從一道易錯(cuò)題談?wù)剬?duì)函數(shù)極值的理解

謝晴

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1672-1578（2016）05-0369-01

引例：已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，則ab=本題是初學(xué)者非常容易出錯(cuò)的一道題，錯(cuò)誤解答如下：

事實(shí)上，上述錯(cuò)誤是對(duì)函數(shù)極值理解不到位造成的。函數(shù)的極值相對(duì)于函數(shù)最值而言，是一個(gè)函數(shù)的局部概念。一般的，對(duì)（a，b）上的連續(xù)函數(shù)f（x），若在x=x0附近非常小的鄰域 （x 0-ε，x0+ε）（ε為非常小的正數(shù)）內(nèi)，①f（x）在x=x0處左增右減，則f（x）在x=x0處取得極大值，x0稱為f（x）的極大值點(diǎn)；②f（x）在x=x0處左減右增，則f（x）在x=x0處取得極小值，x0稱為f（x）的極小值點(diǎn)。對(duì)函數(shù)極值的理解要注意以下幾點(diǎn)：①在定義域上的單調(diào)函數(shù)，沒有極值；②函數(shù)的極值可能有多個(gè)，極大值與極小值沒有大小關(guān)系。這點(diǎn)不同于函數(shù)的最值，函數(shù)最值是針對(duì)函數(shù)整體的概念，在[a，b]上的連續(xù)函數(shù)f（x）一定存在最值，最大值一定大于最小值。③對(duì)函數(shù)極值的判斷中一定要注意在 的左右，函數(shù)的單調(diào)性是否發(fā)生變化。

就人教版的教材而言，不管是選修2-1，還是選修1-1，我們談的函數(shù)的極值，基本上都是在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）上可導(dǎo)的函數(shù)f（x）的極值。對(duì)于這樣一類的可導(dǎo)函數(shù)的極值，我們所要遵循的規(guī)律是：對(duì)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)x=x0，一定有f`（x0）=0；反過來(lái)成立的x=x0不一定能成為極值點(diǎn)。例如，y=x3在R上單調(diào)增，不存在極值，而y`=3x2=0有實(shí)根x=0。因此不能單純的以為，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)就是使得f`（x）=0的零點(diǎn)。我們求解可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的步驟如下：①f`（x）=0的解x=x0；②判斷f`（x）=0在x=x0左右符號(hào)是否發(fā)生變化：若f`（x）在x=x0鄰域內(nèi)的符號(hào)是左正右負(fù)，則f（x）在x=x0處取得極大值，x0稱為f（x）的極大值點(diǎn)；若f`（x）=0在x=x0鄰域內(nèi)的符號(hào)是左負(fù)右正，則f（x）在x=x0處取得極小值，x0稱為f（x）的極小值點(diǎn)。事實(shí)上判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化，本質(zhì)上是判斷函數(shù)在x=x0鄰域單調(diào)性的變化。

希望上述對(duì)函數(shù)極值的分析對(duì)初學(xué)者有實(shí)用，另附習(xí)題一道，可以檢驗(yàn)一下對(duì)函數(shù)極值概念的把握。

練習(xí)：已知函數(shù)f（x）=13x3+a2x2+ax+b，當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）的極值為-712，求a，b