的疑問隨即產(chǎn)生——老師怎么這么快？難道老師有秘密“武器”？

學(xué)生曾有過用點(diǎn)陣圖探究不同多邊形之間面積關(guān)系的經(jīng)歷，并積累了一些用點(diǎn)陣圖建模的經(jīng)驗。創(chuàng)設(shè)師生比賽的情境，能有效激活學(xué)生已有的知識經(jīng)驗和建模經(jīng)驗；比較師生的面積結(jié)果后，學(xué)生的好奇心就會發(fā)生作用，就能有效激發(fā)他們的探究欲望。因此，引導(dǎo)學(xué)生在嘗試比較中發(fā)現(xiàn)真實、可靠的問題背景，有助于把學(xué)生的思維接近要建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，從而為學(xué)生積累新的建模經(jīng)驗奠定有效基礎(chǔ)。

二、猜測驗證中形成建模經(jīng)驗

根據(jù)直覺感知進(jìn)行猜測和驗證是學(xué)生最常用的探究方法之一。直覺感知越豐富，學(xué)生所形成的表象越具體，就越容易構(gòu)建數(shù)學(xué)模型?！皵?shù)學(xué)首先是猜想，然后才是證實?！睂W(xué)生的合理猜想都是他們積極思維的結(jié)果，他們?yōu)榱蓑炞C自己的猜想是否正確，往往會積極思維、主動探究。因此，教師要有的放矢地引導(dǎo)學(xué)生在猜想和驗證中經(jīng)歷知識的形成過程，促使學(xué)生形成新的建模經(jīng)驗。

教師指著師生競賽的圖形引導(dǎo)學(xué)生說說想研究的內(nèi)容時，有的想探究教師知道多邊形面積的“秘密”，有的想探究釘子板上多邊形的面積與什么有關(guān)……猜測影響多邊形面積的因素時，有的學(xué)生根據(jù)直覺認(rèn)為多邊形面積和釘子總數(shù)有關(guān)，有的學(xué)生根據(jù)直覺認(rèn)為多邊形面積和它邊上的釘子數(shù)有關(guān)，有的學(xué)生根據(jù)直覺認(rèn)為多邊形面積和它內(nèi)部的釘子數(shù)有關(guān)。教師出示四個圖形（如圖2）后，學(xué)生通過直接根據(jù)多邊形面積公式計算（多邊形①②④）

或者把圖形割補(bǔ)計算（多邊形③），或者用計數(shù)等方法得出它們的面積分別是2平方厘米、3平方厘米、3.5平方厘米和4平方厘米。師生一起數(shù)出多邊形邊上的釘子數(shù)分別是4枚、6枚、7枚和8枚時，有些眼疾手快的學(xué)生邊數(shù)邊猜測多邊形面積和它邊上的釘子數(shù)之間可能有聯(lián)系。經(jīng)過討論和交流，大家發(fā)現(xiàn)了多邊形的面積=多邊形邊上的釘子數(shù)÷2，如果用n表示多邊形邊上釘子數(shù)，用S表示多邊形面積，它們的關(guān)系就是S=n÷2。初步構(gòu)建模型水到渠成。應(yīng)用模型時，教師要求學(xué)生各自在點(diǎn)陣圖中畫圖驗證，學(xué)生發(fā)現(xiàn)所構(gòu)建的模型只適用于某些圖形（如圖3中的多邊形③），但對圖3中其它多邊形不適用。反思觀察圖2時，

學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖中的多邊形內(nèi)都只有一枚釘子，圖3中“模型失靈”的多邊形內(nèi)至少有2枚釘子，而多邊形③內(nèi)只有一枚釘子，因此，模型適用。學(xué)生由此想到了所構(gòu)建模型的前提條件——多邊形內(nèi)的釘子數(shù)只有1枚。即a=1時，S=n÷2（a表示多邊形內(nèi)的釘子數(shù)）。

在猜測驗證的探究過程中，學(xué)生不但構(gòu)建了一個結(jié)論性模型S=n÷2，而且構(gòu)建了一個探究的過程性模型——用猜想驗證進(jìn)行探究的活動程序和方法模型，并在應(yīng)用模型的過程中發(fā)現(xiàn)了所構(gòu)建模型的局限性。這樣，學(xué)生就初步形成了一個新的建模經(jīng)驗——應(yīng)用猜測驗證的方法進(jìn)行探究有助于構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，但構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型可能會有一定的前提條件。

