四元數(shù)矩陣的二次數(shù)值域

郭藝婉，翟發(fā)輝

(青島科技大學(xué)數(shù)學(xué)系，山東 青島 266061)

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四元數(shù)矩陣的二次數(shù)值域

郭藝婉，翟發(fā)輝＊

(青島科技大學(xué)數(shù)學(xué)系，山東 青島 266061)

摘要：本文引入四元數(shù)矩陣的二次數(shù)值域的定義，并且討論了四元數(shù)矩陣二次數(shù)值域的一些性質(zhì)。在一定條件下，證明了四元數(shù)矩陣的左特征值集合是該四元數(shù)矩陣二次數(shù)值值域的子集。這些結(jié)果有助于四元數(shù)矩陣左特征值及相關(guān)問題的研究。

關(guān)鍵詞：四元數(shù)矩陣；左特征值；二次數(shù)值域

1引言

自1844年Hamilton[1]發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)，四元數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用的研究一直是數(shù)學(xué)、物理學(xué)等學(xué)科活躍的研究課題之一。四元數(shù)在經(jīng)典力學(xué)、幾何光學(xué)、復(fù)分析、拓撲學(xué)控制系統(tǒng)、圖的計算以及基于四元數(shù)分析的量子力學(xué)的應(yīng)用都成為這些學(xué)科主要研究分支之一。關(guān)于四元數(shù)和四元數(shù)矩陣更多結(jié)果及應(yīng)用見參考文獻[2]和[3]。

與實數(shù)域和復(fù)數(shù)域不同，四元數(shù)因子環(huán)的乘法運算不具有交換性，從而導(dǎo)致了定義在四元數(shù)上的線性代數(shù)理論與復(fù)數(shù)域上線性代數(shù)理論有許多差別。例如，不同于復(fù)數(shù)域矩陣特征值的定義和性質(zhì)，四元數(shù)矩陣的特征值分左特征值和右特征值[4-5]，存在具有無限多個左特征值的有限階四元數(shù)矩陣，四元數(shù)矩陣的左特征值不是相似不變的[4]等等。特別，在四元數(shù)的研究中，代數(shù)基本定理對四階及四階以上的四元數(shù)矩陣左特征值是否有效的問題仍是公開的具有挑戰(zhàn)性的研究課題之一[4]。關(guān)于四元數(shù)矩陣與復(fù)矩陣有關(guān)結(jié)果的差異及四元數(shù)矩陣更多開放問題見文獻[2]和[6]。

2001年，Langer[7]等給出了復(fù)數(shù)域分塊矩陣二次數(shù)值域的定義并討論了復(fù)的分塊算子矩陣二次數(shù)值域的性質(zhì)。由文獻[7]，我們知道復(fù)的分塊算子矩陣的特征值含于該分塊算子矩陣的二次數(shù)值域，通過討論復(fù)的分塊算子矩陣二次數(shù)值域的性質(zhì)來研究該分塊算子譜的性質(zhì)是比較有效的方法之一。 因此復(fù)數(shù)域上分塊矩陣二次數(shù)值域為討論復(fù)的分塊算子矩陣譜的局部性質(zhì)的研究提供了重要研究工具之一。

考慮到四元數(shù)的非交換性、四元數(shù)矩陣與復(fù)矩陣特征之間的差異一級3×3以上四元數(shù)矩陣左特征值和右特征值研究的困難和復(fù)雜性[4]，如何利用2×2階四元數(shù)矩陣左特征值和右特征值的研究成果討論高階四元數(shù)矩陣的左特征值和右特征值的局部性質(zhì)就變得非常有意義了。本文通過四元數(shù)矩陣的左特征值與其復(fù)伴隨矩陣之間的關(guān)系，引入四元數(shù)矩陣的二次數(shù)值域的定義，將研究高階四元數(shù)矩陣的左特征值的問題轉(zhuǎn)化為討論四元數(shù)矩陣的二次數(shù)值域的問題，從而通過討論四元數(shù)矩陣的二次數(shù)值域局部性質(zhì)達到對四元數(shù)左特征值的刻畫，同時也討論了四元數(shù)矩陣二次數(shù)值域的一些性質(zhì)，這些結(jié)果有助于四元數(shù)矩陣特征值和與其相關(guān)的其他問題的研究。

2預(yù)備知識

這一節(jié)給出本文用到的一些記號，定義。

這里i,j,k滿足 i2=j2=k2=ijk=-1。顯然，四元數(shù)是非交換的。

如果a=a1+a2i+a3j+a4k∈, 稱為a的共軛，即由文獻[2]知a=|a|2。如果a∈, 則。設(shè)n,n及n分別表示，及上的n維列向量，如果n，則x與y的內(nèi)積定義為

由定義2.1知四元數(shù)矩陣左特征值的定義與一般復(fù)矩陣特征值定義相同，但是由于四元數(shù)的非交換性，四元數(shù)矩陣左特征值與一般復(fù)矩陣特征值有著本質(zhì)區(qū)別，例如，文獻[2]和[6]指出四元數(shù)矩陣的左譜不是相似不變的，且存在四元數(shù)矩陣的左譜是一個無限集。

