陳　璐

(嶺南師范學(xué)院，廣東 湛江　524048)

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兩個(gè)線性變量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的研究

陳璐

(嶺南師范學(xué)院，廣東 湛江524048)

摘 要：對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中經(jīng)常遇到的線性參數(shù)估計(jì)和作為間接測(cè)量量計(jì)算的問題進(jìn)行了分析、比較。指出最小二乘參數(shù)不確定度不同時(shí)應(yīng)該使用不同的對(duì)應(yīng)公式，如果此情況下將參數(shù)作為間接測(cè)量量計(jì)算，往往更方便、簡(jiǎn)單。

關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)處理；線性參數(shù)估計(jì)；最小二乘法；間接測(cè)量量

對(duì)兩個(gè)變量x、y進(jìn)行線性擬合和參數(shù)估計(jì)在實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常遇到。但線性參數(shù)估計(jì)和線性擬合應(yīng)該是兩個(gè)概念。線性擬合的目的是尋求y與x之間的函數(shù)關(guān)系或驗(yàn)證它們之間的線性關(guān)系，線性參數(shù)估計(jì)的目的則是在假設(shè)y與x之間為線性關(guān)系y=a+bx時(shí)求出參數(shù)a、b的最佳估計(jì)值。對(duì)同一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，目的不同，處理方法也應(yīng)該不同。本文提出了同一組數(shù)據(jù)的3種處理方法，進(jìn)行了分析、比較。

1理論分析

兩個(gè)線性變量x，y的n組測(cè)量值(xi,y)，如果xi足夠準(zhǔn)確，yi為等精度測(cè)量、沒有或消除了系統(tǒng)誤差，則由

y=a+bx

(1)

用最小二乘法原理可得到參數(shù)a、b的最佳估計(jì)值[1]

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

從數(shù)學(xué)上看，(3)式與(6)式的差別僅在于解正規(guī)方程

(9)

(10)

(11)

另一方面，如果在此情況下將參數(shù)b作為間接測(cè)量量對(duì)待，把每組測(cè)量值(xi,y)直接代人(1)式，就可得到一個(gè)對(duì)應(yīng)的bi，因?yàn)槊拷M測(cè)量量是相互獨(dú)立的，bi計(jì)算結(jié)果的分布也應(yīng)該是隨機(jī)分布或近似正態(tài)分布，所以b的最佳估計(jì)值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差也可用下式計(jì)算：

(12)

相對(duì)而言，(12)式的計(jì)算較為簡(jiǎn)單、直觀。

2實(shí)驗(yàn)及應(yīng)用

為了對(duì)上述三種數(shù)據(jù)處理方法進(jìn)行比較，使用文獻(xiàn)[3]或[4]的數(shù)據(jù)。

用伏安法測(cè)電阻，測(cè)得數(shù)據(jù)為[3-4]

方法1：直接用最小二乘法公式，由(3)、(4)、(5)式，得：

方法2：將參數(shù)a(=0)作為已知測(cè)量量，由(6)、(7)、(8)式，得：

方法3：將參數(shù)b作為間接測(cè)量量，由數(shù)據(jù)表(第三行)和(12)式，得：

明顯看出，在相同置信概率情況下，方法2和方法3好于方法1，而方法3與方法2相當(dāng)，但計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單。

由此，我們覺得應(yīng)把線性參數(shù)估計(jì)與線性曲線擬合兩個(gè)概念區(qū)分開來[5-7]，不宜用統(tǒng)一公式處理。即便是同一組數(shù)據(jù)，目的不同，處理方法也應(yīng)不同。如上面的例子中，如果目的是測(cè)電阻，則應(yīng)該用(6)式或(12)式，即方法2或方法3，如果目的是尋找電流與電壓的關(guān)系，或驗(yàn)證歐姆定律，則應(yīng)該用(2)、(3)式，即方法1。這主要是因?yàn)椋M(jìn)行線性參數(shù)估計(jì)時(shí)，這種做法本身就意味著假設(shè)函數(shù)關(guān)系y=a+bx(1)式是絕對(duì)正確的(如它已由理論和大量實(shí)驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)證實(shí))，我們的目的只是尋求參數(shù)a和b的最佳估計(jì)值(數(shù)學(xué)期望值)，所以在a為已知時(shí)，最好用(5)式或(12)式估計(jì)b值；而如果我們的目的是尋找y與x之間的函數(shù)關(guān)系或驗(yàn)證它們之間的線性關(guān)系，則應(yīng)該用(2)、(3)式，這步結(jié)束后，按道理還應(yīng)對(duì)其進(jìn)行線性統(tǒng)計(jì)假設(shè)的檢驗(yàn)，即計(jì)算、分析關(guān)聯(lián)系數(shù)。

3結(jié)論

雙變量線性擬合和參數(shù)估計(jì)時(shí)應(yīng)該根據(jù)目的不同使用不同數(shù)據(jù)處理方法。最小二乘參數(shù)公式適用于二變量線性擬合問題，但當(dāng)已知二變量為線性關(guān)系、參數(shù)a的不確定度遠(yuǎn)高于b的不確定度情況時(shí)，b的最佳估計(jì)值應(yīng)該使用不同公式計(jì)算，如果此情況下將參數(shù)b作為間接測(cè)量量計(jì)算，往往更簡(jiǎn)單、方便。

論文得到陳冠英教授的悉心指導(dǎo)，深表謝意。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊述武.普通物理實(shí)驗(yàn)(二、電磁學(xué)部分)[M].北京：高等教育出版社，2000：12-16.

[2]陳冠英.線性參數(shù)估計(jì)中一個(gè)值得注意的問題[J].物理實(shí)驗(yàn)，1991,11 (3):118.

[3]林抒,龔鎮(zhèn)雄.普通物理實(shí)驗(yàn) [M].北京：高等教育出版社，1981：33-42.

[4]呂斯驊,段家忯.基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn) [M].北京：北京大學(xué)出版社，2002：74-77.

[5]邁耶P.L.，概率引論及統(tǒng)計(jì)應(yīng)用[M].潘考瑞譯.北京：高等教育出版社，1986：358-399.

[6]單明，聶燕平.線性擬合中的逐差法和最小二乘法的比較[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2005，18(2)：68-70.

[7]周玉珠，姜奉華.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的一元線性回歸分析及其顯著性檢驗(yàn)[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2001(4)：43-46.

Analysis of Two Linear Variable Experimental Data Processing

CHEN Lu

(Lingnan Normal University，Guangdong Zhanjiang 524048)

Key words：data processing；linear parameters estimation；least-square method；indirect measurements

Abstract：Often encountered in the experiment data processing of linear parameters estimation and which as the problem of the indirect measurements calculation are analyzed and compared.Points out for different least-squares parameter values of uncertainty should use different corresponding formula,and if this case as using indirect measurements of calculation,tend to be more convenient and simple.

收稿日期：2016-02-14

基金項(xiàng)目：嶺南師范學(xué)院“創(chuàng)新強(qiáng)校工程”項(xiàng)目

文章編號(hào)：1007-2934(2016)03-0126-03

中圖分類號(hào)：O441.1；O4-34

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.003.033