◇　北京　王雪芹(特級(jí)教師)　王慧興

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熱點(diǎn)追蹤

高考命題中的驚人之舉

◇北京王雪芹1(特級(jí)教師)王慧興2

對(duì)高考試題進(jìn)行跟蹤、研究,我們不僅能把握常規(guī)考題、高頻考點(diǎn)與數(shù)學(xué)思想方法,也能領(lǐng)略試卷壓軸題的命題規(guī)律.研究高考題發(fā)現(xiàn):壓軸題設(shè)計(jì)有全新試題,也有前后幾年試題形式雷同或接近的變式試題或是解題思想和解題方法有雷同之處的考題,本文把高考試題表現(xiàn)出的這些情形稱作“高考命題中的驚人之舉”.研究挖掘過(guò)往試題及其潛在價(jià)值,有助于我們及時(shí)捕捉高考信息,捕捉新的高考動(dòng)態(tài).

1命題再現(xiàn)

(1) 證明:xn>xn+1>2(n∈N*);

若xn>3,由(1)知{xn}遞減,得x1>x2>…>xn>3;再由(1)中的遞推公式,對(duì)?k∈{1,2,3,…,n},都有

綜上所述,命題得證.

(1) 求證:an

(1) 加強(qiáng)證:0a2=f(a1)=a1(1-lna1)>a1,即0

設(shè)當(dāng)n=k(k∈Z*)時(shí),有0

0

即0

(2) 若ak≥b,則由(1)有ak+1>b. 若ak

ak+1=f(ak)=ak(1-lnak)=ak-1(1-lnak-1)·

(1-lnak)=…=a1(1-lna1)(1-lna2)·…·

(1-lnak)>a1(1-lna1-lna2-…-lnak)>

綜上所述,ak+1>b得證.

2策略重演

Sn=a1b1+a2b2+…+anbn,

Tn=a1b1-a2b2+…+(-1)n-1anbn.

(1) 若a1=b1=1,d=2,q=3,求S3的值.

(2) 若b1=1,證明:

(3) 若正整數(shù)n滿足2≤n≤q,設(shè)k1,k2,…,kn和l1,l2,…,ln是1,2,…,n的2個(gè)不同的排列

c1=ak1b1+ak2b2+…+aknbn,

c2=al1b1+al2b2+…+alnbn.

證明c1≠c2.

(3)c1-c2=(ak1-al1)b1+(ak2-al2)b2+…+(akn-aln)bn=(k1-l1)db1+(k2-l2)db1q+…+(kn-ln)db1qn-1.

若kn≠ln,取i=n;否則kn=ln.取最大的i使得ki≠li(kj=lj,i+1≤j≤n).由題設(shè)知1

(ki-1-li-1)qi-2+(ki-li)qi-1.

(1) 當(dāng)q=2,n=3時(shí),用列舉法表示集合A;

(2) 設(shè)s、t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai、bi∈M(i=1,2,…,n),證明:若an

(2) 由s、t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai、bi∈M(i=1,2,…,n)及an

s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+

(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1≤

(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)qn-2-qn-1=

故s

3由統(tǒng)招到自招

我們以例10為例給出證法.

如圖1,上述和式表示曲邊梯形區(qū)域A={(x,y)|0≤y≤f(x),x∈[0,1]}的面積.

圖1

而區(qū)域A的面積是定積分

所以

近年來(lái)和式型不等式在各省市高考試題、重點(diǎn)高校自主招生試題以及全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題中普遍出現(xiàn),成為熱點(diǎn)內(nèi)容之一,而且這些和式型不等式都可視為積分和,從而用定積分的幾何意義構(gòu)建,直擊目標(biāo)．

4高等視角

(1) 求證:f(x)≤0;

(1) 求l的方程;

(2) 證明:除切點(diǎn)(1,0)之外,曲線C在直線l的下方.

從而很快得到2個(gè)最佳常數(shù)amax=π/2,bmin=1.

上述極限也可由現(xiàn)行教材中導(dǎo)數(shù)定義計(jì)算：

(作者單位