王　燕

(上海市徐匯區(qū)向陽小學(xué)，上海 200032)

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小學(xué)幾何知識結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化的教學(xué)策略研究

王燕

(上海市徐匯區(qū)向陽小學(xué)，上海 200032)

摘要：小學(xué)幾何知識結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化是指個(gè)體形成幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，它讓個(gè)體在認(rèn)知形式化的幾何概念、幾何方法，以及它們之間關(guān)系中，感悟出隱藏在活動(dòng)情景背后的幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并且能同時(shí)運(yùn)用這兩種知識展開幾何認(rèn)知活動(dòng)。其意義是使學(xué)習(xí)者頭腦中形成深水平理解的幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)，減輕幾何知識的記憶負(fù)擔(dān)，縮小高級和低級幾何知識的差距，提高班級幾何學(xué)習(xí)的整體水平。文章圍繞線段、射線、直線和角以及矩形和圓等幾何知識結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化過程，對“梳理點(diǎn)狀概念知識策略”“連接組塊知識策略”“課內(nèi)復(fù)習(xí)向課外延伸教學(xué)策略”三大策略進(jìn)行分拆、論述和活動(dòng)設(shè)計(jì)，為該領(lǐng)域的教學(xué)研究提供案例和經(jīng)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)幾何；知識結(jié)構(gòu)化；知識經(jīng)驗(yàn)化；策略

傳統(tǒng)小學(xué)幾何知識復(fù)習(xí)的做法是：花最少時(shí)間，教師把階段幾何知識(概念、算法)簡單地羅列出來，再讓學(xué)生進(jìn)行大量的習(xí)題訓(xùn)練，形成熟練運(yùn)用知識和解題的技能，最終目的是取得優(yōu)良成績。本研究認(rèn)為：幾何復(fù)習(xí)既要重視雙基的落實(shí)，更應(yīng)重視幾何二次認(rèn)知中的知識關(guān)聯(lián)性建構(gòu)和整體性認(rèn)知，要讓每位學(xué)生梳理自己階段知識學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)、方法和經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)入對幾何知識的深度理解(相對本學(xué)段的)，為后續(xù)幾何知識學(xué)習(xí)做好充分儲備(知識和能力)。為此，筆者嘗試用系列活動(dòng)讓學(xué)生將自己分課時(shí)學(xué)得的幾何知識進(jìn)一步結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化，從而貫徹落實(shí)“四基四能”的新課標(biāo)。

一、幾何知識結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化的理性思考

1.幾何知識結(jié)構(gòu)化的意義

美國心理學(xué)家、教育學(xué)家布魯納曾在《教育過程》的引論中告訴我們：“無論什么課，務(wù)必要使學(xué)生理解這些科目的基本結(jié)構(gòu)，這是使用知識、運(yùn)用知識處理課外問題和事件，或者處理日后課堂訓(xùn)練中遇到的問題的最起碼要求。遷移這一經(jīng)典問題的核心，是結(jié)構(gòu)的教授與學(xué)習(xí)，而不是單純地對事實(shí)和技巧的掌握?！薄叭绻捌诘膶W(xué)習(xí)是為了使后期的學(xué)習(xí)變得更簡單，那么必須有一張輪廓圖，盡可能清晰地反映前期和后期遇到的事物之間的關(guān)系。”其中的“基本結(jié)構(gòu)”“輪廓圖”對幾何學(xué)習(xí)來說，即指“幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)”。它是幾何知識結(jié)構(gòu)與學(xué)生個(gè)體心理結(jié)構(gòu)相互作用的產(chǎn)物，是學(xué)生在經(jīng)歷感知、思維想象、記憶、表象等幾何認(rèn)知活動(dòng)中，在元認(rèn)知的調(diào)控下把幾何知識內(nèi)化到頭腦中，所形成的一個(gè)具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu)。它主要由幾何知識、幾何經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知操作構(gòu)成，所以，幾何知識結(jié)構(gòu)化就是指個(gè)體形成幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。

