金曉燦 王海俠 張麗琴

【摘要】線性方程組是線性代數(shù)的核心，但是傳統(tǒng)的教學(xué)法重理論、輕應(yīng)用，不利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.本文從求解線性方程組的不同方法入手介紹線性方程組課堂教學(xué)的幾個(gè)典型應(yīng)用案例，培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.

【關(guān)鍵詞】線性方程組；克萊默法則；矩陣的逆；高斯消元法

【課題】南京理工大學(xué)高等教育教學(xué)改革研究課題（2013A25）

線性代數(shù)是高等院校一門重要的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程，具有較強(qiáng)的邏輯性、抽象性和廣泛的實(shí)用性，學(xué)好線性代數(shù)對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和抽象思維能力起著重要的作用.同時(shí)線性代數(shù)又是一門實(shí)用性很強(qiáng)的、工具性的數(shù)學(xué)課程，它所介紹的矩陣運(yùn)算方法、線性方程組解的理論、矩陣對角化理論與方法等廣泛運(yùn)用于工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)與管理等各個(gè)領(lǐng)域.如何把線性代數(shù)嚴(yán)謹(jǐn)而抽象的理論內(nèi)容與其廣泛使用的工具性方法完美的結(jié)合，使得學(xué)生一方面受到嚴(yán)格的理論熏陶，體會嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)理邏輯的魅力，同時(shí)又熟練掌握其主要的計(jì)算方法，為后續(xù)的課程學(xué)習(xí)與科學(xué)研究打下數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，一直是廣大數(shù)學(xué)工作者與教育家不懈追求的目標(biāo).

傳統(tǒng)的教學(xué)法比較偏重理論的系統(tǒng)性，往往對線性代數(shù)在其他領(lǐng)域的應(yīng)用重視不夠；現(xiàn)行教材多重理論，輕應(yīng)用，重公式推導(dǎo)，輕數(shù)值計(jì)算，教材大多忽略了概念，原理和模型的實(shí)際意義.往往學(xué)生學(xué)完線性代數(shù)這門課程后，只會套用解題，即“算數(shù)學(xué)”，并不知道線性代數(shù)在哪些領(lǐng)域應(yīng)用，如何應(yīng)用，即“用數(shù)學(xué)”.導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)目的不明確，為了應(yīng)付考試而學(xué)習(xí)，這不利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，不利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力.

線性方程組是線性代數(shù)的核心，行列式、矩陣、向量空間等都是為研究線性方程組創(chuàng)造的工具.線性方程組廣泛的應(yīng)用于商業(yè)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會學(xué)、生態(tài)學(xué)、人口統(tǒng)計(jì)學(xué)、遺傳學(xué)、電子學(xué)、工程學(xué)以及物理學(xué)等領(lǐng)域，大量實(shí)際問題都可以轉(zhuǎn)換成線性方程組求解問題.

根據(jù)線性方程組的解的理論，通?？捎每巳R默法則；矩陣的逆以及更一般的將增廣矩陣進(jìn)行初等行變換的方法（即高斯消元法）求解.本文將通過這幾個(gè)方面給出線性方程組課堂教學(xué)的幾個(gè)典型應(yīng)用案例.

一、利用克萊默法則求解的應(yīng)用案例

二、利用矩陣的逆求解的應(yīng)用案例

案例3 減肥食譜問題[2]

這是一種在20世紀(jì)80年代很流行的食譜，是由Alan H.Howard博士領(lǐng)導(dǎo)的科學(xué)家團(tuán)隊(duì)經(jīng)過八年對過度肥胖病人的臨床研究，在劍橋完成的，稱為劍橋食譜.這種低熱量的粉狀食品精確地平衡了碳水化合物、高質(zhì)量的蛋白質(zhì)和脂肪、配合維生物、礦物質(zhì)、微量元素和電解質(zhì).近年來，數(shù)百萬人應(yīng)用這一食譜實(shí)現(xiàn)了快速和有效的減肥.

設(shè)三種食物脫脂牛奶、大豆粉和乳清每100克中蛋白質(zhì)、碳水化合和脂肪的含量如下表.

