劉燕斌 陳晉榮 趙陳闖

摘 要：汽車在運(yùn)動的過程中，由于側(cè)向力的作用和輪胎彈性側(cè)偏的影響，轉(zhuǎn)向系的內(nèi)外車輪很難滿足阿克曼轉(zhuǎn)角關(guān)系，本文基于MATLAB的優(yōu)化工具箱，通過對轉(zhuǎn)向車輪幾何運(yùn)動的分析，推導(dǎo)出理論和實(shí)際內(nèi)、外輪轉(zhuǎn)向角之間的關(guān)系式，建立某一時刻下的實(shí)際轉(zhuǎn)角與理論轉(zhuǎn)角之差的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并以此為優(yōu)化目標(biāo)，在相應(yīng)的約束條件下，計(jì)算出車輛最佳的轉(zhuǎn)向梯形參數(shù)。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)向系；MATLAB；優(yōu)化；轉(zhuǎn)向梯形

轉(zhuǎn)向系是用來保持或改變汽車行駛方向的機(jī)構(gòu)，轉(zhuǎn)向性能的好壞，對汽車的操縱穩(wěn)定性有顯著的影響，在轉(zhuǎn)向系的設(shè)計(jì)中，無論采用的是整體式轉(zhuǎn)向梯形還是斷開式轉(zhuǎn)向梯形，都應(yīng)該滿足汽車在轉(zhuǎn)彎時，保證全部車輪繞一個瞬時轉(zhuǎn)向中心行駛，使在不同圓周上運(yùn)動的車輪，做無滑動的純滾動運(yùn)動。同時，為達(dá)到總體布置要求的最小轉(zhuǎn)彎直徑，轉(zhuǎn)向輪應(yīng)滿足有足夠大的轉(zhuǎn)角。[ 1 ]

在傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，通常采用的是圖解法和解析法進(jìn)行設(shè)計(jì)，然而圖解法的設(shè)計(jì)誤差較大，而解析法的計(jì)算量大，這種方法不僅增加了研發(fā)成本，而且設(shè)計(jì)的精度也很難達(dá)到用戶要求。

優(yōu)化設(shè)計(jì)是20世紀(jì)60年代開始形成并迅速發(fā)展的一門新興學(xué)科，它是以數(shù)學(xué)規(guī)劃法為理論基礎(chǔ)，以電子計(jì)算機(jī)為計(jì)算工具，尋求在滿足規(guī)定的工作條件、載荷和工藝要求，并在強(qiáng)度、剛度、工藝、壽命、尺寸、范圍以及其他一些技術(shù)要求的限制條件下，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的一種現(xiàn)代化設(shè)計(jì)方法。[ 2 ]

本文運(yùn)用MATLAB優(yōu)化工具箱相應(yīng)的優(yōu)化函數(shù)，以影響轉(zhuǎn)向梯形對應(yīng)的參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，建立某一時刻下的實(shí)際轉(zhuǎn)角與理論轉(zhuǎn)角之差的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并以此為優(yōu)化目標(biāo)，在相應(yīng)的約束條件下，通過迭代運(yùn)算，計(jì)算出車輛最佳的轉(zhuǎn)向梯形參數(shù)，從而使外側(cè)車輪實(shí)際轉(zhuǎn)角和理論轉(zhuǎn)角誤差最小。

1整體式轉(zhuǎn)向梯形的數(shù)學(xué)建模

1.1阿克曼理論以及阿克曼轉(zhuǎn)向特性

汽車在直線行駛和轉(zhuǎn)彎時，每一個車輪的軸線都應(yīng)相較于后軸延長線上的某一點(diǎn)（轉(zhuǎn)向中心），這樣才能保證輪胎與地面間處于純滾動而無滑動的現(xiàn)象。

阿克曼理論轉(zhuǎn)向特性的模型做個兩個基本假設(shè)：1）忽略前輪定位角的影響，并且行駛系的各個構(gòu)件均為剛性連接。2）汽車行駛過程中無側(cè)向力。其示意圖如圖1所示。

阿克曼理論轉(zhuǎn)向特性的特點(diǎn)為：1）汽車直線行駛時，四個車輪的軸線都相互平行，而且垂直于汽車的縱向中心面；2）汽車在轉(zhuǎn)向行駛的過程中，車輪都必須繞一個瞬時中心點(diǎn)做圓周滾動，而且前內(nèi)輪與前外輪的轉(zhuǎn)角應(yīng)滿足下面關(guān)系式：[ 3 ]

1.2實(shí)際的轉(zhuǎn)向系內(nèi)外車輪轉(zhuǎn)角關(guān)系

汽車在實(shí)際的運(yùn)動過程中，由于受到彈性輪胎側(cè)偏角的影響，現(xiàn)有的轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)僅能近似的滿足1-1所示的阿克曼轉(zhuǎn)角關(guān)系式，所以以圖2所示的轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)為例，利用余弦定理推導(dǎo)出轉(zhuǎn)向梯形在內(nèi)轉(zhuǎn)向輪轉(zhuǎn)過某一角度時實(shí)際外側(cè)車輪轉(zhuǎn)角？茲i′的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

汽車轉(zhuǎn)向梯形的實(shí)際運(yùn)動簡圖如圖二所示，其中α為內(nèi)側(cè)車輪偏轉(zhuǎn)的角度，β為外側(cè)車輪相應(yīng)的轉(zhuǎn)向角， ？酌0為梯形底角的布置角，那么90o-？酌i為轉(zhuǎn)向梯形底角，m為轉(zhuǎn)向臂在水平面的投影長度，b為轉(zhuǎn)向橫拉桿的長度，？酌為轉(zhuǎn)向傳動角。為了計(jì)算方便，做輔助線E1C，連接E1B，設(shè)E1B的長度為N。