個(gè)體良好的幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)，必須經(jīng)歷自己對幾何知識和幾何經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)知操作才能建構(gòu)起來，很難想象不經(jīng)歷對單位課時(shí)的幾何知識進(jìn)行系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)化復(fù)習(xí)，就能自然而然地形成個(gè)體良好的幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)。解題技能可以借助于習(xí)題訓(xùn)練，而幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)是不能僅靠習(xí)題訓(xùn)練習(xí)得，尤其對于幾何能力較差的學(xué)生而言，正如布魯納所指出的：“強(qiáng)調(diào)學(xué)科結(jié)構(gòu)的優(yōu)秀教學(xué)，對能力較差的學(xué)生比對那些有稟賦的學(xué)生而言，或許更為寶貴?！?/p>

單元幾何知識結(jié)構(gòu)化的益處主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：首先，單位課時(shí)習(xí)得的幾何知識是松散的，以點(diǎn)狀分布的，對每一知識點(diǎn)有完整認(rèn)知，但缺乏對系統(tǒng)中其他知識點(diǎn)的結(jié)構(gòu)聯(lián)系。從這點(diǎn)而論，可以說它還處于淺水平的習(xí)得。在復(fù)習(xí)中經(jīng)過對幾何知識點(diǎn)的概念與概念串珠成鏈，概念與方法、方法與方法組鏈成塊，讓學(xué)生看清概念間的、組塊間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，用感知、推演、析取等認(rèn)知操作組建幾何知識整體結(jié)構(gòu)，就會在學(xué)習(xí)者頭腦中形成深水平理解的幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)，如復(fù)習(xí)后理解“角是射線旋轉(zhuǎn)而成，圓是線段旋轉(zhuǎn)360°而成”。其次，深水平理解的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有利于后期新知識的同化學(xué)習(xí)和順應(yīng)學(xué)習(xí)。如“線段旋轉(zhuǎn)形成圓的思維結(jié)構(gòu)”就有利于遷移建構(gòu)“矩形旋轉(zhuǎn)形成圓柱或半圓旋轉(zhuǎn)形成球的思維結(jié)構(gòu)”。同時(shí)，也有利于遷移組塊知識解決一些復(fù)雜的問題。最后，復(fù)習(xí)中組織好幾何知識既可以提高知識的利用效率，又能減輕幾何知識的記憶負(fù)擔(dān)，縮小高級和低級幾何知識的差距，不因?yàn)橹R的零散而模糊或遺忘，更能拓展幾何認(rèn)知記憶的容量。

2.幾何知識經(jīng)驗(yàn)化的意義

當(dāng)代認(rèn)知理論認(rèn)為：人類通過認(rèn)知活動(dòng)所獲得的知識，既包括語言、文字或符號等方式表現(xiàn)出來的明確知識之外，還存在一種非理性的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、體會和感悟等默會知識。默會知識在整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)中起著重要的作用。幾何學(xué)習(xí)活動(dòng)中也存在著明確知識和默會知識，如認(rèn)識圓時(shí)，圓的定義、圓心、半徑、直徑等概念是明確知識，而在畫圓活動(dòng)中體會感悟出“圓心決定方位，半徑?jīng)Q定圓的大小”這種經(jīng)驗(yàn)體會，這就是默會知識。幾何知識經(jīng)驗(yàn)化就是讓個(gè)體在建構(gòu)認(rèn)知形式化的幾何概念、幾何方法等明確知識的過程中，感悟出隱藏在活動(dòng)情景背后的幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)(默會知識)，并且能同時(shí)運(yùn)用這兩種知識展開幾何認(rèn)知活動(dòng)。

幾何知識經(jīng)驗(yàn)化的目的是將幾何的明確知識和默會知識融合起來，形成應(yīng)用中的互動(dòng)，讓默會知識(經(jīng)驗(yàn))去支撐或加深對明確知識的理解，反之使明確知識在運(yùn)用中產(chǎn)生更豐富的默會知識。因?yàn)槟瑫R是個(gè)體的幾何實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)、幾何解題經(jīng)驗(yàn)和幾何思維經(jīng)驗(yàn)，帶有明顯的個(gè)體特性和情景、條件特征。它能夠起到對明確知識的活化作用，可以提高個(gè)體建構(gòu)新知識的可能性，提高解決復(fù)雜幾何問題的可能性。如：有了“圓心定位、半徑定圓大小”的經(jīng)驗(yàn)，就能提高“在矩形中作最大圓”的解題能力，“作對角線用矩形中心定位求作大圓圓心，再用矩形中心到長邊的距離為半徑”就能解答此題。

