李寅芳　王　倩

(1.華南師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510631；2.北京師范大學(xué)教育學(xué)部，北京 100875)

中美小學(xué)數(shù)學(xué)教材有關(guān)“真實問題解決”編寫比較

李寅芳1王倩2

(1.華南師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510631；2.北京師范大學(xué)教育學(xué)部，北京 100875)

[摘要]問題解決是當(dāng)今國際數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重點和熱點問題，受到世界各國數(shù)學(xué)界的關(guān)注。為了解新課改背景下我國與美國數(shù)學(xué)教材中“真實問題解決”的異同及特色，本文選取人教版和美國加州版四年級數(shù)學(xué)教材，分析了“真實世界問題解決”模塊在學(xué)段目標(biāo)、背景素材、內(nèi)容編排和文本表征上的編寫特點。結(jié)果顯示：加州版課程目標(biāo)設(shè)置更具體，取材領(lǐng)域廣泛，知識點安排超前，尤其是實景圖的表征更契合學(xué)生生活和年齡特點。這為我國小學(xué)數(shù)學(xué)教材建設(shè)和一線教師用書提供一定的借鑒和參考價值。

[關(guān)鍵詞]加州版；人教版；數(shù)學(xué)教材；真實世界問題解決；編寫比較

一、比較背景：數(shù)學(xué)教材中的“問題解決”(problem solving)模塊備受關(guān)注

問題解決是當(dāng)今國際數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重點和熱點問題，受到世界各國數(shù)學(xué)界的關(guān)注。在新世紀(jì)國際課改的大背景下，中外各版本數(shù)學(xué)教材尤其強調(diào)以“問題情景”為切入點，課程目標(biāo)特別突出以解決數(shù)學(xué)問題、發(fā)展學(xué)生各類數(shù)學(xué)思維為主要內(nèi)容，如批判性思維、抽象邏輯思維、空間思維等。[1]問題解決是當(dāng)前美國數(shù)學(xué)教育的核心部分，如美國加州版小學(xué)數(shù)學(xué)教材[2]中問題解決占據(jù)教材版面的25%以上，發(fā)現(xiàn)問題、解決問題貫穿學(xué)習(xí)內(nèi)容的始終。英國把問題解決看作是一種良好的教學(xué)模式和指導(dǎo)思想，而日本和新加坡把問題解決納入教學(xué)大綱中。以上各國頒布的文件和召開的會議也都側(cè)重數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“問題解決”，足見其在數(shù)學(xué)教育中的重要地位。

二、概念界定：真實世界問題解決

1.數(shù)學(xué)問題解決是涉及大量學(xué)習(xí)過程和策略的一種復(fù)雜的認(rèn)知活動

蒙塔格(Montague，2006)將數(shù)學(xué)問題解決定義為問題呈現(xiàn)和問題執(zhí)行的過程，強調(diào)問題要以恰當(dāng)?shù)男问匠尸F(xiàn)。[3]因為恰當(dāng)?shù)膯栴}呈現(xiàn)暗含著學(xué)習(xí)者理解將要解決的問題，教師能成功地引導(dǎo)學(xué)生制定解決問題的計劃。而梅爾(Mayer，2003)認(rèn)為數(shù)學(xué)問題解決包括讀問題、整合信息、制定和執(zhí)行計劃四個認(rèn)知過程。學(xué)校數(shù)學(xué)課程的重點是數(shù)學(xué)問題生活化，即在真實的日常生活環(huán)境和故事性問題中，按由簡單到復(fù)雜的順序呈現(xiàn)“最常見的問題解決形式”，而包含故事性生活背景的數(shù)學(xué)問題對兒童更具挑戰(zhàn)性。[4]

2.用認(rèn)知模型詮釋數(shù)學(xué)問題解決的過程

數(shù)學(xué)問題的解決需協(xié)調(diào)好認(rèn)知與元認(rèn)知的過程，它涉及總結(jié)問題信息(要求去做什么)、定義和澄清問題(已知和困惑)、呈現(xiàn)問題(感覺是什么類型的問題)、擬定問題解決的方法(哪種方法在起作用)。[5]

