雙嚴(yán)格積γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣的三角-schur補(bǔ)

常萌萌，李華慧

(安陽學(xué)院，河南 安陽，455000)

雙嚴(yán)格積γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣的三角-schur補(bǔ)

常萌萌，李華慧

(安陽學(xué)院，河南 安陽，455000)

為了進(jìn)一步研究矩陣Schur 補(bǔ)的性質(zhì)，引入三角-schur補(bǔ)的概念(當(dāng)θ=π/2時(shí)三角-schur補(bǔ)即為對(duì)角-schur補(bǔ))，證明了雙嚴(yán)格積γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣的三角-schur補(bǔ)仍然是雙嚴(yán)格積γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣，并用數(shù)值例子對(duì)結(jié)論進(jìn)行了驗(yàn)證。

三角-schur補(bǔ)；雙嚴(yán)格積γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣；矩陣

矩陣 Schur 補(bǔ)的概念最早由數(shù)學(xué)家 Issai Schur 提出。隨后，許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行深入研究并取得了很多非常有意義的結(jié)果。對(duì)于一類特殊的矩陣，人們總是關(guān)注其子矩陣或與子矩陣有關(guān)的矩陣是否具有原矩陣的某些性質(zhì)。Liu等[1～3]證明了嚴(yán)格雙對(duì)角占優(yōu)，廣義嚴(yán)格雙對(duì)角占優(yōu)，嚴(yán)格γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣和嚴(yán)格積γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣的Schur補(bǔ)仍然是嚴(yán)格雙對(duì)角占優(yōu)，廣義嚴(yán)格雙對(duì)角占優(yōu)，嚴(yán)格γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣和嚴(yán)格積γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣。趙云平[4，5]證明了雙嚴(yán)格γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣，雙嚴(yán)格積γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣的對(duì)角-schur補(bǔ)仍然是雙嚴(yán)格γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣，雙嚴(yán)格積γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣。常萌萌[6]和梅曉鳳等[7]、李麗梅等[8]引入了三角-schur補(bǔ)的概念，證明了嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，嚴(yán)格雙對(duì)角占優(yōu)矩陣，嚴(yán)格γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣和嚴(yán)格積γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣的三角-schur補(bǔ)仍然是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，嚴(yán)格雙對(duì)角占優(yōu)矩陣，嚴(yán)格γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣和嚴(yán)格積γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣。筆者在以上研究的基礎(chǔ)上，期望證明雙嚴(yán)格積γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣的三角-schur補(bǔ)仍然是雙嚴(yán)格積γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣，并用數(shù)值例子對(duì)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證。

1 預(yù)備知識(shí)

為了表述方便，在此引入以下符號(hào)及定義。

Cn×n表示所有n×n階復(fù)矩陣的集合，Rn×n表示所有n×n階實(shí)矩陣的集合，I是單位矩陣。用α表示N={1,2,3,…,n}的一個(gè)子集且|α|

設(shè)A=(aij), B=(bij)∈Cn×n是2個(gè)矩陣，A°B=(aij×bij)n×n稱為矩陣A和B的Hadmard積。 顯然A°B∈Cn×n。

定義1[1]設(shè)A=(αij), α是N的一個(gè)子集且A(α)是一個(gè)非奇異矩陣，稱

為矩陣A對(duì)應(yīng)于A(α)的Schur補(bǔ)，記為A/A(α)或A/α。

定義2[3]設(shè)A=(αij),α是N的一個(gè)子集且A(α)是一個(gè)非奇異矩陣，稱

為矩陣A對(duì)應(yīng)于A(α)的對(duì)角-schur補(bǔ)，記為A/°A(α)或A/°α。

定義3 設(shè)A=(αij),α是N的一個(gè)子集且A(α)是一個(gè)非奇異矩陣，稱

為矩陣A對(duì)應(yīng)于A(α)的三角-schur補(bǔ)，記為A/°A(α)θ或A/°αθ。

定義4[10]設(shè)A=(aij)∈Rn×n，aii>0,aij≤0(?i,j,i≠j),則稱A是L-陣。

定義5[10]設(shè)A=(aij)∈Rn×n，若A=sI-B,B為非負(fù)矩陣，s>ρ(B)，則稱A為非奇異M-矩陣，其中ρ(B)為矩陣B的譜半徑。

定義6[9]設(shè)A=(aij)∈Cn×n，若μ(A)=(μij)∈Rn×n,i,j=1,2,…,n,其中

則稱μ(A)為A的比較矩陣。

定義7[9]設(shè)矩陣A=(aij)∈Cn×n，若A的比較矩陣μ(A)是非奇異M-矩陣，則稱A為非奇異的H-矩陣，簡(jiǎn)稱H-矩陣。

定義8[5]設(shè)矩陣A=(aij)∈Cn×n，若存在γ∈[0,1]使得對(duì)所有i,j∈N+,i≠j有

引理3[6]設(shè)A=(aij)∈Cn×n，定義矩陣AR=(aR)ij,其中

若AR是H-矩陣，Reaitjt>0(t=1,2,…,l)，Reaiuju<0(u=1,2,…,m)， l+m=n,則A有l(wèi)個(gè)實(shí)部為正的特征值及m個(gè)實(shí)部為負(fù)的特征值。

