周玉琴　朱福敏

（1.西南財(cái)經(jīng)大學(xué)，四川成都 611130；2.深圳大學(xué)，廣東 深圳518060）

大數(shù)據(jù)背景下我國(guó)上證50ETF期權(quán)定價(jià)研究

周玉琴1朱福敏2

（1.西南財(cái)經(jīng)大學(xué)，四川成都 611130；2.深圳大學(xué)，廣東 深圳518060）

為分析我國(guó)上證50ETF期權(quán)標(biāo)資產(chǎn)價(jià)格隱含分布特點(diǎn)，在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格分別服從IHS分布、Weibull分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布假設(shè)基礎(chǔ)上，對(duì)其定價(jià)及預(yù)測(cè)，并運(yùn)用數(shù)據(jù)挖掘中機(jī)器學(xué)習(xí)方法修正以上參數(shù)模型誤差（參考模型方法），進(jìn)一步與機(jī)器學(xué)習(xí)期權(quán)定價(jià)中的直接方法和層疊方法比較。實(shí)證結(jié)果表明，參考模型方法優(yōu)于其他兩種方法，較之支持向量機(jī)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和Boosting算法，隨機(jī)森林算法可有效預(yù)測(cè)歐式看漲期權(quán)價(jià)格，但針對(duì)不同價(jià)值區(qū)間和到期日，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格隱含分布特點(diǎn)不一致。

IHS分布；隨機(jī)森林；參考模型方法；價(jià)值區(qū)間

一、引言

上證50ETF期權(quán)上市標(biāo)志我國(guó)金融市場(chǎng)迎來(lái)首只場(chǎng)內(nèi)期權(quán)產(chǎn)品，為投資者開展風(fēng)險(xiǎn)管理提供有力工具，準(zhǔn)確計(jì)算價(jià)格并預(yù)測(cè)未來(lái)價(jià)格有助于投資者有效決策。此外，大數(shù)據(jù)時(shí)代背景下，如何運(yùn)用數(shù)據(jù)挖掘提高期權(quán)價(jià)格預(yù)測(cè)精度對(duì)風(fēng)險(xiǎn)管理至關(guān)重要。Black和Scholes［1］在假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布基礎(chǔ)上推導(dǎo)出歐式期權(quán)定價(jià)公式，并廣泛應(yīng)用，但因無(wú)法解釋波動(dòng)率微笑而受到諸多質(zhì)疑。為解決此問(wèn)題，學(xué)者改變對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定以對(duì)期權(quán)定價(jià)，如McDonald等［2］推導(dǎo)GB2 （Generalized Beta of the Second Kind）分布下的期權(quán)定價(jià)公式，Mauler等［3］在其他研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步比較各分布下期權(quán)定價(jià)誤差，實(shí)證結(jié)果表明IHS（Inverse Hyperbolic Sine）分布下的期權(quán)定價(jià)公式最優(yōu)，并且其參數(shù)校準(zhǔn)時(shí)間成本小于其他參數(shù)超過(guò)兩個(gè)的分布，因此本文選擇標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從IHS分布假定下的期權(quán)定價(jià)公式對(duì)上證50ETF看漲期權(quán)定價(jià)，并比較兩個(gè)參數(shù)的Weibull［4］和對(duì)數(shù)正態(tài)分布，探討上市初期上證50ETF期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格隱含分布，有利于市場(chǎng)情緒測(cè)量以及相關(guān)前瞻信息傳播［5］。

期權(quán)價(jià)格受諸多因素影響，包括標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、執(zhí)行價(jià)格、資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率、利率、到期時(shí)間、投資者對(duì)市場(chǎng)態(tài)度和市場(chǎng)趨勢(shì)等［6］。但基于以上因素以及無(wú)套利假設(shè)參數(shù)期權(quán)定價(jià)方法依賴于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格及其波動(dòng)率［7］，并對(duì)價(jià)格過(guò)程嚴(yán)格假定，這些假設(shè)與現(xiàn)實(shí)不符導(dǎo)致定價(jià)系統(tǒng)性誤差和套利誤差［8］。因此，參數(shù)期權(quán)定價(jià)準(zhǔn)確率取決于能否準(zhǔn)確反映潛在資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程［9］，然而參數(shù)定價(jià)公式很難反映波動(dòng)率的時(shí)變性與價(jià)格隨機(jī)性特征，對(duì)此，數(shù)據(jù)挖掘中機(jī)器學(xué)習(xí)方法作為非參和半?yún)⒎椒☉?yīng)用于期權(quán)定價(jià)中。

