張曉東

?

思想訓(xùn)練營(yíng)/思想方法

二次根式的“怪現(xiàn)象”
——二次根式中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法

張曉東

二次根式是蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)中的內(nèi)容，一些同學(xué)在進(jìn)行二次根式的運(yùn)算中經(jīng)常會(huì)碰到一些“怪招”，它實(shí)質(zhì)是考查二次根式背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.在學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，我們要注意認(rèn)清這些“怪現(xiàn)象”，養(yǎng)成“見(jiàn)招拆招”的好習(xí)慣，真正提高數(shù)學(xué)解題能力、掌握數(shù)學(xué)思想方法、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)及精髓.

一、借用整式和分式的性質(zhì)及運(yùn)算法則——類比轉(zhuǎn)化思想

二次根式是在學(xué)習(xí)了整式、分式以后的第三種數(shù)式.在進(jìn)行二次根式的運(yùn)算時(shí)，我們往往要用到整式運(yùn)算和分式運(yùn)算中的某些性質(zhì)及法則進(jìn)行解決，這也是數(shù)學(xué)中把未知解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解問(wèn)題的一種重要的思想方法——類比思想.

【分析】本題中所謂的化簡(jiǎn)就是對(duì)式子進(jìn)行分母有理化，把分母上的二次根式化去.可以采用兩種方法進(jìn)行：

解法一：

解法二：

“類比轉(zhuǎn)化”是數(shù)學(xué)中的一種重要思想，即把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，把抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題.在初中數(shù)學(xué)中，轉(zhuǎn)化思想始終貫穿于整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程.

二、計(jì)算時(shí)整體代入比單獨(dú)代入簡(jiǎn)單——整體思想

【分析】本題是求代數(shù)式值的問(wèn)題，常規(guī)方法是代入計(jì)算，但本題中所給兩字母是互為有理化因式，它們的和、差、積這些整體的值是比較簡(jiǎn)單的數(shù)字，所以用整體代入要比單獨(dú)代入的方法更好.

∴a+b=-2，ab=-1.

∴a3b+ab3=ab（a2+b2）=ab［（a+b）2-2ab］=-1×（4+2）=-6.

整體思想是從問(wèn)題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對(duì)問(wèn)題整體結(jié)構(gòu)的分析，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識(shí)的整體處理.

三、二次根式計(jì)算與絕對(duì)值的聯(lián)系——分類討論思想

數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉升華的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，在人類認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)模型和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的指導(dǎo)思想.如果同學(xué)們能充分掌握數(shù)學(xué)思想，那么不僅能提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，而且也能從題海中走出來(lái)，通過(guò)歸納總結(jié)真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí).

作者單位：（江蘇省太倉(cāng)市沙溪實(shí)驗(yàn)中學(xué)）