基于最小二乘法離場航跡構(gòu)造方法

張曉娜　葉　子　薛　成　耿笑寒　謝　穎

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基于最小二乘法離場航跡構(gòu)造方法

張曉娜1葉子2薛成2耿笑寒2謝穎2

1.中國民航大學(xué)理學(xué)院；2.中國民航大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院張曉娜，女，本科，中民民航大學(xué)，研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)圖形學(xué)。

國家級(jí)基金項(xiàng)目：中國民航大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（201510059012）

行業(yè)曲線

創(chuàng)新點(diǎn) ：本文提出了一種基于最小二乘法離場航跡逆向構(gòu)造方法。此方法與目前的構(gòu)造方法相比較創(chuàng)新點(diǎn)有三點(diǎn)：第一點(diǎn)，采用最小二乘法結(jié)合兩種離場方式特征逆向推出離場航跡最佳匹配函數(shù)，使得離場水平面航跡更加準(zhǔn)確、平滑；第二點(diǎn)，解決了在離場數(shù)據(jù)、飛行計(jì)劃及氣象資料缺失的情況下，無法對(duì)飛機(jī)離場航跡進(jìn)行構(gòu)造的問題；第三點(diǎn)，構(gòu)造了基于貝葉斯推理的飛機(jī)離場航跡選擇評(píng)分函數(shù)，從而保證了離場方式的準(zhǔn)確性。

本文提出了一種基于最小二乘法離場航跡逆向構(gòu)造方法。該方法解決在離場數(shù)據(jù)、飛行計(jì)劃及氣象資料缺失的情況下，無法對(duì)飛機(jī)離場航跡進(jìn)行構(gòu)造的問題。通過構(gòu)造基于貝葉斯推理的飛機(jī)離場航跡選擇評(píng)分函數(shù)，驗(yàn)證離場方式的選取方法的有效性。實(shí)驗(yàn)表明該方法不僅解決了在飛機(jī)離場信息缺失的情況下離場航跡的構(gòu)造問題，而且確保了飛機(jī)起飛方式的準(zhǔn)確性。

飛機(jī)離場航跡是飛機(jī)起飛過程的形象化體現(xiàn)。目前，飛行航跡的構(gòu)造方法通常采用兩類方式，第一類是在飛行計(jì)劃確定及氣象資料完整的情況下，結(jié)合飛行動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型正向推導(dǎo)的方法。飛機(jī)起飛航跡計(jì)算方法研究 提出了對(duì)不同機(jī)型統(tǒng)一的離場航跡構(gòu)造方法，該方法主要針對(duì)離場航跡剖面進(jìn)行了構(gòu)造，缺少對(duì)水平投影面構(gòu)造的方法；基于ANP數(shù)據(jù)庫的飛機(jī)起飛仿真研究是基于詳細(xì)的飛行資料和性能參數(shù)的前提下，提出了飛機(jī)離場剖面航跡構(gòu)造方法；離場航跡降噪優(yōu)化設(shè)計(jì)的多目標(biāo)智能方法是一種利用航段飛行特征約束求解離場航跡的方法。第二類是在擁有較為準(zhǔn)確的雷達(dá)位置信息點(diǎn)的情況下對(duì)雷達(dá)數(shù)據(jù)去噪，擬合出最佳函數(shù)匹配從而得到平滑的航跡。經(jīng)緯儀目標(biāo)交匯測量及航跡曲線擬合文中提出根據(jù)不同時(shí)刻的坐標(biāo)，用最小二乘法對(duì)目標(biāo)航跡進(jìn)行擬合，從而推測下一時(shí)刻的位置速度及加速度；三維航跡的B樣條曲線擬合算法利用B樣條曲線的幾何性質(zhì)，解決了飛行器三維航跡擬合中的邊界條件等約束問題。第二類多用于飛機(jī)離場結(jié)束后航跡的擬合。上述提出的兩類方法用于離場航跡的構(gòu)造存在以下三種問題：一是由于飛機(jī)離場屬于低空飛行，雷達(dá)捕捉飛行器在低空飛行的位置信息不準(zhǔn)確，飛機(jī)離場的雷達(dá)點(diǎn)相比于真實(shí)點(diǎn)誤差較大，且飛機(jī)離場的方式不同，導(dǎo)致無法單一的利用擬合離場雷達(dá)數(shù)據(jù)的方法確定離場航跡。二是現(xiàn)有方法多為對(duì)離場剖面航跡進(jìn)行構(gòu)造，忽略由于離場方式的不同導(dǎo)致水平面航跡存在誤差。三是在離場數(shù)據(jù)、飛行計(jì)劃及氣象資料缺失的情況下，無法對(duì)飛機(jī)離場航跡進(jìn)行構(gòu)造的問題。由此本文為了解決上述問題，采用最小二乘法結(jié)合兩種離場方式特征，提出離場航跡逆向構(gòu)造方法。

