徐勝男，任學智，位浩杰，展凱云，陳文娟

(中國石油大學(華東)，山東 青島　266580)

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基于MATLAB的載流圓環(huán)磁場分布的動態(tài)仿真

徐勝男，任學智，位浩杰，展凱云，陳文娟*

(中國石油大學(華東)，山東 青島266580)

摘 要：根據畢奧—薩伐爾定律推導出載流圓環(huán)空間磁場分布的積分表達式，利用MATLAB給出計算結果，并對磁場分布矢量圖、中心軸線上磁場分布圖、與圓環(huán)面平行及垂直的面上磁場分布圖進行仿真，研究了磁場在徑向和軸向的三維分布，對教學和實際工程應用具有一定的指導作用。

關鍵詞：畢奧—薩伐爾定律；載流圓環(huán)；MATLAB；磁感應強度

關于載流圓環(huán)的磁場分布，在大學物理中我們了解的只是部分區(qū)域的磁場分布，而在理論和實際應用中，載流圓環(huán)全空間的磁場分布也非常重要。為了解決此問題，很多學者在畢奧—薩伐爾定律的基礎上，對完整的載流圓環(huán)磁場分布進行了研究。賈瑞皋、薛慶忠在電磁學書中分析了軸線上的磁場分布情況[1]；向裕民利用橢圓積分計算失勢，再經旋度求得磁場表達式，討論了以圓環(huán)平面、中心軸線和遠區(qū)場為特例的磁場分布[2]；羅宏超、朱平、王曉穎、陳麗群等人從畢奧—薩伐爾定律出發(fā)討論了中心軸線、圓環(huán)平面、遠區(qū)及圓心附近的磁場分布[3-6]；劉保義等利用mathematica4.0得到了磁感應強度分布矢量圖，討論了中心軸線和圓環(huán)平面的磁場分布[7]；王玉梅等利用MATLAB符號積分繪制圓環(huán)周圍磁場分布圖，并進行數值計算討論[8]。但是，之前尚未見有人對與圓環(huán)面平行及垂直的面上磁場分布做過研究，所以，本文將著重研究磁場在圓環(huán)徑向和軸向的三維分布情況。

本文根據畢奧—薩伐爾定律推導出載流圓環(huán)在空間的磁場分布的積分表達式，利用MATLAB軟件編程，結合分段求和的思想，對不同情況下的磁場分布進行建模仿真，繪制了磁場分布矢量圖、中心軸線上磁場分布圖、與圓環(huán)面平行及垂直的面上磁場分布圖，研究了磁場在圓環(huán)徑向和軸向的三維分布，對教學和實際工程應用具有一定的指導作用。

1對載流圓環(huán)產生的磁場進行數學建模

設載流圓環(huán)的半徑為R，其中通有電流為I。如圖1所示，設載流圓環(huán)位于y-z平面上，圓心與坐標原點重合，載流圓環(huán)中心軸線與x軸重合。

(1)

由磁場的疊加原理，則P點的磁感應強度為

(2)

因為直接求取該積分計算過程復雜且易出錯，所以為了簡化計算過程，我們在空間直角坐標系中，首先分別求取在x軸，y軸，z軸的磁感應強度分量，然后求矢量和得P點的磁感應強度，最后繪制磁場分布圖，分析載流圓環(huán)在全空間的磁場分布特點。

(3)

(4)

將式(2) (3) 代入式(1)，其中

(5)

所以P點的磁感應強度分量為：

(6)

(7)

(8)

2基于MATLAB編寫載流圓環(huán)產生磁場的仿真程序

在建立了載流圓環(huán)產生的磁場數學模型[9]后,根據上述分析建立的數學模型利用MATLAB軟件編寫可仿真、可執(zhí)行的仿真程序。仿真程序[10]如下：