我們把班級視為學(xué)習(xí)型組織，幾何知識經(jīng)驗(yàn)化還有一個(gè)重要意義。根據(jù)野中郁次郎的組織學(xué)習(xí)理論可知，組織中的默會知識有一個(gè)公共化周期，最初發(fā)生在個(gè)體幾何認(rèn)知中，處于無語狀態(tài)，是一種感悟或體驗(yàn)的隱性態(tài)。當(dāng)這種感悟或體驗(yàn)成熟后，個(gè)體就會用隱喻的方式和外界交流，如果多種交流匯合就可能發(fā)展成一個(gè)語意表達(dá)的幾何經(jīng)驗(yàn)(顯性態(tài))。由于有了語言表達(dá)的可能，那么，初始的個(gè)體(小群體)感悟或體驗(yàn)就會以間接經(jīng)驗(yàn)方式傳播給組織的每一位人員，成為全班的公共幾何默會知識。這將大大提高班級幾何學(xué)習(xí)的整體水平，為后期的新知學(xué)習(xí)創(chuàng)造了條件。如：“射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)成角”的經(jīng)驗(yàn)是“順時(shí)針轉(zhuǎn)角越轉(zhuǎn)越大，逆時(shí)針轉(zhuǎn)角越轉(zhuǎn)越小”，這為以后建構(gòu)“角的分類中的正角、負(fù)角概念，直角坐標(biāo)系中討論象限角、軸線角”創(chuàng)造了條件。

二、幾何知識結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化的分析與構(gòu)思

從一年級至四年級上半學(xué)期的幾何知識教材內(nèi)容編排的整體性出發(fā)，筆者整理出了下表，如表1所示：

表1　一年級～四年級教材幾何知識整理表

隨著年級升高，幾何課時(shí)量逐漸增多，幾何知識內(nèi)容逐漸擴(kuò)展，到四年級下學(xué)期學(xué)生初步認(rèn)識了四種基本圖形：線段、射線、直線和角，已開始認(rèn)識由基本圖形組成的日常生活中常見的圖形：長方形、正方形、三角形、圓。在各種圖形的學(xué)習(xí)中，學(xué)生既探究了圖形的特征，又討論了組成圖形的各元素之間的關(guān)系、圖形和圖形間的關(guān)系，也積累了一系列的平面幾何認(rèn)識經(jīng)驗(yàn)。問題是這種螺旋式認(rèn)知安排，一個(gè)知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)周期跨度多的達(dá)三年，如線段的認(rèn)識和角的認(rèn)識，最少也要跨學(xué)期。所以，形成的幾何知識結(jié)構(gòu)中，很可能是碎片化的知識結(jié)構(gòu)和無序的幾何經(jīng)驗(yàn)，對后期的幾何知識學(xué)習(xí)會產(chǎn)生負(fù)面影響。筆者認(rèn)為，本學(xué)期有必要讓學(xué)生對已學(xué)幾何知識進(jìn)行梳理，一方面把點(diǎn)狀的幾何知識組建成塊面的幾何知識，另一方面尋找組塊幾何知識間的聯(lián)系，使組塊知識網(wǎng)絡(luò)化。同時(shí)整理出點(diǎn)狀學(xué)習(xí)時(shí)的經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)一些組塊知識經(jīng)驗(yàn)。把學(xué)習(xí)進(jìn)程推向深度理解(情景化理解、條件化理解和結(jié)構(gòu)化理解)，讓幾何知識和幾何經(jīng)驗(yàn)高度融合，形成個(gè)性化的理解。

第一，把線段、射線和直線結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化，用直線概念來統(tǒng)合線段和射線概念。初步得出“線段、射線都是直線的一部分”(見圖1)：

圖1　線段、射線和直線概念整合圖

再把各自的端點(diǎn)數(shù)、可延長性、可度量性統(tǒng)一起來；最后把符號表示統(tǒng)一起來；用兩個(gè)大寫字母表示或一個(gè)小寫字母表示。并且梳理出點(diǎn)和線(線段、射線、直線)之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)；直線和射線表示差異經(jīng)驗(yàn)。