為降低期權(quán)定價(jià)誤差，提高預(yù)測(cè)精度，Hutchison［10］首先將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法引入歐式期權(quán)定價(jià)模型中，Liang等［6］在前人研究基礎(chǔ)上將機(jī)器學(xué)習(xí)下的期權(quán)定價(jià)方法總結(jié)為直接方法（direct method）、參考模型方法（model-reference method）和層疊方法（cascade method），并結(jié)合二叉樹模型、有限差分模型和蒙特卡洛模擬探討層疊方法。此外，諸多文獻(xiàn)［11-13］分別討論直接方法和參考模型方法，結(jié)果表明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法和支持向量機(jī)算法下的期權(quán)定價(jià)優(yōu)于BS模型，Park等［14］進(jìn)一步研究表明，較之Heston模型和Merton模型，支持向量機(jī)算法下的期權(quán)定價(jià)誤差更小。

然而，現(xiàn)有文獻(xiàn)僅單獨(dú)討論其中一種方法，并通過(guò)改進(jìn)算法提高期權(quán)定價(jià)及預(yù)測(cè)精度，但何種方法在期權(quán)定價(jià)中表現(xiàn)更優(yōu)以及如何體現(xiàn)三種方法優(yōu)劣，尚無(wú)深入探討。此外，機(jī)器學(xué)習(xí)包含諸多算法［15］，相對(duì)其他算法（隨機(jī)森林、Boosting），支持向量機(jī)算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法下的期權(quán)定價(jià)是否更優(yōu)？本文基于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格分別服從IHS分布、Weibull分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布假設(shè)，探討上證50ETF看漲期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格隱含分布特點(diǎn)，并結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)方法對(duì)其定價(jià)及預(yù)測(cè)，首次運(yùn)用隨機(jī)森林算法修正參數(shù)期權(quán)定價(jià)誤差，并實(shí)證比較三種方法下的期權(quán)定價(jià)預(yù)測(cè)精度。

二、理論模型

（一）隱含分布特點(diǎn)

自BS模型提出以來(lái)，關(guān)于資產(chǎn)價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的假設(shè)不斷改進(jìn)，如Mauler等［3］、Savickas［4］分別推導(dǎo)出標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從IHS分布和Weibull分布的期權(quán)定價(jià)公式。在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度假設(shè)下，狀態(tài)價(jià)格密度函數(shù)和期權(quán)價(jià)格間具有極簡(jiǎn)單關(guān)系（式1），其中C為看漲期權(quán)的價(jià)格，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，T為距離到期日時(shí)間，K為期權(quán)執(zhí)行價(jià)格，S為期權(quán)合約標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，f（s）為風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格密度函數(shù)。

Johnson［16］首先提出IHS分布，IHS隨機(jī)變量YIHS可表示為式（2），其中sinh為雙曲正旋函數(shù)，Z為標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)正態(tài)變量，a、b、λ和k分別是與YIHS均值、方差、偏度和峰度相關(guān)參數(shù)。定義XIHS=S/ST，假設(shè)XIHS服從IHS分布，將XIHS帶入式（1）中，則歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式為式（3），其中φ-1（）為式（2）中的逆函數(shù)，Φ（）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累計(jì)分布函數(shù)。為使得期權(quán)價(jià)格服從風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)，式（3）中參數(shù)需滿足約束條件式（4）。

對(duì)數(shù)正態(tài)（LN）分布和Weibull分布假定下的看漲期權(quán)定價(jià)公式為式（5）［2］，其中ψ（）表達(dá)式分別為式（6）和式（7），CDFLN（）為對(duì)數(shù)正態(tài)分布累計(jì)分布函數(shù)，式（8）中的F［］為合流超幾何分布（confluent hypergeometric distribution）。將各分布下的期權(quán)定價(jià)模型作為參考模型方法和層疊方法中的參數(shù)模型，并運(yùn)用非線性最小二乘方法對(duì)式（9）（PK為期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格，CKθ為模型估計(jì)價(jià)格）校準(zhǔn)，進(jìn)而分析期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格隱含分布特點(diǎn)。