詹妮弗(Jennifer)基于梅爾(Mayer)設(shè)計的數(shù)學(xué)問題解決模型以及蒙塔古(Montague)等人經(jīng)過一系列成功問題解決的實驗研究所證實的七種認(rèn)知過程，在其有關(guān)問題呈現(xiàn)和問題解決的論文研究中對數(shù)學(xué)問題解決做了一個明確的范圍界定，他認(rèn)為數(shù)學(xué)的問題解決涉及問題的解讀、問題的分析和整合、解決方案的制定、方案的執(zhí)行四個基本階段。它強調(diào)問題呈現(xiàn)對問題解決所起的關(guān)鍵作用，正如西爾弗(Silver)在2000年國際數(shù)學(xué)教師委員會提出的問題呈現(xiàn)是學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)問題必不可少的條件[6]。

綜上所述，雖然各學(xué)者對問題解決的定義有所不同，但是基本上涉及發(fā)現(xiàn)問題、呈現(xiàn)問題、解決問題三個部分。根據(jù)研究的需求，筆者認(rèn)為真實世界問題解決(Real-World Problem Solving)不是簡單地解決一個數(shù)學(xué)問題，而是強調(diào)在現(xiàn)實生活中發(fā)現(xiàn)、澄清并解決數(shù)學(xué)問題的過程，促成知識的應(yīng)用和創(chuàng)造。

本文選取了我國人民教育出版社出版的(簡稱人教版[7])和美國加州版[2]四年級數(shù)學(xué)教材，基于“真實世界問題解決”模塊的梳理，本文將從課程學(xué)段目標(biāo)、背景素材的選取、內(nèi)容編排、文本表征方式四方面進行比較研究，希望對數(shù)學(xué)教材建設(shè)和一線教師教學(xué)工作能有所幫助。

三、比較維度

1.課程目標(biāo)的比較

小學(xué)數(shù)學(xué)涉及數(shù)與代數(shù)、空間與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐四大學(xué)習(xí)領(lǐng)域。為了研究的便利，僅以四年級“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域為例，透過課程目標(biāo)、內(nèi)容展示和能力頻數(shù)，分析兩版本教材在問題解決能力要求上的差異。分析結(jié)果表明：在課程目標(biāo)上，我國對問題解決能力的描述較為模糊，無年級上的區(qū)別；而美國加州對此描述詳細(xì)具體，有年級界限和實例。在內(nèi)容展示上，加州版超前引入“代數(shù)”、“負(fù)數(shù)”的學(xué)習(xí)，對學(xué)生思維能力要求更高。在能力頻數(shù)中，加州版注重培養(yǎng)學(xué)生掌握和應(yīng)用知識的能力；而我國則傾向關(guān)注學(xué)生各方面能力的均衡發(fā)展(具體內(nèi)容如表1)。

表1　兩版本教材在問題解決能力要求上的差異

2.背景素材選取的比較

圖1　加州版出租車的收費標(biāo)準(zhǔn)

本文將真實世界問題解決的背景素材分為三種類型，即各學(xué)科背景、生活背景以及數(shù)據(jù)檔案。兩版本在背景素材的選取上都注重生活背景，尤其是社會生活部分。人教版題材選取的領(lǐng)域比較單一，而加州版更關(guān)注各學(xué)科背景和數(shù)據(jù)檔案的取材，詳見表2。

(1) 相同點：都注重生活背景，尤其是社會生活部分的選材。由表二可以看出兩版本在“真實世界問題解決”背景素材的選取上都注重生活背景，尤其是社會生活部分(表2)，如加州版的出租車的收費標(biāo)準(zhǔn)(圖1)和人教版的春游租車活動(圖2)有著驚人的巧合。

表2　兩版本教材有關(guān)“真實世界問題解決”背景素材選取的明細(xì)

圖1呈現(xiàn)的問題是用右邊出租車收費標(biāo)準(zhǔn)列方程解決20，25，30英里要付多少錢？這是用列方程法解決乘車費用的問題，同時包含對美元、英里的認(rèn)識。素材來源于學(xué)生日常乘出租車的經(jīng)歷，關(guān)注學(xué)生日常的生活經(jīng)驗，有助于解決數(shù)學(xué)知識在交通問題上的應(yīng)用問題。

圖2　人教版春游租車活動收費標(biāo)準(zhǔn)

圖2是用四則混合運算解決春游中租車問題。素材同樣是選取學(xué)生最喜愛的春游活動，在這種真實場景中去解決真實的問題——哪一種租車方式最劃算，貼近學(xué)生的實際經(jīng)歷，從小培養(yǎng)學(xué)生的理財能力。