由1-6式可知，當(dāng)汽車的前輪距M已知時，影響外轉(zhuǎn)向輪的轉(zhuǎn)角的因素為轉(zhuǎn)向梯形的底角90o-？酌0，和梯形臂長度m，因此在設(shè)計(jì)過程中，常選擇m和？酌0為設(shè)計(jì)變量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2 整體式轉(zhuǎn)向梯形的機(jī)構(gòu)優(yōu)化分析

2.1 設(shè)計(jì)變量

由1-4公式可以看出，影響β大小的因素為m和？酌0，因此，在優(yōu)化過程中，優(yōu)化變量設(shè)為X：

2.2 目標(biāo)函數(shù)

汽車在轉(zhuǎn)向運(yùn)動時，為了避免路面對汽車行駛的附加阻力輪胎的快速磨損，要求轉(zhuǎn)向系統(tǒng)能保證汽車在轉(zhuǎn)彎時所有的車輪均作純滾動。顯然這只有在所有車輪的軸線都交于一點(diǎn)時才能實(shí)現(xiàn)，因此要求內(nèi)側(cè)車輪轉(zhuǎn)動一個角度時，外側(cè)轉(zhuǎn)向輪的理論和實(shí)際轉(zhuǎn)角誤差最小，所以目標(biāo)函數(shù)可以表示為：

2.3 約束條件

2.3.1滿足機(jī)構(gòu)傳力性能要求

由圖可知，轉(zhuǎn)向梯形在工作的過程中，可以簡化為平面四連桿機(jī)構(gòu)，由機(jī)械原理可知，為了評價四連桿機(jī)構(gòu)的傳力性能的好壞，我們常用傳動角作為其評價指標(biāo)。

在機(jī)構(gòu)的運(yùn)動過程中，傳動角？酌的大小是變化的，為了保證機(jī)構(gòu)有良好的傳力性能，傳動角？酌不宜過小，通常？酌？芏40o， 對于那些受力很小或不常使用的操縱機(jī)構(gòu)，則可以允許傳動角小些，只要不發(fā)生自鎖即可。[ 4 ]

由分析可得，當(dāng)內(nèi)側(cè)車輪的偏角最大時，轉(zhuǎn)向梯形的傳動角最小，如圖2所示，根據(jù)幾何關(guān)系，傳動角的表達(dá)式為：

在△E1F1B中以及△AF1B中，由余弦定理可得：

2.3.2轉(zhuǎn)向梯形的布置角和臂長的確定

3.2 計(jì)算實(shí)例

以某型汽車轉(zhuǎn)向前橋?yàn)槔?，已知?shù)據(jù)：L=4430mm，M=2150mm，m=2360mm。根據(jù)以上理論可在matlab中編寫以下程序進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

3.3優(yōu)化結(jié)果

運(yùn)行主函數(shù)，可以得到以下優(yōu)化結(jié)果和圖解，如圖3所示。

從圖3中可以看出，在轉(zhuǎn)角0-35o的范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)向梯形決定的實(shí)際轉(zhuǎn)向曲線與理論阿克曼曲線總體是重合的，說明優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型是可行的，從優(yōu)化的結(jié)果可以看出，外側(cè)車輪的實(shí)際和理論誤差最大為0.44o，這在工作的過程中是可以接受的，最終設(shè)計(jì)的優(yōu)化變量的最優(yōu)解為？酌0=20o，m=322.5mm但在實(shí)際的設(shè)計(jì)過程中，還需要對優(yōu)化的結(jié)果進(jìn)行圓整，同時還要考慮到總體布置的要求和工藝的限值。

4 總結(jié)

整體式轉(zhuǎn)向梯形的優(yōu)化設(shè)計(jì)屬于非線性優(yōu)化求解的問題，本文通過對整體式轉(zhuǎn)向梯形的數(shù)學(xué)建模，找出轉(zhuǎn)向輪內(nèi)外車輪的轉(zhuǎn)角關(guān)系，當(dāng)內(nèi)側(cè)車輪偏轉(zhuǎn)一個角度時，以理論外側(cè)車輪與實(shí)際外側(cè)車輪轉(zhuǎn)角誤差為目標(biāo)函數(shù)，利用Matlab工具箱的fmincon函數(shù)求目標(biāo)函數(shù)的最小值，找出設(shè)計(jì)變量的最優(yōu)解。通過優(yōu)化設(shè)計(jì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)梯形的布置角為0=20o時，轉(zhuǎn)向梯形臂長m=322mm時，此時能使汽車內(nèi)外車輪滑移量最小，在滾動的過程中盡可能的做純滾動運(yùn)動，減小了輪胎的磨損，從而使汽車有良好的轉(zhuǎn)向特性。

參考文獻(xiàn)：

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[3] 陳家瑞.汽車構(gòu)造.第四版.人民交通出版社，2009，2.

[4] 孫恒.機(jī)械原理.第七版.人民交通出版社，2006，5.

[5] 蘇金明.MATLAB工程數(shù)學(xué).電子工業(yè)出版社，2005，8.

作者簡介：劉燕斌（1991—），男，長安大學(xué)汽車學(xué)院碩士研究生，車輛工程專業(yè)。