（二）機(jī)器學(xué)習(xí)方法

機(jī)器學(xué)習(xí)方法可以從樣本數(shù)據(jù)中找出某種規(guī)律［17］，廣泛應(yīng)用于對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的回歸與分析中，雖在醫(yī)學(xué)、生物信息學(xué)、農(nóng)學(xué)等眾多領(lǐng)域廣泛應(yīng)用［18-19］，但在期權(quán)定價(jià)中，只應(yīng)用了支持向量機(jī)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在此基礎(chǔ)上引入隨機(jī)森林和Boosting算法予以比較。

1.支持向量機(jī)。支持向量機(jī)（SVM）以增強(qiáng)幻化能力為目標(biāo)，是Vapnik［20］等于1995年建立的新機(jī)器學(xué)習(xí)算法，采用結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化（SRM）準(zhǔn)則，通過(guò)滿足Mercer條件的核函數(shù)把輸入空間數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到高維Hilbert空間。給定數(shù)據(jù)集為L(zhǎng)=｛（Xi，Yi），i=1，2，…，n｝，其中n為樣本總數(shù)，式（10）為線性回歸函數(shù)，其中φ（x）為非線性函數(shù)，w和b為函數(shù)向量回歸參數(shù)。支持向量機(jī)回歸模型（ε-SVM）通過(guò)“ε不敏感”誤差度量，即損失函數(shù)，使回歸函數(shù)盡量平滑，同時(shí)使輸入樣本對(duì)應(yīng)目標(biāo)值和求出的輸入樣本輸出值差不超過(guò)ε。則SVM優(yōu)化問(wèn)題表示為式（11），其中松弛因子ξ和ξ*為引入?yún)⒘?，表示樣本超過(guò)精度ε程度，取值采用ε不靈敏函數(shù)，C是控制超出誤差樣本懲罰程度的懲罰系數(shù)。

式（11）相應(yīng)的對(duì)偶問(wèn)題為式（12），因此決策函數(shù)為式（13），其中K（）為核函數(shù)，采用核函數(shù)徑向基核函數(shù)（RBF）（式14）作為SVM定價(jià)模型核函數(shù)。

圖1　人工神經(jīng)元模型

圖2 隨機(jī)森林算法

（三）期權(quán)定價(jià)

學(xué)者將機(jī)器學(xué)習(xí)方法（如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機(jī)）引入期權(quán)定價(jià)中，由于其假設(shè)條件較少，可用未知函數(shù)估計(jì)，能夠較好描述期權(quán)價(jià)格影響因素與期權(quán)價(jià)格間非線性關(guān)系，預(yù)測(cè)精度較之傳統(tǒng)參數(shù)模型（如BS模型）頗為理想。機(jī)器學(xué)習(xí)下的期權(quán)定價(jià)框架主要包括三種：直接方法（見(jiàn)圖3）、層疊方法（見(jiàn)圖4）和參考模型方法（見(jiàn)圖5）［6］，其中直接方法僅運(yùn)用機(jī)器學(xué)習(xí)方法對(duì)期權(quán)定價(jià)，未結(jié)合參數(shù)模型［26］，而層疊方法和參考模型方法充分結(jié)合傳統(tǒng)參數(shù)模型和機(jī)器學(xué)習(xí)方法優(yōu)點(diǎn)，即在傳統(tǒng)參數(shù)模型基礎(chǔ)上借助機(jī)器學(xué)習(xí)方法進(jìn)一步提高期權(quán)定價(jià)和預(yù)測(cè)精度［27-28］。