相關(guān)工作

飛機(jī)離場過程是指飛機(jī)高于起飛表面450m（1500ft），并完成從起飛到航路形態(tài)的轉(zhuǎn)變，達(dá)到規(guī)定的速度和爬升梯度。飛機(jī)起飛過程包括起飛場道滑跑階段和起飛航道階段。起飛航跡依據(jù)飛機(jī)的構(gòu)型、發(fā)動(dòng)機(jī)的推力狀態(tài)、對(duì)爬升梯度的要求等分為第一爬升階段、第二爬升階段、第三平飛階段、最后爬升階段等四個(gè)階段。本文忽略平飛過程，把此過程與第四階段融合在一起下文統(tǒng)稱第三階段，分別對(duì)第一、二及三階段分別進(jìn)行構(gòu)造。

最小二乘法是通過最小化誤差的平方和求得待定系數(shù)從而尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。假設(shè)多項(xiàng)式：

得方程組：

該方程組稱為多項(xiàng)式擬合的法方程，令：

貝葉斯推理需要根據(jù)當(dāng)前所觀察到的樣本信息及現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)得出結(jié)論，以估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)為基礎(chǔ)發(fā)展出的一種歸納推理方。具體方法為已知一個(gè)事件集其中每一Bi的概率為p（Bi），又知在Bi已發(fā)生的條件下A事件發(fā)生的條件概率p（A/Bi），就可通過以下公式得出在給定A已發(fā)生的條件下任何Bi發(fā)生的條件概率p（Bi/A）即：

基于最小二乘法飛機(jī)離場航跡逆向構(gòu)造方法

飛行高度在350m以上的雷達(dá)監(jiān)測位置信息點(diǎn)較為準(zhǔn)確，本文把航跡投影到水平面和剖面分別構(gòu)造，并利用準(zhǔn)確數(shù)據(jù)逆推離場航跡。首先根據(jù)兩種離場方式特征判別離場方式，其次利用350m以上的雷達(dá)監(jiān)測位置信息點(diǎn)分別擬合兩種離場方式的第三階段航跡水平面投影，最后計(jì)算各階段關(guān)鍵參數(shù)確定滑跑航跡及運(yùn)動(dòng)過程。不得不提在離場數(shù)據(jù)、飛行計(jì)劃、氣象資料缺失前提下。起飛過程模擬難度很大，為了確保模擬的航跡準(zhǔn)確性，不可避免需要根據(jù)飛機(jī)的離場規(guī)則，假設(shè)合理數(shù)值。點(diǎn)為已知飛機(jī)在跑道滑跑的加速始點(diǎn)，此點(diǎn)的各方向速度均為V0=0，點(diǎn)為飛機(jī)的離地點(diǎn)，其中z1已知為地平面高度，為直線離場時(shí)高度為z21=122+z0時(shí)的坐標(biāo)點(diǎn) ，轉(zhuǎn)彎離場時(shí)為轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，為已知雷達(dá)數(shù)據(jù)第一個(gè)點(diǎn)。

基于貝葉斯推理的飛機(jī)離場方式估計(jì)方法

直線離場方式特征：特征一，起始離場航線與跑道中線方向角度相差小于15°；特征二，離場航跡偏于跑道中線一側(cè)而在DER（離場末端）的橫向距離不大于300m。但只要實(shí)際可能，離場航線就應(yīng)與跑道中線延長線一致。轉(zhuǎn)彎離場方式特征：離場過程中出現(xiàn)離場角度要求大于15°的轉(zhuǎn)彎，并且規(guī)定在飛機(jī)起飛離場到達(dá)DER標(biāo)高之上才允許轉(zhuǎn)彎，在此之前為直線飛行。

由于已知雷達(dá)數(shù)據(jù)的高度值不同分為以下兩種情況，利用不同的離場特征分別作為判別離場方式的依據(jù)。

圖1　飛機(jī)離場示意圖

（1） 現(xiàn)有雷達(dá)數(shù)據(jù)高度值在450m以上，飛機(jī)可能已經(jīng)結(jié)束離場并立即發(fā)生轉(zhuǎn)彎，由雷達(dá)數(shù)據(jù)得到的航線與跑道中線的夾角大于15°不能說明轉(zhuǎn)彎發(fā)生在離場過程中，因此不能用特征一判斷，利用特征二更加適合。利用特征二區(qū)分時(shí)，計(jì)算雷達(dá)數(shù)據(jù)第一個(gè)點(diǎn)與跑道直線的水平距離如果小于300m則為直線，否則為轉(zhuǎn)彎。