兩版本都注重數(shù)學(xué)與學(xué)生實際生活的聯(lián)系，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)不僅在自己身邊，還可以用數(shù)學(xué)解決生活中的實際問題。通過將數(shù)學(xué)問題解決與真實世界聯(lián)系在一起，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)作為一種生活工具的同時，也鍛煉了學(xué)生的思維能力，幫助學(xué)生從生活中發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問題，將數(shù)學(xué)知識與方法遷移到真實的生活情景中去。

(2) 不同點：人教版題材選取的領(lǐng)域比較狹窄、類型單一；加州版選材更廣泛，側(cè)重各學(xué)科背景和數(shù)據(jù)檔案的取材。美國加州版“真實世界問題解決”模塊不僅注重選取與學(xué)生息息相關(guān)的生活背景，也特別關(guān)注各學(xué)科背景和數(shù)據(jù)檔案。美國加州版四年級教材有關(guān)真實世界問題解決的生活背景占48%(29/61)，各學(xué)科背景占36%(22/61)，數(shù)據(jù)檔案背景占16%(10/61)。而人教版關(guān)于真實問題解決題材選取的領(lǐng)域比較單一，大都來源于生活背景，很少涉及其他的學(xué)科領(lǐng)域，忽視數(shù)據(jù)檔案背景。因此加州版背景素材的選取比人教版更具廣泛性。素材選取的廣泛性一方面可激起不同層次學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，這是因為考慮到了不同的背景材料可以照顧到學(xué)生的個體差異性，幫助學(xué)生找到自己喜歡的領(lǐng)域，拓寬學(xué)生的知識面和視野；另一方面可淡化學(xué)科的界線，增強數(shù)學(xué)學(xué)科的綜合性。

3.內(nèi)容編排的比較

內(nèi)容編排是指某一具體的內(nèi)容在教材中的編寫和安排方式。[9]本文從“真實問題解決”在教材中的安排方式及其內(nèi)容所涉及的知識點兩個方面對兩套教材中“問題解決”內(nèi)容編排進行分析比較。

(1) 在教材中的安排方式。一是在整個教材中的安排方式。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級教材一般把現(xiàn)實世界的問題解決放在每節(jié)課的“課后練習(xí)”和“生活中的數(shù)學(xué)”這兩個部分，并與其他的模塊混合在一起(如計算、數(shù)學(xué)思考等)，主要是對每個課時所涉及的重點知識進行鞏固、應(yīng)用和提升；而美國加州版教材是在每節(jié)課的習(xí)題后加上真實世界的問題解決(Real-World Problem Solving)，并且把它作為一個單獨的模塊編排進教材中。加州版教材這樣處理這一模塊的原因大概有：突出Real-World Problem Solving(真實世界的問題解決)的重要地位；作為課外積累數(shù)學(xué)小知識的重要來源(Data File)；強調(diào)數(shù)學(xué)在真實生活世界中的應(yīng)用；復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)的知識。二是在自身特色欄目中的安排方式。小學(xué)數(shù)學(xué)四年級教材一共有16章，每章包括3～6個“Real-World Problem Solving”，每個真實世界的問題解決的左邊都包含主題詞(Science/Art/Technology等)，主題詞后有提示語，提示語下有2～5個問題。其右邊是真實世界的主題圖，常包含問題解決中的信息和線索，如圖3真實世界的問題解決的主題詞是技術(shù)，其后的提示語告訴學(xué)生右邊的電腦桌面顯示的是四種常用的網(wǎng)絡(luò)語言，提示語下呈現(xiàn)幾個問題：網(wǎng)上哪一種語言應(yīng)用最廣泛；網(wǎng)上較少用日語還是西班牙語？右邊是一臺電腦，電腦桌面里有四種網(wǎng)絡(luò)語言的用戶數(shù)量。

圖3　加州版四種流行的網(wǎng)絡(luò)語言用戶數(shù)量調(diào)查

圖4　人教版體檢時間的優(yōu)化問題

這些突出真實世界的問題解決編排非常詳細(xì)、有序，但真實世界的問題解決的主題詞分類不明確，易造成混淆，如希臘的萬神廟是古建筑中的經(jīng)典，其主題詞不是“建筑”卻為“社會科學(xué)”。而人教版的編排相對而言就顯得比較簡潔，如圖4體檢時間的優(yōu)化問題只有問題和5張圖片。