2 主要結(jié)論及證明

定理1 若A=(aij)∈Cn×n是雙嚴(yán)格積γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣，α?N，那么A的三角-schur補(bǔ)A/°A(α)θ也是雙嚴(yán)格積γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣。

證明 假設(shè)α={i1,i2,…,ik},α′={j1,j2,…,jl},k+l=n。

其中，

對(duì)于?p,m∈{1,2,…,l},p≠m，有

其中,

其中

(2)又對(duì)q=p,m,?s∈{1,2,…,k},有

其中

(3)對(duì)?u,v∈{1,2,…,k},u≠v,有

3 數(shù)值例子

|a11|=1,|a22|=2,|a33|=2,

h1(A)=1,h2(A)=1,h3(A)=2,l1(A)=1,l2(A)=2,l3(A)=1。

則有

因此A為雙嚴(yán)格積γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣。

下面驗(yàn)證A/°A(α)θ也是雙嚴(yán)格積γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣。

h1(A)=1,h2(A)=1,l1(A)=1,l2(A)=1

h1(A)=0,h2(A)=1,l1(A)=1,l2(A)=0

h1(A)=1,h2(A)=0,l1(A)=0,l2(A)=1

因此A/°A(α)θ也是雙嚴(yán)格積γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣。

[1] Liu Jianzhou,Zhang Juan,Liu Yu.The Schur complements of strictly doubly diagonally dominant matrices and its application[J].Linear Algebra and its Application,2012,437:168-183.

[2] Liu Jianzhou,Huang Yunqing,Zhang Fuzhen.The Schur complements of generalized doubly diagonally dominant matrices[J].Linear Algebra and its Applications,2004,378:231-244.

[3] Liu Jianzhou,Huang Zejun.The Schur complements ofγ-diagonally and productγ-diagonally dominant matrix and their disc separation[J].Linear Algebra and its Applications,2010,432:1 090-1 104.

[4] 趙云平.雙嚴(yán)格γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣的對(duì)角schur補(bǔ)[J].齊齊哈爾大學(xué)學(xué)報(bào),2015,31(1):53-56,81.

[5] 趙云平.雙嚴(yán)格積γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣的對(duì)角Schur補(bǔ)[J].寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015,36(4):325-330.

[6] 常萌萌.三類廣義對(duì)角占優(yōu)矩陣逆的數(shù)值特征[D].西安:陜西師范大學(xué),2013:13-21.

[7] 李麗梅,暢大為,梅曉鳳.嚴(yán)格γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣的三角-schur補(bǔ)[J].紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào),2014,27(4):477-481.

[8] 梅曉鳳,暢大為,李麗梅.嚴(yán)格積γ-對(duì)角占優(yōu)矩陣的三角-schur補(bǔ)[J].紡織高校基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào),2014,27(4):482-486.

[9] Horn R A,Johnson C R.Topics in matrix analysis[M].Cambridge:Cambridge University Press,1991.

[10] 胡家贛.線性代數(shù)方程組的迭代解法[M].北京:科學(xué)出版社,1991.

(責(zé)任編輯：朱寶昌)

Triangle-schur Complements of Doubly Strictly Productγ-diagonally Dominant Matrices

CHANG Mengmeng, LI Huahui

(Anyang University, Anyang Henan,455000,China)

In order to further study the properties of Schur complements, the concept of triangle-schur complements was introduced (whenθ=π/2, then triangle Schur-complements meant diagonal-schur complements). The triangle-schur complements of doubly strictly productγ-diagonally dominant matrix was proved to be a doubly strictly productγ-diagonally dominant matrix. At the same time, a numerical example was shown to illustrate the effectiveness of the criteria.

triangle-schur complement; doubly strictly productγ-diagonally dominant matrices; H-matrix

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2016.03.003

2016-08-24

O151.21

A

1672-7983(2016)03-0016-05

常萌萌(1988-),女，碩士,講師。主要研究方向：數(shù)值線性代數(shù)。