(2.1)

(2.2)

有了上面預(yù)備知識，在第三節(jié)，我們將引入四元數(shù)矩陣的二次數(shù)值域，并討論其與左特征值的關(guān)系。

3四元數(shù)矩陣的二次數(shù)值域

(3.1)

從定義3.1可以看出，四元數(shù)矩陣二次數(shù)值域?qū)嶋H上是兩個變元二次方程的解。關(guān)于四元數(shù)矩陣二次數(shù)值域，我們有下面的性質(zhì)。

證明(1)充分性是顯然的。 下面證明必要性。

對任意x1∈n，||x1||=1，取x2=x1，則x=x1+x2j∈Σ1。因為{ 0 }，所以

A1=0，A2=0。

證明設(shè)A=A1+A2j，β=β1+β2j，因為α∈，則

αA+βIn=(αA1+β1)+(αA2+β2)j。

(3.2)

(3.3)

(3.4)

情形2如果α=0，由引理3.1 (2) 知結(jié)論成立。

證明設(shè)α1∈且存在x1∈n，‖x1‖=1使得〈A1x1,x1〉=α1。 對于向量x1，存在x2∈n且‖x2‖=1使得。取，則

設(shè)y2∈n，||y2||=1使得〈A2y2,y2〉=-β2。記，則

下面定理3.1是本文主要結(jié)果。該定理說明可以將高階四元數(shù)矩陣左特征值問題轉(zhuǎn)化為兩元變量的二次復(fù)數(shù)域上方程解的問題，為利用MATLAB或者其他計算機語言編程估計四元數(shù)矩陣左特征值的范圍給出了一種方法，進而也說明四元數(shù)矩陣的二次數(shù)值域具有一定的實際應(yīng)用價值。

經(jīng)簡單計算可得

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

由于式(3.6)與(3.7)確定的方程組有非零解‖x1‖與‖x2‖，因此

(3.8)

(3.9)

因此λ1∈Δ1(x)。

4小結(jié)

本文引入了四元數(shù)矩陣的二次數(shù)值域的概念，討論了四元數(shù)矩陣二次數(shù)值域是實數(shù)集時，該四元數(shù)矩陣的性質(zhì)；也討論了正交變換下四元數(shù)矩陣的二次數(shù)值域不變等一些其他性質(zhì)，同時證明了四元數(shù)矩陣的左特征值集合是該四元數(shù)矩陣二次數(shù)值值域的子集。所得結(jié)果說明了22階及以上的高階四元數(shù)矩陣左特征值可以看作該矩陣的二次數(shù)值值域的局部化，從而有助于對四元數(shù)矩陣左特征值及其他相關(guān)問題的討論。

參考文獻：

[1]HAMILTON W R. Elements of quaternions [M]. London: Longman, 1889.

[2]ZHANG F. Quaternions and matrices of quaternions [J]. Linear Algebra Appl, 1997,251(2):21-57.

[3]ADLER S L. Quaternionic quantum mechanics and quantum Fields [M]. Oxford: Oxford University Press, 1995.

[4]HUANG L P ， SO W.On left eigenvalues of a quaternic matrix [J]. Linear Algebra Appl, 2001，323(1/213):105-116.

[5]LEO S D， SCOLARICI G. Right eigenvalue equation in quaternionic quantum Mechanics [J]. J Phys A,2000,33(13):2971-2995.

[6]RODMAN L. Topics in quaternion linear algebra [M]. Princeton: Princeton University Press, 2014.

[7]LANGER H, MARKUS A, MATSAEV V et al. A new concept for block operator matrices: The quadratic numerical range [J]. Linear Algebra Appl,2001,330(1/2/3):89-112.

DOI:10.3976/j.issn.1002-4026.2016.03.015

收稿日期：2015-08-07

基金項目：山東省中青年科學(xué)家科研獎勵基金(BS2013SF014)

作者簡介：郭藝婉(1989-), 碩士研究生,研究方向為泛涵分析。 *通信作者，翟發(fā)輝(1967-),男，碩士生導(dǎo)師，研究方向為泛函分析及其應(yīng)用。Email:fahuiz@163.com

中圖分類號：O151.2

文獻標識碼：A

文章編號：1002-4026(2016)03-0087-05

Quadratic numerical range of a quaternion matrix

GUO Yi-wan, ZHAI Fa-hui*

(Department of Mathematics, Qingdao University of Science and Technology, Qingdao 266061, China)

Abstract∶We present the definition of quadratic numerical range of a quaternion matrix, and discuss its properties. We further prove that the set of all left eigenvalues of such a matrix is its subset under certain restricted conditions. These results are benefit for the research on the left eigenvalues of a quaternion matrix and relative issues.

Key words∶quaternion matrix; left eigenvalues; quadratic numerical range