圖3直接方法

圖4層疊方法

圖5 參考模型方法

從三個(gè)分布下的期權(quán)定價(jià)公式可知，影響期權(quán)價(jià)格因素包括無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、期權(quán)執(zhí)行價(jià)格、到期時(shí)間、波動(dòng)率和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格。Bakshi［29］和Gradojevic［30］建議將期權(quán)按價(jià)值區(qū)間和到期時(shí)間分類，因此本文將看漲期權(quán)按價(jià)值區(qū)間（標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格（S）/期權(quán)執(zhí)行價(jià)格（K））分為三類，分別為價(jià)內(nèi)期權(quán)（ITM；S/K≥1.03）、平價(jià)期權(quán)（ATM；S/K∈（0.97，1.03））和價(jià)外期權(quán)（OTM；S/K＜1.03）；按到期日（T）也分為三類，分別為短期到期期權(quán)（T≤60天）、中期到期期權(quán)（T∈（60，180）天）和長(zhǎng)期到期期權(quán)（T≥180天）。因此，在運(yùn)用機(jī)器學(xué)習(xí)方法時(shí)，直接方法輸入變量為錢性值（或標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和執(zhí)行價(jià)格）、波動(dòng)率、到期時(shí)間、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，目標(biāo)變量為期權(quán)價(jià)格；層疊方法輸入變量為三個(gè)分布下的期權(quán)定價(jià)結(jié)果，目標(biāo)變量為期權(quán)價(jià)格；參考模型方法的輸入變量與直接方法一致，但目標(biāo)變量為各分布下的期權(quán)定價(jià)誤差（即期權(quán)價(jià)格與各分布下的定價(jià)結(jié)果之差）。

（四）模型評(píng)價(jià)指標(biāo)

為比較各模型間期權(quán)定價(jià)誤差及預(yù)測(cè)精度，通過(guò)均方根誤差RMSE（Root Mean Square Error）（式18）、平均絕對(duì)誤差MAE（Mean Absolute Error）（式19）和均方根相對(duì)誤差RMSRE（Root Mean Square Relative Error）（式20）統(tǒng)計(jì)指標(biāo)評(píng)估定價(jià)結(jié)果和真實(shí)價(jià)格間誤差，其中，N為樣本數(shù)量，Cmrkk為實(shí)際期權(quán)價(jià)格，Cmodk為模型估計(jì)期權(quán)價(jià)格。

三、數(shù)據(jù)與實(shí)證分析

（一）數(shù)據(jù)預(yù)處理

數(shù)據(jù)集選取2015年2月至2015年9月交易中的上證50ETF看漲期權(quán)，包含31個(gè)執(zhí)行價(jià)合約。為穩(wěn)定定價(jià)，剔除距到期日時(shí)間少于一周以及期權(quán)價(jià)格小于0.05的期權(quán)合約［26］，剩余看漲期權(quán)樣本3933個(gè)，并隨機(jī)抽取80％（3164）樣本作為機(jī)器學(xué)習(xí)訓(xùn)練集，剩余20％（787）為預(yù)測(cè)集。本文將期權(quán)合約買賣平均價(jià)作為期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格，上證50ETF前日收盤價(jià)作為標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)日價(jià)格，對(duì)應(yīng)期限的shibor利率作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，分別采用標(biāo)的資產(chǎn)收益率歷史波動(dòng)率（式21）和GJR-GARCH條件波動(dòng)率（式22和式23）作為波動(dòng)率參數(shù)（見(jiàn)圖6），所有數(shù)據(jù)來(lái)源于彭博數(shù)據(jù)庫(kù)。從圖6可知，上證50ETF收益率歷史波動(dòng)率波動(dòng)幅度明顯小于GARCH條件波動(dòng)率，運(yùn)用在機(jī)器學(xué)習(xí)下的期權(quán)定價(jià)誤差進(jìn)行比較。從樣本期間內(nèi)期權(quán)價(jià)格描述統(tǒng)計(jì)（見(jiàn)表1）可知，我國(guó)目前交易中平價(jià)期權(quán)較少，多屬于價(jià)內(nèi)期權(quán)；短期期權(quán)較少，多屬于中期期權(quán)，并且價(jià)內(nèi)期權(quán)價(jià)格均值和波動(dòng)率均明顯高于價(jià)外期權(quán)和平價(jià)期權(quán)，短期期權(quán)價(jià)格均值和波動(dòng)率明顯低于中期期權(quán)和長(zhǎng)期期權(quán)。

