一類具記憶項(xiàng)的二階線性發(fā)展方程的能量衰減估計(jì)

蘭琳琳，蒲志林

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066)

一類具記憶項(xiàng)的二階線性發(fā)展方程的能量衰減估計(jì)

蘭琳琳，蒲志林*

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都610066)

研究一類具記憶項(xiàng)的線性發(fā)展方程的能量衰減估計(jì)，通過(guò)Lyapunov函數(shù)的運(yùn)用和函數(shù)的構(gòu)造來(lái)證明當(dāng)記憶核在條件α'(s)≤－β(s)α(s)下衰減時(shí)，方程的能量按照多項(xiàng)式方式衰減．

線性發(fā)展方程;多項(xiàng)式衰減;Lyapunov函數(shù)

考慮一類具有記憶的導(dǎo)電材料的模型

其中，Et(s)=E(t－s)，s≥0，B、E、H、D、J分別表示了磁感應(yīng)強(qiáng)度、電場(chǎng)、磁場(chǎng)強(qiáng)度、電位移、感應(yīng)電流密度，ε0是介電常數(shù)，μ0是導(dǎo)磁系數(shù)，ε'、σ'是記憶核．文獻(xiàn)［1］通過(guò)半群方法證明了方程(1)當(dāng)t→∞時(shí)其能量成指數(shù)型衰減，由于方程D=ε0E無(wú)法用來(lái)計(jì)算電磁波的吸收和耗散現(xiàn)象，文獻(xiàn)［2］基于方程(1)，通過(guò)重新對(duì)D和E的遺傳性關(guān)系的建立，研究了電磁波的吸收和耗散現(xiàn)象，文獻(xiàn)［3］對(duì)方程(1)的記憶項(xiàng)進(jìn)行了推廣，研究了更一般的線性基本方程，文獻(xiàn)［4］證明了方程(1)中當(dāng)D由E和H的線性函數(shù)共同決定時(shí)，電磁材料熱力學(xué)系統(tǒng)的自由焓的非唯一性成立，并且Clausius－Duhem不等式在有記憶項(xiàng)的系統(tǒng)中作為等式成立，當(dāng)電磁場(chǎng)很弱時(shí)，文獻(xiàn)［5］基于方程(1)運(yùn)用線性方法構(gòu)造出下面的基本方程進(jìn)而對(duì)電離層的現(xiàn)象進(jìn)行了研究

文獻(xiàn)［6］通過(guò)將方程(1)進(jìn)行一些條件限制后代入Maxwell方程中，得到方程

由于沒(méi)有自由電荷，即:D=0，得到:E=0(參見文獻(xiàn)［7］)，進(jìn)一步有:E=－ΔE，當(dāng)ε0=μ0=1且α1=ε'(0)時(shí)，形成了嚴(yán)格電導(dǎo)體的模型

并對(duì)這個(gè)新的方程進(jìn)行了能量衰減估計(jì)，證明當(dāng)記憶核滿足條件

呈指數(shù)方式衰減時(shí)，其能量按照多項(xiàng)式方式衰減．本文弱化了記憶核α(s)的限制條件，使其結(jié)果推廣到更廣泛的情況，這個(gè)限制條件是 α:［0，∞)→［0，∞)是局部絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，α(s)＞0，存在β(s)＞0使得下列不等式成立:α'(s) ≤－β(s)α(s)，其中β滿足的條件為:β是R+→R+上的非增可微函數(shù)，α'(s)≤－ β(s)α(s)，s≥ 0，，此處的假設(shè)條件就包括了下面的幾種情況［8］:同時(shí)，此處的假設(shè)條件包含了指數(shù)方式衰減的條件，最終證明當(dāng)記憶核在條件α'(s)≤－β(s)α(s)下衰減時(shí)，方程(4)的解按照多項(xiàng)式方式衰減．

1 記號(hào)與引理

令Ω?R3為一個(gè)具有Lipschitz邊界的有界區(qū)域，并且在Ω中引進(jìn)L2(Ω)空間，〈·，·〉為L(zhǎng)2空間中的內(nèi)積，‖·‖為L(zhǎng)2(Ω)空間中的范數(shù)．

對(duì)任意的α∈C(R)和E∈W1，2(0，T)，定義:

引理 1．1 對(duì)任意的 α∈ C(R)和 E∈W1，2(0，T)有

證明 運(yùn)用* 和◇的定義可以得證．

引理 1．2 對(duì)任意的 α∈ C1(R)和 E∈W1，2(0，T)有

證明

等式右邊為

因?yàn)?/p>

等式右邊為

等于等式左邊，得證．

引理1．3［9－10］當(dāng)L(t)為L(zhǎng)yapunov函數(shù)，滿足

則存在常數(shù)C＞0，使得

特別地，當(dāng)r=0時(shí)有

2 主要結(jié)論及證明

我們規(guī)定方程(4)滿足當(dāng)記憶核 α是［0，∞)→［0，∞)上的絕對(duì)連續(xù)函數(shù)且:

存在β(s)≥0使得

且有

定理2．1 當(dāng)假設(shè)α∈C1(R+)∩L1(R+)且E是方程(4)的解，則能量方程可以寫作

并且有

定理2．1的證明 對(duì)方程(4)兩邊關(guān)于Et在Ω上積分

由引理1．2得:

取

因?yàn)?/p>

所以

且

定理2．2 當(dāng)α滿足假設(shè)條件(20)～(24)式，則方程(4)的解由指數(shù)衰減到0，即存在一個(gè)正的常數(shù)珘C使得

定理2．2的證明 首先定義函數(shù)

方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)

由方程(4)得

代入得

由引理1．1得

對(duì)上式的最后一項(xiàng)進(jìn)行下面的處理，則

將最后一項(xiàng)由上面的不等式替換得

下面再定義函數(shù)

其中N待定且充分大，然后對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)

將(32)和(49)式代入

對(duì)系數(shù)進(jìn)行整理得到

最后定義函數(shù)

由N(t)、E1(t)以及L(t)的表達(dá)式可知，存在c0、c1＞0，使得:

令

當(dāng)0≤r＜1，p≥2，則有:

令

則有

c3＞0，由(54)和(55)式

由(57)和(64)式得

由引理1．3有

由L(t)和E1(t)的定義，可得到

從而有

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The Energy Decay Estimates of a Second-order Linear Evolution Equation with Memory

LAN Linlin，PU Zhilin

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

The paper aims to study the energy decay of a linear evolution equation with memory．We prove that the energy of the equation will decay according to the polynomial approach when the memory decays under the condition of α'(s)≤－β(s)α(s)by employing Lyapunov functional and the structure of the function．

linear evolution equation;polynomial rate of decay;Lyapunov function

O175

A

1001－8395(2016)04－0491－05

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．005

(編輯 余 毅)

2015－04－10

四川省應(yīng)用基礎(chǔ)研究項(xiàng)目(2015JY0125)

*通信作者簡(jiǎn)介:蒲志林(1963—)，男，教授，主要從事無(wú)窮維動(dòng)力系統(tǒng)理論的研究，E－mail:Puzhilin908@sina．com

2010 MSC:47D06