老樹發(fā)新芽　古琴生新韻
——例談利用平面向量基本定理解決相交平面的交線問題

羅風(fēng)云　馬　杰

(安徽省宿州學(xué)院附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)，234000)

老樹發(fā)新芽古琴生新韻

——例談利用平面向量基本定理解決相交平面的交線問題

羅風(fēng)云馬杰

(安徽省宿州學(xué)院附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)，234000)

前一階段,筆者在進(jìn)行高三立體幾何的復(fù)習(xí)時(shí),講解了這樣一道題:

題目如圖1所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別為棱AB、CC1的中點(diǎn),在平面ADD1A1內(nèi)且與平面D1EF平行的直線()

(A)不存在(B)有1條

(C)有2條(D)有無數(shù)條

分析平面ADD1A1與平面D1EF有公共點(diǎn)D1,則必有過該點(diǎn)的公共直線l,在平面ADD1A1內(nèi)與直線l平行的線有無數(shù)條,且它們都不在平面D1EF內(nèi),由線面平行的判定定理知它們都與平面D1EF平行,故選D.

在解答完此題之后,學(xué)生提出這樣一個(gè)問題:既然平面ADD1A1與平面D1EF有交線,那么交線在哪?如何作出來?為此,筆者給出一個(gè)傳統(tǒng)解法:首先,平面ADD1A1與平面D1EF有公共點(diǎn)D1,因此,交線一定過點(diǎn)D1. 如圖2所示,延長D1F交DC的延長線于點(diǎn)G,連結(jié)EG交BC于點(diǎn)H,交DA的延長線于點(diǎn)I,連結(jié)D1I,則平面ADD1A1與平面D1EF的交線為D1I.

學(xué)生對此解法提出:此種解法需要作輔助線,能否有不需要作輔助線的通用解法?此時(shí),筆者想到,既然我們學(xué)習(xí)了向量法來解決立體幾何問題,那么能否用它來解決?因?yàn)榻痪€分布在兩個(gè)不同平面,因此,交線所在向量就可以分別利用這兩個(gè)平面內(nèi)的基底表示,于是借助平面向量基本定理嘗試了如下的探索.

如圖3所示,以DA為x軸、DC為y軸、DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的邊長為1,所求兩平面的交線所在的方向向量為m.

首先,兩平面交線在平面ADD1A1與平面D1EFK中,故可設(shè)

即m=λ1(1,0,0)+λ2(0,0,1)

=(λ1,0,λ2)，

由此可得

不妨設(shè)方向向量m的始點(diǎn)為頂點(diǎn)D1,終點(diǎn)為點(diǎn)I(x,y,z),則

由平面向量基本定理，可知取λ2=-1,通過方程組可求得

從以上過程可以看出,使用平面向量基本定理來解決交線問題,不僅回避了作輔助線這個(gè)難點(diǎn),而且可以精確定位交線的位置,一舉兩得.下面介紹這種方法在多面體截面問題中的應(yīng)用.

例1(第十四屆希望杯全國數(shù)學(xué)邀請賽)一平面與正方體表面的交線圍成的封閉圖形稱為正方體的“截平面圖形”. 棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是AB的中點(diǎn),F是CC1的中點(diǎn)， 則過D1,E,F三點(diǎn)的截平面圖形的周長等于()

評注此法不僅可以確定截面圖形的形狀,還可通過截面頂點(diǎn)坐標(biāo)求出周長.

例2(第16 屆美國數(shù)學(xué)邀請賽)如圖5所示,正方體的三條棱為AB、BC、CD,AD是體對角線. 點(diǎn)P、Q、R分別在AB、BC、CD上,AP=5,PB=15,BQ=15,CR=10, 那么, 平面PQR向各方向延展后與正方體的交線組成的多邊形的面積是多少?

解依題意，正方體的邊長為20,如圖6所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是O(0,0,0),C(0,20,0),F(0,0,20),P(20,5,0),Q(5,20,0),R(0,20,10).不妨設(shè)所求平面PQR與平面OCDF的交線所在的方向向量為m，故可設(shè)

即m=λ1(0,-20,0)+λ2(0,0,20)

=(0,-20λ1,20λ2).

即m=λ3(-15,15,0)+λ4(-5,0,10)

=(-15λ3-5λ4,15λ3,10λ4).

因此,(0,-20λ1,20λ2)=(-15λ3-5λ4,15λ3,10λ4),由此可得

不妨設(shè)方向向量m始點(diǎn)為頂點(diǎn)R,終點(diǎn)為點(diǎn)S(x,y,z),則

以此類推,找到截面圖形為六邊形PQRSTU,坐標(biāo)如下:P(20,5,0),Q(5,20,0),R(0,20,10),S(0,15,20),T(15,0,-20),U(20,0,10),因此所求的截面圖形的面積

SPQRSTU=2SPQRU=2(S?PQR+S?PRU)=

=525.

利用平面向量基本定理求解上述問題的實(shí)質(zhì)是將幾何圖形的相互位置的確定轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)運(yùn)算,體現(xiàn)了“數(shù)與形”的有效結(jié)合,淡化了立幾問題傳統(tǒng)方法“由形到形”的推理,不但為學(xué)生提供了一個(gè)嶄新的視角,豐富了其思維結(jié)構(gòu),而且為學(xué)生增強(qiáng)了可操作性,消除了學(xué)生對此類問題的障礙.在高三復(fù)習(xí)備考中,有必要把向量與其他知識內(nèi)容進(jìn)行有效整合,使向量成為解決數(shù)學(xué)問題一種重要的工具, 從而探索出新的解題途徑. 在日常教學(xué)中,教師要引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題,積極培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力與發(fā)散思維,只有這樣才能使得學(xué)生在解題能力上獲得質(zhì)的提高.

○解題思路與方法○