一個(gè)城市有三個(gè)重要的企業(yè)：一個(gè)煤礦，一個(gè)發(fā)電廠和一條地方鐵路.開采一元錢的煤，煤礦必須支付0.25元的電費(fèi)來驅(qū)動(dòng)它的設(shè)備和照明，還需支付0.25元的運(yùn)輸費(fèi).而生產(chǎn)一元錢的電力，發(fā)電廠需支付0.65元的煤作燃料，自己亦需支付0.05元的電費(fèi)來驅(qū)動(dòng)輔助設(shè)備及支付0.05元的運(yùn)輸費(fèi).而提供一元錢的運(yùn)輸費(fèi)，鐵路需支付0.55元的煤作燃料，0.10元的電費(fèi)驅(qū)動(dòng)它的輔助設(shè)備.某個(gè)星期內(nèi)，煤礦從外面接到50000元錢煤的訂貨，發(fā)電廠從外面接到25000元電力的訂貨，外界對地方鐵路沒有要求.問這三個(gè)企業(yè)在那一個(gè)星期內(nèi)生產(chǎn)總值多少時(shí)才能精確地滿足它們本身的要求和外界的要求？

得煤礦總產(chǎn)值為102087元，發(fā)電廠總產(chǎn)值為56163元，鐵路總產(chǎn)值為28330元.

這是宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中投入—產(chǎn)出模型中的開式模型.投入—產(chǎn)出模型是哈佛大學(xué)教授瓦西里·列昂惕夫（Wassily Leontief，1906-1999）于1949年夏末提出的.并由此誕生了研究宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的投入-產(chǎn)出法，它是列昂惕夫的杰出創(chuàng)作，編制投入-產(chǎn)出表、建立相應(yīng)的線性代數(shù)方程體系，就能綜合分析和確定國民經(jīng)濟(jì)各部門之間錯(cuò)綜復(fù)雜的聯(lián)系，分析重要的宏觀經(jīng)濟(jì)比例關(guān)系及產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)等基本問題.總之，投入-產(chǎn)出模型就是用數(shù)學(xué)形式體現(xiàn)投入產(chǎn)出表所反映的經(jīng)濟(jì)內(nèi)容的線性代數(shù)方程組.列昂惕夫由于從事“投入產(chǎn)出分析”，于1973年獲得第五屆諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)，他的一生研究是數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域里應(yīng)用的最好典范.

三、利用高斯消元法求解的應(yīng)用案例

案例5 百雞問題

該問題記載于我國古代算書《張邱建算經(jīng)》中.百雞問題是中國古代解一次不定方程的整數(shù)解一種方法，導(dǎo)致三元不定方程組，其重要之處在于開創(chuàng)“一問多答”的先例，這是過去中國古算書中所沒有的.

問題：今有雞翁一，值錢伍；雞母一，值錢三；雞芻鳥三，值錢一.凡百錢買雞百只，問雞翁、母、芻鳥各幾何？答曰：雞翁四，值錢二十；雞母十八，值錢五十四；雞芻鳥七十八，值錢二十六.又答：雞翁八，值錢四十；雞母十一，值錢三十三，雞芻鳥八十一，值錢二十七.又答：雞翁十二，值錢六十；雞母四，值錢十二；雞芻鳥八十 四，值錢二十八.

如果方程式中的每個(gè)系數(shù)乘兩倍的話，該方程式也是配平的.然而在一般情況下，人們更傾向于使用全體系數(shù)盡可能小的數(shù)來配平方程式.

總之，線性方程組的應(yīng)用非常廣泛，小到“雞兔同籠”問題，大到國民經(jīng)濟(jì)“投入產(chǎn)出”問題，從“減肥食譜”問題到“化學(xué)方程式配平”問題等等.教師在講授線性方程組理論時(shí)，可從實(shí)際問題出發(fā)，通過對實(shí)際問題的分析引入線性方程組，再從解決實(shí)際問題的需要，運(yùn)用矩陣相關(guān)理論，可使用數(shù)學(xué)軟件解決實(shí)際問題.這樣，一方面能讓學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)線性方程組理論的重要性和必要性，另一方面能讓學(xué)生了解運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的基本過程，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.當(dāng)他們了解到現(xiàn)實(shí)中許許多多實(shí)際問題與復(fù)雜線性方程組的聯(lián)系時(shí)，就能認(rèn)識到學(xué)習(xí)線性代數(shù)的必要性.

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