方淑婷，魯曉東

(東?？茖W(xué)技術(shù)學(xué)院，浙江 舟山　316000)

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*通訊聯(lián)系人

用Mathematica計(jì)算油滴電荷的基本量

方淑婷，魯曉東*

(東?？茖W(xué)技術(shù)學(xué)院，浙江 舟山316000)

摘 要：密立根油滴實(shí)驗(yàn)的主要目的是要從大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中證明電荷的不連續(xù)性，為提高計(jì)算效率，本文利用了Mathematica軟件對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了最小二乘處理，優(yōu)化了誤差的分布，得到了準(zhǔn)確的電荷基本量值。

關(guān)鍵詞：密立根油滴;電荷量;基本帶電量;Mathematica;數(shù)據(jù)處理

密立根油滴實(shí)驗(yàn)，是物理學(xué)史上的經(jīng)典實(shí)驗(yàn)。該實(shí)驗(yàn)精確地測(cè)定了基本電荷的數(shù)值[1]，證明了所有電荷都是基本電荷的整數(shù)倍，明確了電荷的不連續(xù)性。但在實(shí)際的實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中，往往把該公認(rèn)值當(dāng)作已知值代入結(jié)果表達(dá)式,僅對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證，雖然節(jié)省了實(shí)驗(yàn)時(shí)間，但不符合物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的一般規(guī)則，因?yàn)槭孪取半姾傻牟贿B續(xù)性”及“基本電荷量公認(rèn)值”是未知的，而這兩點(diǎn)正是本實(shí)驗(yàn)需要驗(yàn)證的內(nèi)容。較科學(xué)的方法應(yīng)該是：使用大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表達(dá)出數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，然后用最大公約數(shù)法[2]、多次逐差法[3]，統(tǒng)計(jì)法[4]等對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，找出表征電荷不連續(xù)的特征值；如果用手工計(jì)算或借助計(jì)算機(jī)高級(jí)語言C，Baisc進(jìn)行編程處理[5]，這對(duì)于低年級(jí)的學(xué)生是有困難的，影響教學(xué)效果。所以在此提出使用Mathematica軟件，該軟件的特點(diǎn)是表達(dá)上貼近于原始的數(shù)學(xué)表達(dá)，有利于不懂計(jì)算機(jī)語言的人使用，另外該軟件還提供了大量的數(shù)據(jù)計(jì)算的工具包，包括優(yōu)化，作圖等，適合對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理和可視化表達(dá)。

1油滴電荷測(cè)量原理：

密立根油滴實(shí)驗(yàn)通過控制靜電場(chǎng)中帶電油滴在空氣中的運(yùn)動(dòng)，檢測(cè)相應(yīng)的參量并計(jì)算得到油滴的帶電量。不妨設(shè)一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為q的油滴處在兩塊平行極板之間，在平行極板未加電壓時(shí)，由于空氣阻力的作用，加速一段距離后，油滴將作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為vg，這時(shí)重力與阻力平衡(空氣浮力忽略不計(jì))，根據(jù)托克斯定律，粘滯阻力為

fr=6παηvg

(1)

式中：η為空氣的粘滯系數(shù)；α為油滴的半徑。通過將油滴放在平行板上加壓后，油滴將處于場(chǎng)強(qiáng)為E的靜電場(chǎng)中，并加速上升，但最終在空氣阻力影響下做勻速運(yùn)動(dòng)即重力電場(chǎng)力空空氣阻力三者平衡

fr=qE-mg

(2)

根據(jù)(1)(2)以及實(shí)驗(yàn)參數(shù)值[1]，當(dāng)測(cè)出其勻速上升時(shí)的速度即可解出q：

(3)

