直線與雙曲線的相交問(wèn)題
——教材原題變式拓展（一）

蔣麗亞

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思維訓(xùn)練營(yíng)/例題延伸

直線與雙曲線的相交問(wèn)題
——教材原題變式拓展（一）

蔣麗亞

課本例題和習(xí)題是同學(xué)們理解、掌握知識(shí)的載體，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師可以根據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)和同學(xué)們交流反饋的信息精選題目，并通過(guò)變式訓(xùn)練讓同學(xué)們?cè)诮獯鹛剿鬟^(guò)程中深化對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用.下面我們以“反比例函數(shù)”這一章中的一道課本習(xí)題為例，對(duì)它進(jìn)行一些變式探究，來(lái)解決直線與雙曲線的交點(diǎn)問(wèn)題.

（1）求k的值，并畫(huà)出這個(gè)反比例函數(shù)的圖像；

（2）根據(jù)反比例函數(shù)的圖像，指出當(dāng)-4< x<-1時(shí)，y的取值范圍.

【思路點(diǎn)撥】這是直線與雙曲線相交的計(jì)算問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是圖像的交點(diǎn)同時(shí)滿足兩個(gè)函數(shù)解析式，把x=2代入正比例函數(shù)y=2x，求出縱坐標(biāo)y=4，代入反比例函數(shù)，即可求出k的值.再結(jié)合圖1，求出-4< x<-1時(shí)，y的取值范圍是-8

圖1

（1）試確定這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求出這兩個(gè)函數(shù)圖像的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)，并根據(jù)圖像寫(xiě)出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x的取值范圍.

圖2

【思路點(diǎn)撥】可以把A（1，-k+4）分別代入兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式中，得到關(guān)于k、b的二元一次方程組，求出兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式.聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)圖像得到反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x的取值范圍.

【說(shuō)明】變式1的兩個(gè)函數(shù)和點(diǎn)A的坐標(biāo)都含有兩個(gè)不同的參數(shù)，問(wèn)題的關(guān)鍵是把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入兩個(gè)表達(dá)式，聯(lián)立方程組，求出這兩個(gè)參數(shù).這里需要解兩個(gè)不同的二元一次方程組，求表達(dá)式時(shí)是解關(guān)于參數(shù)k、b的方程組，求交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)是解關(guān)于x、y的方程組，兩者要區(qū)別開(kāi)來(lái).

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）若直線y=x+b與反比例函數(shù)的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)，求b的值.

又∵因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)一、三、四象限，

【說(shuō)明】把變式2的反比例函數(shù)和一次函數(shù)兩個(gè)表達(dá)式聯(lián)立方程組，含有參數(shù)b，這里需要根據(jù)方程根的判別式與交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系求出參數(shù)b的值.

【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)不等式組求出a的取值范圍，再把一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式聯(lián)立方程組，根據(jù)a的取值范圍判斷根的判別式的情況，從而得出公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).

∵因?yàn)?2

以上三個(gè)變式都是圍繞直線與雙曲線的交點(diǎn)情況展開(kāi)，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由確定到不確定.同學(xué)們解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是把兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立方程組，由根的判別式和交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題.再結(jié)合已有的知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法靈活應(yīng)用，如方程、不等式、分類思想、轉(zhuǎn)化思想，從而解決各類直線與雙曲線的交點(diǎn)問(wèn)題.

作者單位：（江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)前黃實(shí)驗(yàn)學(xué)校）