圖6　上證50ETF收益率波動(dòng)率時(shí)序

表1　期權(quán)價(jià)格描述統(tǒng)計(jì)

（二）隱含分布特點(diǎn)

為探討初上市上證50ETF期權(quán)隱含分布特點(diǎn)，通過(guò)訓(xùn)練集數(shù)據(jù)校準(zhǔn)得IHS分布（a=0.976，b= 0.004，λ=-0.876，k=0.341）、Weibull分布（α= 7.8699，β=1.0930）和LN分布（u=0.380，σ=0.248）的隱含參數(shù)，并以此對(duì)預(yù)測(cè)集數(shù)據(jù)期權(quán)定價(jià)（見(jiàn)表2），結(jié)果表明對(duì)數(shù)正態(tài)分布下的期權(quán)定價(jià)公式更適合價(jià)內(nèi)期權(quán)和平價(jià)期權(quán)定價(jià)，而對(duì)于價(jià)外期權(quán)，IHS分布最優(yōu)，由于上證50ETF期權(quán)初步發(fā)展，這與Mauler［3］、Savickas［4］研究結(jié)果不符。相較而言，對(duì)數(shù)正態(tài)分布和Weibull分布對(duì)價(jià)內(nèi)期權(quán)定價(jià)誤差小于對(duì)其他期權(quán)定價(jià)誤差。從不同到期日期權(quán)定價(jià)預(yù)測(cè)精度看（見(jiàn)圖7），短期期權(quán)更適合在IHS分布下定價(jià)，而中期期權(quán)和長(zhǎng)期期權(quán)在LN分布下定價(jià)預(yù)測(cè)精度最高，因此在對(duì)期權(quán)定價(jià)時(shí)，應(yīng)針對(duì)不同價(jià)值區(qū)間、不同到期日采取不同定價(jià)模型?？傮w觀之，IHS分布下各價(jià)值區(qū)間期權(quán)定價(jià)誤差差距較小，相對(duì)穩(wěn)定，而Weibull和LN分布對(duì)OTM期權(quán)定價(jià)誤差均較大，說(shuō)明價(jià)值區(qū)間對(duì)Weibull和LN期權(quán)定價(jià)誤差影響較大，但從RMSRE指標(biāo)可以看出，三個(gè)分布下的期權(quán)定價(jià)效果不佳，需進(jìn)一步改善，引入機(jī)器學(xué)習(xí)方法修正三個(gè)分布下的期權(quán)定價(jià)誤差。

（三）參考模型方法

分別運(yùn)用隨機(jī)森林、Boosting、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為5，迭代次數(shù)為200）和支持向量機(jī)算法修正上述三種分布下的期權(quán)定價(jià)誤差，即運(yùn)用參考模型方法對(duì)看漲期權(quán)定價(jià)。根據(jù)隨機(jī)森林修正下不同輸入變量的期權(quán)定價(jià)誤差（見(jiàn)表3）可知，運(yùn)用價(jià)值區(qū)間變量代替標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和執(zhí)行價(jià)兩個(gè)變量作為輸入變量的定價(jià)誤差普遍更小，而不同波動(dòng)率之間的定價(jià)誤差較接近。總體而言，隨機(jī)森林修正后的期權(quán)定價(jià)誤差大幅降低，與其他研究［6］結(jié)果一致，但其中經(jīng)隨機(jī)森林算法修正后Weibull分布下的期權(quán)定價(jià)RMSRE降低最多，表明對(duì)價(jià)外期權(quán)而言，Weibull分布優(yōu)于其他分布，LN分布下的價(jià)內(nèi)期權(quán)和平價(jià)期權(quán)定價(jià)誤差依然相對(duì)較小，而經(jīng)隨機(jī)森林算法修正后的IHS分布的RMSRE降低幅度明顯低于其他兩個(gè)分布，說(shuō)明最優(yōu)參數(shù)期權(quán)定價(jià)模型經(jīng)過(guò)隨機(jī)森林修正后期權(quán)定價(jià)預(yù)測(cè)精度未必最佳。