第二，將二次角的分類統(tǒng)一起來，把二年級靜態(tài)學(xué)習(xí)的直角、銳角、鈍角與四年級動(dòng)態(tài)認(rèn)識的平角、周角整合到一個(gè)圖式情景中(見圖2)，讓學(xué)生在“射線繞端點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)”中，動(dòng)態(tài)地歸納出：從特殊情況的0°(射線原形)旋轉(zhuǎn)到90°(不包括90°)中間有無數(shù)個(gè)銳角，從90°(不包括90°)旋轉(zhuǎn)到180°(不包括180°)中間有無數(shù)個(gè)鈍角，當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)回到原來位置時(shí)，形成了三個(gè)定值的角：直角、平角和周角。同時(shí)讓學(xué)生體會出“旋轉(zhuǎn)中角在變化，邊的長短有無變化，角的變大變小和邊的什么有關(guān)、什么無關(guān)”；體會出“量角、畫角怎樣用量角器，怎樣讀出度數(shù)”等經(jīng)驗(yàn)。

圖2　角分類的動(dòng)態(tài)演示圖

第三，將圓概念和矩形認(rèn)識聯(lián)系起來，讓學(xué)生在作出“矩形中最大圓”的實(shí)踐中，將最大圓半徑和矩形短邊一半聯(lián)系上，將圓心和矩形中心聯(lián)系上，體會出“圓心決定圓位置，半徑?jīng)Q定圓面積大小”的經(jīng)驗(yàn)，以及“矩形中畫最大圓怎樣定圓心、定半徑”的經(jīng)驗(yàn)等(如圖3)。

圖3　圓與矩形關(guān)系圖

對上述三個(gè)知識組塊又怎樣聯(lián)系起來織成網(wǎng)絡(luò)呢？我們可以用射線旋轉(zhuǎn)來串聯(lián)第一和第二知識組塊，讓學(xué)生思考線段、射線和直線旋轉(zhuǎn)，哪個(gè)能形成角？為什么？問題討論完，兩個(gè)組塊的知識就黏合在一起了。我們可以旋轉(zhuǎn)線段來串聯(lián)圓和第一塊知識，可以同樣地問：線段、射線和直線中，誰能旋轉(zhuǎn)成圓呢？為什么？這樣就能把圓和第一塊知識黏合起來，從而形成三大組塊知識的內(nèi)在整合。讓學(xué)生經(jīng)歷這種幾何知識整合過程，可以形成幾何知識整體化組織的經(jīng)驗(yàn)和感受，懂得知識是有聯(lián)系的，運(yùn)用時(shí)應(yīng)系統(tǒng)化思考問題。

三、幾何知識結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化的教學(xué)策略和學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)

1.梳理點(diǎn)狀概念知識的策略與活動(dòng)設(shè)計(jì)

(1)閱讀反思表格歸納策略

閱讀反思表格歸納是指讓學(xué)生對一個(gè)階段學(xué)習(xí)的概念知識進(jìn)行重溫，可以是重讀已學(xué)教材，可以翻閱本階段的作業(yè)練習(xí)、錯(cuò)題本和測試卷，也可以查閱平時(shí)獨(dú)立自學(xué)的輔導(dǎo)書，然后按照一定要求、范圍，把一系列概念知識整理成一個(gè)結(jié)構(gòu)組塊的教學(xué)方法。

這一過程能使每位學(xué)生經(jīng)歷知識打包的過程，在反思中找到單點(diǎn)知識間的聯(lián)系與區(qū)別，還能在整體中深度理解單點(diǎn)知識，這樣就為個(gè)體知識的情景化、條件化、結(jié)構(gòu)化奠定了基礎(chǔ)，為活化個(gè)體應(yīng)用知識創(chuàng)造了條件。

例如：在對直線、射線、線段反思?xì)w納時(shí)，可以重溫教材第一冊第56～57頁、第七冊第79～80頁，以及相應(yīng)的作業(yè)練習(xí)或輔導(dǎo)材料，讓學(xué)生按表格要求整理知識組塊，然后遷移組塊知識去解決問題(具體見表2、圖4)，在解答問題后總結(jié)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

表2　線段、射線、直線知識整理表

圖4　線段、射線、直線知識反饋圖

(2)視頻解讀圖式化概括策略

視頻解讀圖式化概況策略是教師設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)連貫的、反映知識發(fā)生過程的視頻課件，同時(shí)設(shè)計(jì)好觀后需思考的問題串，讓學(xué)生邊觀察圖式的變化過程邊思考問題，也可以邊觀察邊開展小組討論，學(xué)生在觀察、思考、討論中形成圖式化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一種教學(xué)方法。