三、類比歸納中提升建模經(jīng)驗

法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯認(rèn)為，“在數(shù)學(xué)里發(fā)現(xiàn)真理的工具也是歸納和類比。”歸納推理是從個別到一般、從實驗事實到理論的一種推理方法；類比推理是由特殊到特殊的一種推理方法。這兩種推理方法都是學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的重要方法。教師可以根據(jù)教學(xué)需要，充分應(yīng)用重復(fù)原理（要使學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)步并且長期保持，刺激和它的反應(yīng)需要重復(fù)），引導(dǎo)學(xué)生在類比和歸納中“重復(fù)”經(jīng)歷模型的構(gòu)建過程，促進(jìn)學(xué)生提升數(shù)學(xué)建?；顒咏?jīng)驗。

學(xué)生觀察圖3中多邊形內(nèi)有2枚釘子的圖形后，通過計算發(fā)現(xiàn)：多邊形④邊上的枚子數(shù)是8，面積是5平方厘米；多邊形⑤邊上的枚子數(shù)是4，面積是3平方厘米；多邊形⑥邊上的枚子數(shù)是3，面積是2.5平方厘米。學(xué)生根據(jù)剛構(gòu)建的過程性模型和結(jié)論性模型很快類推出a=2時，S=（n+2）÷2或S=n÷2+1。師生在討論中把它們統(tǒng)一成“a=2時，S=n÷2+1”。分組探究多邊形內(nèi)有3枚、4枚和5枚釘子，它們的面積與邊上釘子數(shù)的關(guān)系時，學(xué)生很快通過類比發(fā)現(xiàn)：a=3時，S=n÷2+2；a=4時，S=n÷2+3；a=5時，S=n÷2+4。隨后，學(xué)生又類比出：a=6時，S=n÷2+5；a=10時，S=n÷2+9；a=100時，S=n÷2+99；a=0時，S=n÷2-1。最終，學(xué)生借助歸納，構(gòu)建出統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型——S=n÷2+a-1。

構(gòu)建“S=n÷2+1”的模型時，學(xué)生形成的建模經(jīng)驗是多邊形的面積不僅和它邊上的釘子數(shù)有關(guān)，而且與它內(nèi)部的釘子數(shù)也有關(guān)；類比構(gòu)建新模型的過程是學(xué)生“重復(fù)”建模的過程，也是學(xué)生“重復(fù)”形成建模經(jīng)驗的過程。隨著建模經(jīng)驗的逐漸增多，學(xué)生最終借助歸納構(gòu)建了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型S=n÷2+a-1，從而有效提升了建?；顒咏?jīng)驗——構(gòu)建的模型形式似乎不同，但本質(zhì)一致。

四、反思內(nèi)化中強(qiáng)化建模經(jīng)驗

學(xué)生不斷形成的數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗具有個體性特點(diǎn)，只有他們積極對自己的個體體驗進(jìn)行反思和交流才能有效內(nèi)化和積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。因此，教師要恰當(dāng)應(yīng)用強(qiáng)化原理（在新的行為學(xué)習(xí)后出現(xiàn)令人滿意的事態(tài)伴隨其后，學(xué)習(xí)效果會增強(qiáng)），為學(xué)生留足充分反思、交流、總結(jié)和拓展的時間，讓學(xué)生在反思知識的形成過程后及時交流，并適當(dāng)評價，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)生碰撞，幫助學(xué)生把零散、未經(jīng)提煉的個體活動體驗在內(nèi)化中有效實現(xiàn)條理化和顯性化，達(dá)到幫助學(xué)生強(qiáng)化建模活動經(jīng)驗的目的。

總結(jié)時，教師先引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用所構(gòu)建的模型解決圖1中多邊形面積的問題（5平方厘米），提高學(xué)生學(xué)以致用的能力，并適當(dāng)評價，接著用課件介紹“皮克定理”，鼓勵學(xué)生課后通過上網(wǎng)或閱讀繼續(xù)探究，再引導(dǎo)學(xué)生回顧建模過程，交流學(xué)習(xí)收獲。學(xué)生回顧自己從簡單問題入手，通過畫、數(shù)、算等方法在探究中構(gòu)建模型、統(tǒng)一模型的過程，有助于他們在自主反思和回顧交流中，把自己探究過程中所形成的建模經(jīng)驗數(shù)學(xué)化，促使學(xué)生在個體經(jīng)驗內(nèi)化過程中有效強(qiáng)化。

總之，學(xué)生建?；顒咏?jīng)驗的積累，是他們不斷經(jīng)歷和體驗各種數(shù)學(xué)活動過程的結(jié)果，是他們不斷“做”數(shù)學(xué)和“思考”數(shù)學(xué)的結(jié)果。教師有的放矢地創(chuàng)設(shè)與預(yù)期教學(xué)目標(biāo)接近的情境，引導(dǎo)學(xué)生在探究中充分經(jīng)歷建模過程、形成建模經(jīng)驗，并且有的放矢地促進(jìn)學(xué)生對形成的經(jīng)驗進(jìn)行必要“重復(fù)”、反思和內(nèi)化，有助于學(xué)生積累建?；顒咏?jīng)驗。