同時(shí)也可以測(cè)得同一油滴所帶電荷的改變量△q(可用紫外線或放射源照射油滴，使它所帶電荷改變)，得到另一組數(shù)據(jù)。但要證實(shí)電荷的不連續(xù)性，則要取多個(gè)電量值，計(jì)算它們最大公約數(shù)，得到基本電荷電量的數(shù)值，所以油滴所帶電量的計(jì)算和分析是得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果的關(guān)鍵。從上述原理中也可以看出，在實(shí)驗(yàn)過程中將會(huì)出現(xiàn)一系列影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差，計(jì)時(shí)的精度、電壓的波動(dòng)以及油滴本身的揮發(fā)等，而且其方程未知數(shù)較多使得計(jì)算量較大。

2數(shù)據(jù)處理方法分析：

2.1倒過來驗(yàn)證法

當(dāng)我們?cè)趯?shí)驗(yàn)室中測(cè)得U、t后計(jì)算得出q，以基本電荷的公認(rèn)值為最大公約數(shù)去除測(cè)得油滴的電荷數(shù)n，接下來便是通過e=q/n中找出這個(gè)e0，最終得出e0約為1.60×10-19c從而驗(yàn)證電荷的不連續(xù)[6]。這種以已知值去驗(yàn)證已知值的方法顛倒了過程的因果關(guān)系，所以不利于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神。

2.2油滴電量平均值逐項(xiàng)相減法

該方法先將帶相同電荷數(shù)的電量取平均，然后再逐項(xiàng)相減則得平均電量差Q 值，最后對(duì)在誤差范圍內(nèi)近似相等的幾個(gè)最小Q 值取平均即可獲得基本電荷實(shí)驗(yàn)值[3]。顯然,在平均值逐項(xiàng)相減法中體現(xiàn)了對(duì)隨機(jī)誤差抵償性的考慮,充分利用了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),從而克服了在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中帶相同電荷數(shù)油滴電量測(cè)量值不止一組情況下逐項(xiàng)相減法所必定產(chǎn)生的基本電荷估計(jì)值偏小的弊病，由電量逐項(xiàng)相減法的結(jié)果可以看出，油滴所帶的電量是不連續(xù)的。從教學(xué)效果上看,它可以使學(xué)生充分利用有限的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),并有效地克服實(shí)驗(yàn)儀器精度不高的負(fù)面影響，解決了教學(xué)中的一個(gè)難題。但在此基礎(chǔ)上還可以在數(shù)據(jù)處理過程中繼續(xù)優(yōu)化，比如在計(jì)算平均值的時(shí)候，根據(jù)該電量出現(xiàn)不同次數(shù)加以權(quán)重，對(duì)估計(jì)值的控制時(shí)選用最小二乘的原則等，這些用手工計(jì)算是很大的工程，而借助于Mathematica軟件來處理則是僅需要你的想法與步驟。

2.3基于Mathematica的方法

方法的特點(diǎn)就是借助軟件的功能去處理一些繁瑣的重復(fù)的計(jì)算。當(dāng)實(shí)驗(yàn)測(cè)得大量的數(shù)據(jù)后，先對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分組，即按電荷量數(shù)據(jù)分成若干等間隔區(qū)域，并按間隔進(jìn)行頻數(shù)的統(tǒng)計(jì)，并且用圖的方式表達(dá)。觀測(cè)其分布，當(dāng)存在基本電荷量時(shí)，數(shù)據(jù)是一簇一簇的，有明顯的不連續(xù)分布特征，接下來便可以計(jì)算簇與簇之間的距離，這就是這些數(shù)據(jù)最大公約數(shù)的粗略估計(jì)，這時(shí)各量子數(shù)也可以確定。計(jì)算的過程中我們可采取最小二乘方法對(duì)電荷基本量估計(jì)作進(jìn)一步的優(yōu)化，減少誤差的影響。這樣的過程是符合了實(shí)驗(yàn)探索思路，盡管計(jì)算量很大但這些都可以借助軟件來完成。以我們13級(jí)學(xué)生的數(shù)據(jù)為例，對(duì)各班近150組的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行如下的處理：(數(shù)據(jù)存放由于exdata.xlsx中)