問題：三位同學(xué)要去量身高、驗視力，每項檢查都要3分鐘，他們至少要用多長時間能做完這些檢查？

(2) 內(nèi)容所涉及的知識點。按照“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“概率與統(tǒng)計”、“綜合與實踐”四個領(lǐng)域，通過梳理兩版本四年級教材共同的知識點和不同點，以表格的形式呈現(xiàn)，詳見表3。

表3　兩版本教材知識點安排

兩版本教材在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何兩個領(lǐng)域涉及了相同的知識點。加州版該模塊的內(nèi)容涉及四大領(lǐng)域的每個知識點，且方程與解方程的內(nèi)容比人教版提前。人教版只涉及數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何領(lǐng)域中的部分知識點。由此可見，加州版比人教版在該模塊所涉及的知識點范圍更廣闊。

4.文本表征方式的比較

加州版更貼近真實世界、學(xué)生生活。中國《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)教材編寫建議中指出“教材的編寫要體現(xiàn)可讀性，對于第二學(xué)段的學(xué)生因他們具備了一定的文字理解和表達能力，所以教材的呈現(xiàn)應(yīng)在運用學(xué)生感興趣的圖片、表格、文字等形式的同時，逐漸增加數(shù)學(xué)語言的比重”。[1]美國的NCTM標(biāo)準(zhǔn)對表征方式的要求與中國的基本一致，并且在教材中的呈現(xiàn)比人教版體現(xiàn)得更為簡潔、明了、重點突出。如圖5和圖6分別選自加州版“四國道路的長度”和人教版“八大行星與太陽的距離”，兩圖的知識點都涉及對大數(shù)的認(rèn)識、大小比較問題。圖5用文字、表格、圖片、數(shù)字描述了法國、加拿大、西班牙和俄羅斯四國道路的長度，為問題解決提供直觀的材料。而圖6采用同樣的四種表征方式描述了八大行星到太陽的平均距離，為標(biāo)出各行星的名稱提供直觀的材料。不同點在于加州版的圖像表征都采用真實世界的實景圖，無論是動物、食物、建筑還是人物都真實的、具體的；而人教版圖片大都采用素描畫、卡通畫，如圖4中的學(xué)生和醫(yī)生都是一般化象征。因此加州版教材在圖像表征上比人教版更真實、具體。

圖5　加州版四國道路的長度問題

問題：根據(jù)各行星到太陽的平均距離，分別寫出它們的名稱。

行星到太陽的平均距離/千米火星227940000天王星2870990000地球149600000金星108200000水星57910000木星778330000海王星4504000000土星1429400000

圖6八大行星與太陽的距離問題

四、啟示：重實用性、生活化，聚焦問題解決

真實世界問題解決生活化和實用性的區(qū)別在于：美國教材將問題解決置于真實生活的場景中；中國教材側(cè)重學(xué)生綜合自己所學(xué)的知識去解決真實世界中的問題。

1.真實世界問題解決應(yīng)注重實用性

將各學(xué)科知識融合進數(shù)學(xué)學(xué)科真實世界的問題解決中，淡化學(xué)科的界線，增強數(shù)學(xué)學(xué)科的綜合性。小學(xué)四年級教材應(yīng)選取多元化的背景素材，尤其是各學(xué)科背景素材的引入增加了數(shù)學(xué)知識與其他學(xué)科之間的關(guān)聯(lián)性。2011年版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：數(shù)學(xué)的許多內(nèi)容與其他學(xué)科知識有著密切的聯(lián)系，隨著學(xué)習(xí)的深入，其他學(xué)科(自然科學(xué)、社會科學(xué)、人文科學(xué))的知識也就成為學(xué)生的“現(xiàn)實”。由于數(shù)學(xué)知識所具備的“基礎(chǔ)性”特征，使得我們在學(xué)習(xí)其他相關(guān)學(xué)科內(nèi)容時經(jīng)常遇到數(shù)學(xué)，或者在解決其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題時，經(jīng)常用到數(shù)學(xué)知識。因此，對某些特定的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容而言，學(xué)生已經(jīng)掌握的其他學(xué)科知識中存在一些相關(guān)內(nèi)容，可以成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的基礎(chǔ)、素材。在這樣的學(xué)習(xí)過程中，既可以加深對所學(xué)數(shù)學(xué)的理解，反過來也將促進學(xué)生對于數(shù)學(xué)是其他科學(xué)的語言和工具的理解。生活中處處都要用到數(shù)學(xué)，將各學(xué)科知識融合進數(shù)學(xué)學(xué)科真實世界的問題解決中還有助于增加學(xué)生知識的總量，增強對知識靈活運用的能力。