（2）現(xiàn)有雷達(dá)數(shù)據(jù)高度值在450m以下，飛機(jī)還未結(jié)束離場，利用特征一就可以判斷。已知離場結(jié)束后航跡的雷達(dá)數(shù)據(jù)，前幾個(gè)點(diǎn)組成的航跡是順沿離場航跡的方向產(chǎn)生，繼承了離場方向變化趨勢。利用特征一區(qū)分時(shí)，利用前四個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行一次的最小二乘法擬合方程，跑道直線方程，由正切公式計(jì)算兩直線夾角，則，當(dāng)時(shí)為轉(zhuǎn)彎離場，否則為直線離場。

為了檢驗(yàn)上述判斷方法的準(zhǔn)確性構(gòu)建飛機(jī)離場方式選擇評(píng)分函數(shù)。因?yàn)轱w機(jī)離場方式主要分為兩種，一為直線（line）式離場，一為轉(zhuǎn)彎（arc）式離場，兩類飛機(jī)離場模型互相獨(dú)立互為補(bǔ)集。所以根據(jù)以上特征，簡單化問題，可以化為非此及比的模型。由此就可以根據(jù)概率論的乘法定理及貝葉斯公式求得P（line/w）及P（arc/w）。P（line/w）物理意義為在一定特征事件的基礎(chǔ)上飛機(jī)是直線離場，P（arc/w）物理意義為在一定特征事件的基礎(chǔ)上飛機(jī)是轉(zhuǎn)彎離場。公式：

綜上，評(píng)分規(guī)則為：滿分為100分。若直線起飛方式分?jǐn)?shù)為P（line/w）×100，轉(zhuǎn)彎起飛方式起飛分?jǐn)?shù)為，

通過分?jǐn)?shù)檢驗(yàn)離場方式區(qū)分方法的準(zhǔn)確性。

爬升階段構(gòu)造方法

其中V0=0得。

轉(zhuǎn)彎離場方式：利用現(xiàn)有雷達(dá)數(shù)據(jù)點(diǎn)作二次的最小二乘法擬合，擬合出的曲線方程為F2（x）。跑道中線坐標(biāo)已知，任取跑道中線兩點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算跑道直線方程F1（x）。擬合出的二次曲線方程與跑道中線求交點(diǎn)，此交點(diǎn)為轉(zhuǎn)彎點(diǎn)P2。

解得：

機(jī)起飛的方向比對(duì)兩種計(jì)算結(jié)果的大小，決定?的正負(fù)情況，當(dāng)起飛方向X軸上的數(shù)值是增加的則取兩種計(jì)算結(jié)果較大值，反之取較小。

計(jì)算X、Y軸方向的離地速度

并對(duì)其進(jìn)行單位轉(zhuǎn)換。其中θ=arctan（k），k為跑道直線方程斜率。轉(zhuǎn)彎離場P2點(diǎn)X軸坐標(biāo)已知，但高度未知。轉(zhuǎn)彎離場的計(jì)算方法與直線不同，轉(zhuǎn)彎離場，由公式（3），（4），（5）計(jì)算：

計(jì)算轉(zhuǎn)彎離場點(diǎn)的Z軸方向坐標(biāo)。轉(zhuǎn)彎高度計(jì)算公式：

補(bǔ)充兩個(gè)階段之間每隔四秒的坐標(biāo)。直線離場方式：利用X、Z軸加速度及F1（x）直線方程及坐標(biāo)P1（x1,y1,z1）及P2（x2,y2,z2）計(jì)算。轉(zhuǎn)彎離場方式：利用X、Z軸加速度及F2（x）計(jì)算。下方公式中j表示第j階段，n表示為j階段第n個(gè)坐標(biāo)值，t等時(shí)間間隔4s，T為j階段的總時(shí)間，

公式為：

起飛場道階段構(gòu)造方法

飛機(jī)在地面加速滑跑時(shí)，其受到的外力包括發(fā)動(dòng)機(jī)推力T、升力L、阻力D、地面的支撐力N、摩擦力F、起飛地面滑跑階段通常認(rèn)為飛機(jī)的迎角、發(fā)動(dòng)機(jī)的安裝角均為小量。實(shí)際上近似計(jì)算飛機(jī)滑跑距離時(shí)，可將地面滑跑階段發(fā)動(dòng)機(jī)的推力取平均值并視為常數(shù)，同樣計(jì)算摩擦系數(shù)也取其平均值并看作常數(shù)，于是可得飛機(jī)地面起飛滑跑階段速度為V0=0加速到離地速度VLOF的滑跑距離為：

便于估算引入“換算摩擦系數(shù)”μ'，其值為：

在實(shí)際計(jì)算起飛滑跑距離時(shí)，可以將地面滑跑期間發(fā)動(dòng)機(jī)的推力取平均值并視為常數(shù)，同樣換算摩擦系數(shù)也取其平均值并看作常數(shù)，飛機(jī)地面滑跑距離的近似估算公式：