(1)根據(jù)平衡電壓和運(yùn)動(dòng)時(shí)間計(jì)算油滴帶電量

ρ=981;g=9.793;η=1.8310-5;l=2.10-3;b=6.1710-6;p=76;d=5.10-3;(*實(shí)驗(yàn)條件*)

mydata=Import["E:\exdata.xlsx",{"Data",1}];(*打開excel數(shù)據(jù)文件*)

myq=Apply[q,mydata,1];(*把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算q值,存到變量myq*)

(2)根據(jù)電荷量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分組

由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的范圍組數(shù)，以及儀器(MOD-5型)的精度和實(shí)驗(yàn)過程中的不確定度的估計(jì)，取間隔為0.05(×10-19c)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)如圖所示，圖1顯示了各數(shù)據(jù)簇的不連續(xù)性，

TheArea=Table[0.05k,{k,0,200}];(*統(tǒng)計(jì)電荷量間隔的分布存到TheArea*)

Ncount=BinCounts[myq,{TheArea}];(*統(tǒng)計(jì)電荷量myq在各區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)存到Ncount*)

listdata=Table[{TheArea[[n]],Ncount[[n]]},{n,200}];

ListPlot[listdata,Filling→Axis,PlotRange→{{0,10},{0,10}}}](*統(tǒng)計(jì)圖形顯示*)

(3)電荷基本量的估計(jì)

(4)加權(quán)最小二乘法

w=∑pi(qi-nie0)2→min

在軟件中可以直接調(diào)用數(shù)值計(jì)算工具[7]minimize[]就可以了。其使用格式為：Minimize[f,{x,y,...}]，f為要優(yōu)化的表達(dá)式即∑pi(qi-nie0)2，{x,y,…}為要估計(jì)的參數(shù)即e0，函數(shù)結(jié)果返回表達(dá)式的最小值。

p={0.087,0.196,0.348,0.239,0.13};(*出現(xiàn)的概率，見表1*)

q={1.57,3.125,4.94,6.26,8.11};(*各數(shù)據(jù)簇的期望值，見表1*)

n=Round[q/del];(*電荷量的量子數(shù)*)

結(jié)果為{0.01,{e0→1.604}}表示電荷的基本量為1.604×10-19c，擬合的殘差方和為0.01，與公認(rèn)值比較百分差為0.25%。若按已知的理想值的公認(rèn)值去估計(jì)本次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果則為1.59,百分差為0.6%，屬于同一級(jí)的精度，所以借助Mathematica計(jì)算的結(jié)果是比較理想的，并且其處理過程符合科學(xué)實(shí)驗(yàn)的要求[8-9]。

3結(jié)束語

密立根油滴實(shí)驗(yàn)是通過對(duì)宏觀量的觀測(cè)來揭示微觀量本身所具有的屬性，所以必定要通過對(duì)大量觀測(cè)數(shù)據(jù)的計(jì)算和統(tǒng)計(jì)。用計(jì)算機(jī)軟件輔助實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理，不僅僅是提高計(jì)算的效率，更重要的是可以挖掘數(shù)據(jù)背后大量的信息，揭示其中的物理規(guī)律。Mathematica 正是這樣的軟件，它提供了大量直接可調(diào)用的數(shù)學(xué)工具包，為實(shí)驗(yàn)的進(jìn)一步探索創(chuàng)造了條件。

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Calculating the Base Charge of Oil Drop by Mathematica

FANG Shu-ting,LU Xiao-dong

(Donghai Science and Technology College,Zhejiang Zhoushan 316000)

Key words：Milliken oil drop；quantity of charge；basic charge；Mathematica；data processing

Abstract：Millikan oil drop experiment is aimed at proving the uncontinuous change carried by each oil drop.In order to improve calculation efficiency for these lots of experiment data,a method based on Mathematica is provided.By its way of MLS processing and error optimizing,the accurately value of base charge is calculated.

收稿日期：2016-02-24

基金項(xiàng)目：浙江省2015年度高等教育課堂教學(xué)改革項(xiàng)目(kg2015577)

文章編號(hào)：1007-2934(2016)03-0107-04

中圖分類號(hào)：O 4-39

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.003.028