2.1初始化

根據式(6)～(8)，設置相關變量參數：

%用畢奧-薩伐爾定律計算電流環(huán)產生的磁場

clear all;%初始化，給定圓環(huán)半徑、電流

mu0=4*pi*1e-7;%真空磁導率

I0=10.0；Rh=1;%圓環(huán)半徑、電流

C0=mu0/(4*pi)*I0;%組合常數

NGx=21;NGy=21;%設定觀測點網格數

x = linspace(-3,3,21);%設定觀測點范圍

y=x；z=y;

2.2求P點磁感應強度

利用分段求和的思想，求取空間任意一點P的磁感應強度：

Nh =20;%電流環(huán)分段數

theta0=linspace(0,2*pi,Nh+1);%環(huán)的圓周角分段

theta1=theta0(1:Nh);

y1=Rh*cos(theta1);z1=Rh*sin(theta1);%環(huán)各段的向量的起點坐標y1,z1

theta2=theta0(2:Nh+1);

y2=Rh*cos(theta2);z2=Rh*sin(theta2);%環(huán)各段的向量的終點坐標y2,z2

dlx=0；dly=y2-y1;dlz=z2-z1;%計算環(huán)各段向量dl的三個長度分量

xc=0；yc=(y2+y1)/2；zc=(z2+z1)/2;%計算環(huán)各段向量中點的三個坐標分量

for i=1:NGy%循環(huán)計算各網格點上的B(x,y)值

for j=1:NGx

rx=x(j)-xc;ry=y(i)-yc;rz=0-zc;%觀測點在z=0平面上

r3=sqrt(rx.^2+ry.^2+rz.^2).^3;%計算r3

dlXr_x=dly.*rz-dlz.*ry;%計算叉乘積

dlXr_y=dlz.*rx-dlx.*rz;

Bx(i,j)=sum(C0*dlXr_x./r3);%把環(huán)各段產生的磁場分量累加

By(i,j)=sum(C0*dlXr_y./r3);

end

end

2.2繪制磁場分布矢量圖：

空間任意一點P的磁感應強度計算出來后，可以繪制磁場分布矢量圖，利用quiver命令繪出圖形：

%磁場分布矢量圖：

quiver(x,y,Bx,By);xlabel('x軸','FontSize',12')；ylabel('y軸','FontSize',12')；

title('圓環(huán)電流產生的磁場分布矢量圖','FontSize',16);%用quiver畫磁場矢量圖

text(-0.15,1.2,'fontsize{30}o');text(0,1,'fontsize{30}.');

text(-0.15,-1.1,'fontsize{30}o');text(-0.15,-1.1,'fontsize{22} imes');

2.3繪制軸線上磁場分布圖：

空間任意一點P的磁感應強度計算出來后，同樣也可以繪制軸線上磁場分布圖，根據磁場分布的對稱性可以得出軸線上磁感應強度僅有Bx分量，By分量矢量和為零。利用plot命令繪出曲線：

%軸線上磁場分布：

plot(x,Bx)；xlabel('x軸','FontSize',12) ；ylabel('磁場x方向分量Bx','FontSize',12);

title('圓環(huán)電流軸線上的磁場分布圖','FontSize',16);%x軸線上Bx分布

2.4繪制與圓環(huán)平行的平面磁場分布圖：

空間任意一點P的磁感應強度計算出來后，可以繪制與圓環(huán)平行的平面磁場分布圖，分別繪制距離載流圓環(huán)面距離為0,0.2,0.5,0.8,1.2,4(單位：m)處的磁場Bx分量，By分量分布圖。利用surfc命令繪出曲面圖：

%在與圓環(huán)平行的平面x=0,0.2,0.5,0.8,1.2,4上的磁場(包括Bx,By)分布

surfc(y,z,Bx)；xlabel('y軸','FontSize',12')；

ylabel('z軸','FontSize',12');zlabel('磁場x方向分量Bx');

title('圓環(huán)所在平面x=0上磁場x方向分量Bx分布圖','FontSize',16);