這種方法能使學(xué)生在動(dòng)態(tài)圖象變化中，找出知識間的聯(lián)系與區(qū)別，能把點(diǎn)狀知識組建成知識網(wǎng)絡(luò)圖象，有利于記憶和儲存，也有利于知識的整體遷移。

例如：在角的定義、分類、度量、關(guān)系的復(fù)習(xí)中，教師可以制作動(dòng)態(tài)視頻課件(如圖2)，同時(shí)設(shè)計(jì)問題串(如圖5)：

1.你見到一條什么線?正在做怎樣的轉(zhuǎn)動(dòng)?(集體討論)2.除了二年級用邊來描述角的意義,你現(xiàn)在能用射線來描述角的意義嗎?(小組討論)3.按照從0°旋轉(zhuǎn)到360°,你一共見到了哪幾種角?次序是怎樣的?(個(gè)體填空)4.如果把旋轉(zhuǎn)出的角看成畫角的過程,你認(rèn)為畫角有哪幾步工作?怎樣讀出角的度數(shù)?(小組討論)5.觀看了此視頻課件,你發(fā)現(xiàn)還有哪些關(guān)于角的知識沒復(fù)習(xí)到?(小組討論)

圖5射線與角的關(guān)系的提問圖

教師在完成觀看視頻后，提示學(xué)生可以用這樣的圖來記憶、儲存角的知識，解題時(shí)可以想一想這個(gè)圖是怎么告訴我們的。

(3)習(xí)題解答經(jīng)驗(yàn)提取策略

習(xí)題解答經(jīng)驗(yàn)提取策略是教師把需組合的知識、方法、經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)到習(xí)題中，讓學(xué)生在解題的過程中，把知識、經(jīng)驗(yàn)、方法組合起來的一種教學(xué)方法。它既有組合知識的功能，還有提高解題能力的功能。

例如：復(fù)習(xí)由線段形成的圖形時(shí)，我們可以設(shè)計(jì)前面如圖3的習(xí)題：在邊長為4厘米的正方形或長8厘米、寬4厘米的長方形中，畫一個(gè)最大的圓。

教師在解題前布置解題后的討論提綱：作畫過程中，你是怎樣確定圓心的？你又是怎么確定半徑的？這樣的解題用到前面哪些知識經(jīng)驗(yàn)？

2.組塊知識連接的策略與活動(dòng)設(shè)計(jì)

(1)基本圖形運(yùn)動(dòng)蛻變策略

基本圖形運(yùn)動(dòng)蛻變策略是讓學(xué)生操作基本圖形的學(xué)具，使其在運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生生活中常見的圖形(或形體)，從而發(fā)現(xiàn)基本圖形和常見圖形(或形體)之關(guān)系的一種聯(lián)系性教學(xué)方法。

例如：課前讓學(xué)生自制一件“打甩”，讓學(xué)生拿著一頭打圈甩開就能發(fā)現(xiàn)生活中存在的圓。然后總結(jié)出：握點(diǎn)是什么？另一端掛物怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)？“打甩”類似我們學(xué)過的線段，還是射線或直線呢？射線和直線能轉(zhuǎn)出圓嗎？思考完一系列問題后,學(xué)生自然而然地將線段和圓關(guān)聯(lián)起來,從而也把基本圖形和日常生活圖形組織起來了。

(2)問題思辨質(zhì)疑策略

問題思辨質(zhì)疑策略是學(xué)生思考兩個(gè)組塊知識聯(lián)系的問題，找出它們的聯(lián)系點(diǎn)從而把知識整合起來的教學(xué)方法。

例如，復(fù)習(xí)中為了把“線段、射線、直線和角”兩塊知識聯(lián)系起來，教師可以提出問題：線段、射線、直線中，哪些線旋轉(zhuǎn)會產(chǎn)生角？為什么？學(xué)生根據(jù)角的動(dòng)態(tài)定義進(jìn)行說明后，就能將兩種基本圖形知識聯(lián)結(jié)起來了。

