楊占立，范百興，西　勤，王瑞鵬

(信息工程大學(xué)，河南 鄭州 450001)

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TLS算法在參考球標(biāo)定場中的應(yīng)用

楊占立，范百興，西勤，王瑞鵬

(信息工程大學(xué)，河南 鄭州 450001)

摘要：精密工程測量領(lǐng)域，對儀器有著極高的要求，需要定期對儀器的各項性能指標(biāo)進(jìn)行檢定。儀器的檢定和精度標(biāo)定都需要有一定的基準(zhǔn)，并用來評價儀器的性能。文中以球體為基準(zhǔn)建立空間標(biāo)定場，提出利用TLS(整體最小二乘平差)算法擬合球面的方法，并對比分析該方法的可行性；提出在滿足精度要求下，參考球的選擇方法；理論加實例分析，驗證該方法的合理性。

關(guān)鍵詞：算法；參考球；基準(zhǔn)；儀器檢定

空間中測量4個不共面的點，能夠擬合得到參考球面在測量坐標(biāo)系下的方程，但是對于測量精度要求極高的條件下，就需要對參考球進(jìn)行多余表面點測量，增加多余觀測來獲取最佳的方程參數(shù)值。參考球在測量領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用，特別是掃描儀的點云拼接及檢定；針對不同精度的測量儀器，通過對參考球進(jìn)行測量，擬合球面方程來對測量儀器的精度進(jìn)行檢定或者評定，如激光跟蹤儀的動態(tài)測量精度分析等。目前，高精度的參考球造價非常昂貴，考慮到經(jīng)濟(jì)性，本文提出采用參考球選定的方法來建立空間標(biāo)定場；最大程度提高測量精度，對參考球的擬合算法進(jìn)行改進(jìn)，提出TLS(整體最小二乘)擬合球面方程的算法，并對比分析，驗證該算法的可行性。

1參考球面的空間方程

在空間中，利用參考球面可以獲取較多的點位信息，例如可以利用三維激光掃描儀掃描參考球，并進(jìn)行儀器的檢驗和精度評定?？臻g中球面的方程為

(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2(r≥0)

(1)

式中：(a,b,c)表示參考球的球心;r表示參考球的半徑。將式(1)展開并移項得

x2+y2+z2=2xa+2yb+2zc+r2-a2-b2-c2.

(2)

再進(jìn)行球面方程擬合的過程，利用式(2)采用整體最小二乘進(jìn)行平差計算。

對精度進(jìn)行評定，在此采用最小二乘的方法，需要計算測量點到擬合球面的距離

(3)

式中：(xi,yi,zi)(i=1,2,3，…，n;n≥4)表示測量點的坐標(biāo)。

2球面擬合的TLS迭代法

AT901型激光跟蹤儀測量球面點位坐標(biāo)，其標(biāo)稱點位精度為±(15 μm+6 μm/m)，在精密工程領(lǐng)域?qū)儆诟呔鹊臏y量儀器[1]，因此，本文利用該儀器測量參考球面點位坐標(biāo)，根據(jù)至少4個不共面的點擬合球面在測量坐標(biāo)系下的方程。根據(jù)式(2)可得

2xia+2yib+2zic+r2-a2-b2-c2.

(4)

將式(4)寫成矩陣形式為

(5)

矩陣表示：

測量過程中，觀測值不可避免的要存在誤差，因此式(5)可寫成

(6)

構(gòu)成典型的EIV(error in variables)模型[2]，即采用整體最小二乘平差(TLS)[3]方法進(jìn)行求解。本文考慮到觀測值誤差的存在，采用迭代法逐步求解[4]。

然后根據(jù)TLS迭代解法，得到迭代方程

(7)

(8)

最后依照整體最小二乘迭代步驟進(jìn)行求解[5]，步驟如下：

5)計算兩次得到的未知參數(shù)之差，如果差值大于規(guī)定好的值，則重復(fù)1～4步驟，直到滿足條件為止。

通過TLS迭代算法得到空間參考球面在激光跟蹤儀坐標(biāo)系下的方程，并以此方程參數(shù)為基準(zhǔn)評價其它測量儀器的精度。

為了證明TLS算法的可行性，與最小二乘平差進(jìn)行對比。最小二乘算法同樣基于方程(4)，其模型為

(9)

W=BX0-l.

(10)

式中：X0為參考球方程參數(shù)的近似值，B與l表示：

(11)

最小二乘并沒有對系數(shù)陣加入改正，平差過程比較簡單，參照條件平差[6]。

3擬合精度分析

目前對于球度形狀誤差的評定一般借鑒圓度、圓柱度誤差的評定方法，常用的有4種模型：最小包容區(qū)域法、最小外接球法、最大內(nèi)接球法、最小二乘法[7]。本文采用最小二乘法進(jìn)行精度評定。

通過迭代法得到參考球面方程中的4個未知參數(shù)a,b,c,r，并計算測量球面上的點到擬合球面的距離

(12)

利用最小二乘對球度誤差評定，求得球度中誤差

(13)

根據(jù)最小二乘平差擬合球面方程得到的參數(shù)為a0,b0,c0,r0，代入式(9)、式(10)計算擬合球面的精度μ′。比較μ與μ′的大小，對兩種球面擬合算法進(jìn)行分析，驗證TLS算法的可行性。

最小包容區(qū)域球是指包容被測實際輪廓且半徑差為最小的兩同心球,該兩同心球的半徑差即為最小包容區(qū)域球度誤差[7-8]，

f=min(Rmax-Rmin).