%y-z面上Bx分布

surfc(y,z,By)；xlabel('y軸','FontSize',12')；

ylabel('z軸','FontSize',12');zlabel('磁場y方向分量By');

title('圓環(huán)所在平面x=0上磁場y方向分量By分布圖','FontSize',16)；

%y-z面上By分布

2.5繪制與圓環(huán)垂直的平面磁場分布圖：

空間任意一點P的磁感應強度計算出來后，同時也可以繪制與圓環(huán)垂直的平面磁場分布圖，即x-y平面上的磁場Bx分量，By分量分布圖。利用surfc命令繪出曲面圖：

subplot(1,2,1);

surfc(x,y,Bx);

xlabel('x軸','FontSize',12')；ylabel('y軸','FontSize',12');zlabel('磁場x方向分量Bx');

title('與圓環(huán)垂直z=0面上磁場x方向分量Bx分布三維圖','FontSize',12);

subplot(1,2,2);

plot(x,Bx);

xlabel('x軸','FontSize',12') ；ylabel('磁場x方向分量Bx');

title('與圓環(huán)垂直z=0面上磁場x方向分量Bx沿x方向分布圖','FontSize',12);

%x-y面上Bx分布

subplot(1,2,1);

surfc(x,y,By);

xlabel('x軸','FontSize',12')；ylabel('y軸','FontSize',12');zlabel('磁場y方向分量By');

title('與圓環(huán)垂直z=0面上磁場y方向分量By分布三維圖','FontSize',12)；

subplot(1,2,2);

plot(x,By);

xlabel('x軸','FontSize',12') ；ylabel('磁場y方向分量By');

title('與圓環(huán)垂直z=0面上磁場y方向分量By沿x方向分布圖','FontSize',12);

%x-y面上By分布

在程序%后面是程序的說明部分，仿真程序編寫完成后保存為zlyhcc.m。

3圓環(huán)電流產生磁場的仿真結果和分析

運行zlyhcc.m仿真程序不同部分后，得到仿真結果如下所示。

3.1磁場矢量圖

分析：由圖2看出，圓環(huán)電流磁場分布符合右手螺旋定則，線圈附近磁感線密集，磁感應強度大，而離線圈越遠，磁感線稀疏，磁感應強度變小。此外，該圖為過圓環(huán)中心與圓環(huán)面垂直的平面上磁場分布圖，該圖繞軸線旋轉即可得到磁場的空間分布圖形。

3.2圓環(huán)電流中心軸線上磁場分布

分析：由圖3看出，圓環(huán)電流軸線上磁感應強度關于圓環(huán)所在平面對稱，大小、方向均相同；而且軸線上圓環(huán)中心處磁感應強度最強，隨距離圓環(huán)中線越遠，磁感應強度越弱。

3.3與圓環(huán)平行的平面磁場分布

3.3.1與圓環(huán)平行的平面磁場Bx分布

分析：由圖4看出，圓環(huán)電流在與圓環(huán)面平行的面上的磁感應強度Bx分量。

與圓環(huán)面平行的面離圓環(huán)面距離很近時，圓環(huán)周圍磁感應強度大，大于中心軸線上磁感應強度；而離圓環(huán)面距離稍遠，大于圓環(huán)半徑時，與圓環(huán)面平行的面上中心軸線上磁感應強度最大，大于該面上其他任意位置處的磁感應強度，且隨著距離增大，磁感應強度減小11-14]。

3.3.2與圓環(huán)平行的平面磁場By分布

分析：由圖5看出，圓環(huán)電流在與圓環(huán)面平行的面上的磁感應強度By分量：無論與圓環(huán)面平行的面距離圓環(huán)面遠近，中心軸線上磁感應強度都為0，其他位置磁感應強度關于中心軸線成中心對稱分布。