3.課內(nèi)復(fù)習(xí)向課外延伸策略

課內(nèi)向課外延伸策略是一個(gè)將課堂集體復(fù)習(xí)活動(dòng)中產(chǎn)生的班級集體公共知識轉(zhuǎn)化成個(gè)人自有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，就是課后學(xué)生參考課堂復(fù)習(xí)經(jīng)歷的知識認(rèn)知系統(tǒng)，獨(dú)立地用自己的方式呈現(xiàn)出來的一個(gè)過程。當(dāng)然也可以課后，通過自組織形式來完成自己的知識復(fù)習(xí)構(gòu)建。

本研究嘗試該策略，讓學(xué)生再經(jīng)歷公共知識私有化的過程，效果較為理想。好的學(xué)生能基本結(jié)構(gòu)化地反饋出自己的幾何知識，平時(shí)水平一般的學(xué)生能局部地反饋?zhàn)约旱膸缀沃R。

四、反思幾何知識結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化后的變化

當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了幾何知識結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化以后，在期終復(fù)習(xí)和期末測試中就有了不小的變化。

平時(shí)練習(xí)中解答“矩形和圓關(guān)聯(lián)”的習(xí)題錯(cuò)誤率較高，而在總復(fù)習(xí)和期末測試中正確率有了明顯提高，說明學(xué)生能把圓的概念知識、圓的定位經(jīng)驗(yàn)、圓的定大小經(jīng)驗(yàn)和矩形的知識經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來，獲得了求解此類問題的思想方法。

圖6　幾何知識經(jīng)驗(yàn)變化圖a

圖7　幾何知識經(jīng)驗(yàn)變化圖b

對比圖6和圖7中學(xué)生的解題過程，我們可以推斷以下兩方面的變化發(fā)展：

第一，從簡單直接遷移運(yùn)用知識變化發(fā)展到能用組塊性的結(jié)構(gòu)化知識來析題和解題。例如圖6第2題，相當(dāng)部分學(xué)生誤把大圓半徑當(dāng)作小圓半徑，說明學(xué)生缺乏跨知識鏈的推理能力，只能直接運(yùn)用半徑、直徑概念關(guān)系來尋找答案，而不能作出“大圓半徑為8厘米→大圓半徑為正方形邊長→小圓直徑等于正方形邊長就等長于大圓半徑→所以小圓半徑就是大圓半徑的一半→是8÷2=4(厘米)的推理分析”。到了期末圖7第1題，大部分學(xué)生在析題解題中都已經(jīng)能夠作出“組塊性、結(jié)構(gòu)化運(yùn)用知識”的推理分析了。如“圓半徑為4分米→圓的直徑等于正方形邊長→正方形周長就等于4個(gè)直徑→所以正方形周長是4×2×4=32(分米)，正方形面積是(4×2)×(4×2)=64(平方分米)”。由此可得出經(jīng)驗(yàn)性判斷：學(xué)生的幾何知識結(jié)構(gòu)化程度提高了。

第二，知識和經(jīng)驗(yàn)分離變化發(fā)展到知識和經(jīng)驗(yàn)融合，并遷移運(yùn)用。例如，圖6第1題由于“圓心定位、半徑定大小”的經(jīng)驗(yàn)還沒有和“長方形中最大圓的直徑或半徑”聯(lián)系起來，所以誤認(rèn)為半徑是寬的一半，那么直徑就是長的一半。當(dāng)期末兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)已和長方形的對角線交點(diǎn)(中心)、內(nèi)部大圓半徑或直徑相聯(lián)系，就有了這樣的遷移運(yùn)用推理：“長方形內(nèi)畫最大圓→圓心在長方形的中心(對角線交點(diǎn)上)→最大圓的直徑不能大于寬，否則會畫出長方形， 所以最大圓直徑就等于寬→用寬的一半做半徑，以對角線交點(diǎn)為圓心就能畫出長方形內(nèi)最大圓”?？梢娖谀?0%以上學(xué)生能正確解答“矩形中畫最大圓”的題目，證明學(xué)生把幾何知識和幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)融合的程度大大增加了。