(14)

式中：Rmax,Rmin分別表示最大和最小的球的半徑。

4數(shù)據(jù)處理與球度需求分析

4.1數(shù)據(jù)處理

利用激光跟蹤儀測量掃描儀標(biāo)定場內(nèi)的參考球，為了達(dá)到較好的擬合度，實驗中每個參考球表面測量6個點。在此選取3個參考球進(jìn)行分析，測量數(shù)據(jù)見表1。

表1　激光跟蹤儀測量數(shù)據(jù)　mm

首先利用最小二乘算法對激光跟蹤儀測量點進(jìn)行處理，得到的球面方程參數(shù)見表2。

表2　最小二乘算法擬合結(jié)果　mm

將球面方程轉(zhuǎn)換為EIV模型，采用TLS算法進(jìn)行迭代計算。首先要計算參數(shù)的初始值，在此按照參考球表面測量的1，2，3，4號點確定參數(shù)初始值，見表3。

表　3　參考球面參數(shù)的初始值　mm

根據(jù)式(7)、式(8)進(jìn)行迭代計算得到參考球面參數(shù)第一次迭代值，見表4。

表4　第一次迭代結(jié)果　mm

同理按照式(7)、式(8)進(jìn)行第二次迭代，結(jié)果見表5。

表5　第二次迭代結(jié)果　mm

確定迭代次數(shù)時，要先設(shè)定參數(shù)兩次迭代的限差，如果兩次迭代結(jié)果的差值小于限差，則取最后一次的迭代值為參數(shù)值。將第二次迭代參數(shù)減去第一次迭代參數(shù)結(jié)果記錄見表6。

表6　一、二次迭代參數(shù)的差值　mm

從表6可以看出，兩次迭代參數(shù)的差值很小，因此將第二次迭代結(jié)果作為最終的參數(shù)。至此，得到擬合參考球面的兩種結(jié)果，現(xiàn)對這兩種結(jié)果進(jìn)行對比分析。

表2為最小二乘算法擬合得到的結(jié)果，表5為TLS算法迭代2次得到的結(jié)果，現(xiàn)利用兩次得到的結(jié)果分別計算參考球的最小二乘球度誤差，結(jié)果見表7。

表7　最小二乘球度誤差對比結(jié)果　mm

從表7中計算結(jié)果對比可以看出，TLS算法所計算出的最小二乘球度誤差要小于最小二乘算法計算值，因此，本文的TLS算法在球面擬合過程具有相對較高的精度，該方法具有可行性。

4.2球度需求分析

對球度需求進(jìn)行分析時，在此選用表5 中的參數(shù)值，并按照式(9)～式(11)計算參考球最小二乘球度誤差和最小包容域球度誤差，結(jié)果見表8。

表8　參考球精度計算結(jié)果　mm

目前為止，除了短距離掃描儀精度能達(dá)到±0.018mm，其余掃描儀的精度最高能達(dá)到±1mm[9]。因此，上述3個參考球都能對大多數(shù)三維激光掃描儀進(jìn)行檢定和精度評定。但是對于其它工業(yè)儀器的檢定和評定，要根據(jù)儀器的精度進(jìn)行選擇，在此依據(jù)最小包容域精度進(jìn)行選擇，具體流程如下：

1)獲取儀器正常工作狀態(tài)下的標(biāo)稱點位精度，用a來表示；

3)選擇包容域精度滿足要求的參考球，例如對于標(biāo)稱點位精度為±0.1mm的儀器進(jìn)行檢定，其需要的參考球包容域精度至少為0.067mm，即球Q12剛好滿足要求。

進(jìn)行儀器檢定時，參考球的精度越高越好，但是高精度的參考球造價費用相當(dāng)高，因此本文在對不同儀器所需參考球的精度進(jìn)行分析，提出參考球的選擇方法，在滿足要求的前提下，更具經(jīng)濟(jì)性。

5結(jié)束語

從球面的空間方程入手，提出利用TLS對球面進(jìn)行擬合的算法，通過實例計算并與最小二乘算法進(jìn)行對比分析，得出該方法的可行性；在空間標(biāo)定場的建設(shè)方面，提出利用最小包容域精度值選擇參考球的方法，理論上分析該方法在標(biāo)定場應(yīng)用中具有合理性和經(jīng)濟(jì)性。本文只是利用TLS算法對激光跟蹤儀測量的數(shù)據(jù)進(jìn)行球面的擬合，并沒有對其它儀器(如掃描儀等)測量數(shù)據(jù)進(jìn)行計算分析，因此對參考球選擇方法還需進(jìn)一步的驗證，這將是下一步研究工作的重點。

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：張德福]

Application of TLS to the reference ball calibration field

YANG Zhanli,FAN Baixing，XI Qin，WANG Ruipeng

(Information Engineering University,Zhengzhou 450001,China)

Abstract：The field of survey requires high accuracy instrument,which needs checking out all performance indices of instruments periodically.Verification and precision calibration both need a certain benchmark to evaluate the performance of instruments in a rigorous data-processing way.Therefore,this paper based on calibration fieled established by reference balls raises a procedure using TLS to fit the ball,and analyzes its feasibility.Under the demand of precision,it proposes a method of choosing the reference balls.Several analyses about theories and examples are made to verify its feasibility.

Key words：TLS；reference balls；benchmark；calibration of instruments

DOI:10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2016.09.009

收稿日期：2015-06-18

作者簡介：楊占立(1990-)，男，碩士研究生.

中圖分類號：P207

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1006-7949(2016)09-0040-04