3.4與圓環(huán)垂直的平面磁場分布

分析：由圖6、圖7看出，圓環(huán)電流在與圓環(huán)面垂直的面上的磁感應強度：無論與圓環(huán)面平行的面距離圓環(huán)面遠近，中心軸線上磁感應強度By分量都為0，只有Bx分量，且隨著距離增大，磁感應強度減?。辉娇拷鼒A環(huán)，磁感應強度越大。

4總結

通過利用MATLAB軟件分段求和，計算載流圓環(huán)空間任意一點的磁感應強度，繪制磁場分布矢量圖、中心軸線上磁場分布圖、與圓環(huán)面平行及垂直的面上磁場分布圖，不僅直觀反映了圓環(huán)電流在空間產生的磁場分布規(guī)律，而且可以通過設置圓環(huán)線圈匝數、電流、半徑等參數，定量計算磁感應強度具體大小，這在實際工程應用或者物理學研究教學方面都有十分重大的意義。

參考文獻：

[1]賈瑞皋,薛慶忠.電磁學[M].北京：高等教育出版社,2011:161-164.

[2]向裕民.圓環(huán)電流磁場的普遍分布[J].大學物理,1999,01:16-19.

[3]羅宏超,蔡敏.圓電流全空間磁感應強度B的分布[J].沈陽航空工業(yè)學院學報,2006(1):79-80+91.

[4]朱平.圓電流空間磁場分布[J].大學物理,2005(9):13-17.

[5]劉保義,張明霞.圓環(huán)電流在全空間形成的磁感應強度分布[J].天水師范學院學報,2009(2):65-66.

[6]王曉穎,李武軍.載流圓環(huán)空間磁場分布的研究[J].西安工業(yè)學院學報,2004(3):292-295.

[7]陳麗群.圓形載流線圈磁場的空間分布[J].婁底師專學報,2000(4):77-79.

[8]王玉梅,孫慶龍.利用MATLAB分析圓環(huán)電流的磁場分布[J].長春師范學院學報:自然科學版,2010(2):20-23.

[9]陳懷琛.Matlab及其在理工課程中的應用指南[M].西安:西安電子科技大學出版社,2004:292-295.

[10] 司文建,周楠,曹玉松.基于MATLAB的亥姆霍茲線圈軸線磁場均勻分布的動態(tài)仿真[J].許昌學院學報,2010(5):72-74.

[11] Byrd P F,et al.Handbook of Ellptic Integrals for Engineers and Physicists[M].Berlin:springer-Verlag,1954.8-13.

[12] G reenhillA G.The application of elliptic functions.New York:Dover,1959.

[13] 王明美.利用“幾何畫板”探索螺線管的磁場分布[J].大學物理實驗，2015，28(5)：57-59.

[14] 羅浩，向澤英，謝英英，等.霍爾效應法測磁場實驗誤差研究[J].大學物理實驗，2015(4)：99-102.

Dynamic Simulation of Distribution ofMagnetic Filed about a Current-Carrying Coil Based on MATLAB

XU Sheng-nan，REN Xue-zhi，WEI Hao-jie，ZHAN Cai-yun，CHEN Wen-juan

(China University of Petroleum,Shandong Qingdao 266580)

Key words：Biot-Savart law；current-carrying coil；MATLAB；magnetic induction

Abstract：According to Biot-Savart Law,the integral representation of the magnetic field distribution of a current-carrying coil is derived.The computed results are given by using with MATLAB and the simulations of the vector graphy of magnetic field distribution,the graphs of magnetic field distribution on the central axis,in the surface which is parallel to the coli and the surface which is vertical to the coli are carried out.The three-dimensional distribution of the magnetic filed in the radial and axial direction is studied,which plays a guiding role in education and application of practical engineering.

收稿日期：2016-01-30

基金項目：中國石油大學(華東)教學研究與實踐項目(QN201531)；中國石油大學(華東)精品實驗項目(JS 201415)；中國石油大學(華東)大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練項目

文章編號：1007-2934(2016)03-0096-07

中圖分類號：TP 391.9

文獻標志碼：A

DOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.003.026