2.真實世界問題解決應(yīng)強調(diào)生活化

(1) 教材編寫可選取廣泛的生活素材，將問題解決置于真實世界中，貼近學(xué)生的實際生活，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

(2) 創(chuàng)設(shè)多元化的文本表征，可以將復(fù)雜抽象的問題轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生熟悉的、有意義、有趣味的問題。此外“通過多元表征對數(shù)學(xué)生活問題進行多樣化的解釋，有利于學(xué)生新舊知識的聯(lián)系，為構(gòu)建新的知識做好鋪墊，從而降低外在負(fù)荷，增加有效負(fù)荷，最終釋放學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的總認(rèn)知負(fù)荷，從而減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，提高學(xué)習(xí)的效率”[10]。

3.真實世界問題解決應(yīng)聚焦問題解決既是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，也是數(shù)學(xué)教師重要的教學(xué)方式

(1) 真實世界問題解決是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。問題解決不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個目的(在真實的世界中去解決真實的問題)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種主要方法(問題解決法)。

一方面，學(xué)生可以通過真實世界問題解決對數(shù)學(xué)形成新的認(rèn)識；另一方面，學(xué)生也在真實世界問題解決的過程中形成了新的能力，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。如美國教材中有關(guān)“money”問題解決，通過自設(shè)一個方程和解方程兩個問題，讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)就在自己的身邊，用方程解決自己工酬問題，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。同時也逐步培養(yǎng)學(xué)生的理財能力，提高學(xué)生的獨立生活能力。據(jù)美國Snagajob.com小時工網(wǎng)站做的一個統(tǒng)計：美國小學(xué)有三成多的學(xué)生暑假從事各種社會兼職，這正印證了加州版教材十分重視從小培養(yǎng)學(xué)生獨立生活能力的宗旨。

督促學(xué)生補充課外的數(shù)學(xué)小知識，提高學(xué)生在平時生活中積累數(shù)學(xué)知識的意識。加州版四年級數(shù)學(xué)教材一共有16章，每一章的真實世界的問題解決(Real-World Problem Solving)基本上都包括一個數(shù)據(jù)檔案(Data File)，如第一章數(shù)據(jù)檔案所展現(xiàn)出來的數(shù)字卡片(Data Card)有鯨魚的種類(藍(lán)鯨，灰鯨，駝背鯨及虎鯨)、遷徙距離及數(shù)量，又有對灰鯨的介紹和兩個排序問題(由遠(yuǎn)及近排列各鯨魚的遷移距離；由小到大排列各鯨魚的數(shù)量)。如果學(xué)生在平常生活中已積累了一些有關(guān)鯨魚的常識，將使兩個排序問題變得更加簡單，同時也加深了對“億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”。這就提示學(xué)生在課外多補充、多積累有關(guān)鯨魚的數(shù)學(xué)知識。

(2) 真實世界問題解決也是數(shù)學(xué)教師重要的教學(xué)方式。小學(xué)數(shù)學(xué)教師通過“真實世界問題解決”這一專題欄目，將數(shù)學(xué)知識與學(xué)生真實的實際生活緊密聯(lián)系在一起，在學(xué)生解決真實世界問題的過程中滲透有用的數(shù)學(xué)知識，因此真實世界問題解決也是數(shù)學(xué)教師重要的教學(xué)方式。

[參 考 文 獻]

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[責(zé)任編輯：江桂珍]

[收稿日期]2015-10-13

[作者簡介]李寅芳(1990-)，女，湖南邵陽人，碩士研究生；王倩(1993-)，女，湖南懷化人，碩士研究生。

[中圖分類號]G40-059.3

[文獻標(biāo)志碼]A

[文章編號]1002-1477(2016)06-0113-06

教育比較[DOI]10.16165/j.cnki.22-1096/g4.2016.06.030