距離差已知公式為：

作為地面滑跑時(shí)的平均速度，則有

合加速度單位為m2/s

得X、Y軸加速度為：

利用X、Z軸加速度、速度、F1（x）直線方程及坐標(biāo)P0（x0,y0,z0）補(bǔ)充三個(gè)階段之間每隔四秒的坐標(biāo)。公式為：

綜上飛機(jī)離場航跡由此確定。

圖2　原始數(shù)據(jù)三維散點(diǎn)圖

圖3　航跡構(gòu)造前后對(duì)比結(jié)果

方法驗(yàn)證

本實(shí)驗(yàn)以首都機(jī)場為例，采用首都機(jī)場提供的2013 年4、5月的飛機(jī)飛行數(shù)據(jù)及機(jī)場地理位置信息，隨機(jī)抽取1000條離場航跡進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。首先，依據(jù)構(gòu)造方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理擬合出離場航跡，利用擬合出的航跡計(jì)算出飛機(jī)離場滑跑距離及轉(zhuǎn)彎高度，查看計(jì)算出的上述參數(shù)是否符合飛機(jī)離場規(guī)定，從而驗(yàn)證方法的有效性。利用基于貝葉斯推理的飛機(jī)離場方式選擇評(píng)分函數(shù)計(jì)算分?jǐn)?shù)，驗(yàn)證飛機(jī)離場方式選擇方法的準(zhǔn)確性。

為了大致了解離場航跡線的特點(diǎn)，利用雷達(dá)數(shù)據(jù)做出三維散點(diǎn)圖。進(jìn)而根據(jù)航跡線水平面的投影的特征對(duì)航跡線進(jìn)行分類。航跡線水平面投影類型分為兩類，第一類為近似順延跑道延長線如圖2（a）。第二類為偏離跑道延長線，在跑道的一側(cè)與跑道延長線形成較大夾角如圖2（b）。從對(duì)雷達(dá)數(shù)據(jù)初步分析可以看出本文對(duì)離場模型的分類假設(shè)是正確的。

圖3（a）和（b）分別為直線離場實(shí)驗(yàn)前350m以上原始雷達(dá)數(shù)據(jù)三維曲線圖和實(shí)驗(yàn)后效果圖。圖2（c）和（d）分別為轉(zhuǎn)彎離場實(shí)驗(yàn)前350m以上原始雷達(dá)數(shù)據(jù)三維曲線圖和實(shí)驗(yàn)后效果圖。通過實(shí)驗(yàn)效果前后對(duì)比可以看出利用本文方法構(gòu)造出的離場航跡與實(shí)際情況較為一致。

由表1可以看出轉(zhuǎn)彎高度均允許轉(zhuǎn)彎高度值120m以上?；芫嚯x在均合理范圍以內(nèi)。

表1　飛機(jī)離場參數(shù)計(jì)算結(jié)果

表2　離場方式的評(píng)分結(jié)果

由統(tǒng)計(jì)學(xué)辦法得出P（line）及P（arc）。利用飛機(jī)離場方式選擇方法從直線離場航跡中篩選出符合直線起飛特征的航跡及符合轉(zhuǎn)彎起飛特征的航跡，從轉(zhuǎn)彎離場航跡中篩選符合直線起飛特征的航跡及符合轉(zhuǎn)彎起飛特征的航跡，利用統(tǒng)計(jì)學(xué)辦法得出。最后利用評(píng)分方法計(jì)算評(píng)分。評(píng)分結(jié)果均在85分以上表明離場方式選擇方法的準(zhǔn)確度較高。

由圖1和表2可以看出本文對(duì)離場模型的分類假設(shè)是正確的，離場方式選擇方法準(zhǔn)確度較高。由圖2和表1可以看出本文構(gòu)造出的離場航跡與實(shí)際情況一致。由此驗(yàn)證了基于最小二乘法離場航跡構(gòu)造方法的有效性及準(zhǔn)確性。

結(jié)語

本文提出了一種基于最小二乘法離場航跡逆向構(gòu)造方法。新方法的可行性已在多次實(shí)驗(yàn)中得到驗(yàn)證。并利用基于貝葉斯推理的飛機(jī)離場航跡選擇評(píng)分函數(shù)計(jì)算評(píng)分，評(píng)分結(jié)果理想，驗(yàn)證了離場方式的選取方法的有效性。新方法不僅可以利用于解決在飛行計(jì)劃和氣象資料缺失的前提下，無法對(duì)飛機(jī)離場航跡進(jìn)行構(gòu)造的問題，還可以為場間雷達(dá)與空中雷達(dá)連接方案的制定提供有利參考。

DOI：10.3969/j.issn.1001- 8972.2016.13.019