還有在平時(shí)練習(xí)中，學(xué)生對一些概念填空和判斷總是會產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤，到總復(fù)習(xí)后，同類的概念題的錯(cuò)誤率明顯減少。說明通過概念結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化作業(yè)后，概念的清晰程度提高了，學(xué)生能在概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中用分析性思辨去解決問題，而不是單點(diǎn)知識學(xué)習(xí)后，用那種機(jī)械識記性的工具性思維來思考問題，如圖8所示：

判斷:1.當(dāng)直角的兩條邊長度擴(kuò)大2倍就成為一個(gè)平角。原(√)現(xiàn)(×)2.兩條射線相加等于一條直線。原(√)現(xiàn)(×)3.線段比射線短,射線比直線短。原(√)現(xiàn)(×)4.鈍角的一半一定是銳角。原(×)現(xiàn)(√)填空:1.一個(gè)圓周被分成180等份,每份所對的角是(原1°,現(xiàn)2°)。2.鐘面上12時(shí)30分時(shí),時(shí)針和分針?biāo)鶌A的較小的角是(原180°,現(xiàn)165°)。

圖8幾何概念認(rèn)知變化圖

從圖8的判斷中可以看出學(xué)生第三方面的變化：從“靜止的經(jīng)驗(yàn)知識概念遷移判定”變化發(fā)展到“用動(dòng)態(tài)的知識概念鏈來推斷命題的真?zhèn)巍?。如原來“線段比射線短，射線比直線短”判對時(shí)學(xué)生這樣想：線段有兩端點(diǎn)、不能延長；射線有一端點(diǎn)、可一邊延長；而直線無端點(diǎn)、可兩邊延長。所以兩邊延長的比一邊延長的肯定長。而經(jīng)過復(fù)習(xí)后，把線段、射線、直線知識結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化了，他們從整體結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)來思考三者關(guān)系：線段有兩端點(diǎn)可度量，所以相對射線、直線短，可是射線、直線都可以無限延長，又都不可以度量，要多長就能延長多長，所以是無法比較長短的。從中可見，學(xué)生的幾何思維已經(jīng)從“機(jī)械的、量上的性狀推斷”變化發(fā)展到“本質(zhì)的、性狀的、抽象的性狀推斷”。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。蘇霍姆林斯基曾說：“在人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個(gè)開拓者、研究者和探索者。而在兒童的精神世界中，這種需要特別強(qiáng)烈?！痹趶?fù)習(xí)階段讓學(xué)生自主地將幾何知識結(jié)構(gòu)化、經(jīng)驗(yàn)化，無疑是滿足學(xué)生學(xué)習(xí)意識發(fā)展需要、提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、利于學(xué)生提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種有效方式。正如學(xué)生課后談到的感想：“通過這次的單元總結(jié)及整理，不但鞏固了本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容知識,使我對于這些圖形的概念更清楚了，發(fā)現(xiàn)了這些幾何知識間的聯(lián)系，還使我單元測驗(yàn)的成績有了明顯的提升。”“我覺得這種學(xué)習(xí)的方法我很喜歡,以后在復(fù)習(xí)階段我會試著這樣整理知識?！蔽覀兊慕虒W(xué)目標(biāo)也正是如此。

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Elementary Geometry Knowledge Structured and Experience of Teaching Strategy Research

WANG Yan

(Shanghai Xiangyang Primary School of Xuhui District , Shanghai 200032)

Abstract:Elementary geometry structured experiential knowledge refers to the process of individual cognitive structure geometry, it makes the individual in cognitive formalized concept geometry, geometry method, and explicit knowledge based on the relationship between their respective activities, feeling out of hiding behind the activity scene geometry activity experience, and can also use these two kinds of knowledge on geometric cognitive activity. Its significance is to make learners form a deep level of understanding in the mind of the geometry of cognitive structure, lighten the burden of memory geometry knowledge, close the gap between superior and inferior geometry knowledge, improve the overall level of learning geometry class. In this paper, around a line segment, ray, linear and angle; rectangle and circle geometry knowledge structured experience process, such as the concept of “combing point of knowledge strategy”, “connection group pieces of knowledge strategy”, “the review to the extra-curricular activities teaching strategy” three major strategies are analyzed, and activity design, to provide the teaching and research in the field of cases and experience.

Key words:elementary, geometric, structured knowledge, experienced knowledge, strategy

作者簡介：王燕，上海市人，上海市徐匯區(qū)向陽小學(xué)高級教師，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)研究。