由于投資者更關(guān)注預(yù)測(cè)集定價(jià)誤差，僅給出不同到期日預(yù)測(cè)集在不同輸入變量下的期權(quán)定價(jià)誤差（見(jiàn)圖8），結(jié)果表明，雖然不同到期日下的期權(quán)定價(jià)誤差均降低，但三個(gè)分布下的短期期權(quán)定價(jià)預(yù)測(cè)精度較差，經(jīng)隨機(jī)森林算法修正后對(duì)數(shù)正態(tài)分布下的短期期權(quán)定價(jià)預(yù)測(cè)精度較高，而對(duì)于中長(zhǎng)期期權(quán)，經(jīng)隨機(jī)森林修正后Weibull分布下的期權(quán)定價(jià)誤差最小。

分別運(yùn)用隨機(jī)森林、支持向量機(jī)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和Boosting算法修正三個(gè)分布下的期權(quán)定價(jià)誤差，其中輸入變量集與模型5一致。結(jié)果表明（見(jiàn)表4和圖9），神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法并未達(dá)到修正效果，定價(jià)誤差較大，隨機(jī)森林修正效果最優(yōu)，定價(jià)誤差最小，但對(duì)預(yù)測(cè)集中短期期權(quán)定價(jià)預(yù)測(cè)精度需進(jìn)一步提高，而對(duì)中長(zhǎng)期期權(quán)定價(jià)誤差較小，其中經(jīng)機(jī)器學(xué)習(xí)修正后Weibull分布下的期權(quán)定價(jià)預(yù)測(cè)結(jié)果優(yōu)于其他兩個(gè)分布。

表2　各分布下不同價(jià)值區(qū)間期權(quán)定價(jià)誤差

圖7不同到期日分布預(yù)測(cè)集期權(quán)定價(jià)誤差（MAE和RMSRE）

（四）直接方法和層疊方法

通過(guò)隨機(jī)森林、支持向量機(jī)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和Boosting算法分別對(duì)輸入變量集直接學(xué)習(xí)進(jìn)而對(duì)期權(quán)定價(jià)（直接方法），結(jié)果表明（見(jiàn)表5），總體而言，隨機(jī)森林算法修正下的期權(quán)定價(jià)預(yù)測(cè)結(jié)果最好，而Boosting算法下的期權(quán)定價(jià)誤差最大；機(jī)器學(xué)習(xí)算法修正下的價(jià)內(nèi)期權(quán)定價(jià)誤差小于平價(jià)期權(quán)小于價(jià)外期權(quán)，長(zhǎng)期期權(quán)定價(jià)預(yù)測(cè)結(jié)果優(yōu)于中期期權(quán)優(yōu)于短期期權(quán)；從輸入變量集看，對(duì)于不同算法，最優(yōu)輸入變量集不一致，未將波動(dòng)率納入輸入變量集的模型9和模型10定價(jià)誤差與其他模型較接近，這也是機(jī)器學(xué)習(xí)算法下的期權(quán)定價(jià)較之參數(shù)模型的優(yōu)越性之一。較之參數(shù)模型而言（見(jiàn)表2），隨機(jī)森林算法和支持向量機(jī)算法下的直接期權(quán)定價(jià)誤差小于三個(gè)分布下的期權(quán)定價(jià)誤差，但較于參考模型方法，直接方法期權(quán)定價(jià)誤差較大。

表3　隨機(jī)森林修正下的不同價(jià)值區(qū)間期權(quán)定價(jià)誤差（RMSRE）

圖8　隨機(jī)森林修正下預(yù)測(cè)集不同到期日期權(quán)定價(jià)誤差（RMSRE）

表4　機(jī)器學(xué)習(xí)修正下的不同到期日期權(quán)定價(jià)誤差（RMSRE）（模型5）

圖9　機(jī)器學(xué)習(xí)修正下預(yù)測(cè)集不同價(jià)值區(qū)間期權(quán)定價(jià)誤差（RMSRE）

表5直接方法期權(quán)定價(jià)誤差（RMSRE）

通過(guò)將三個(gè)分布的定價(jià)結(jié)果作為輸入變量開展機(jī)器學(xué)習(xí)對(duì)期權(quán)定價(jià)（層疊方法），結(jié)果表明（見(jiàn)表6），較之直接方法和參考模型方法，層疊方法定價(jià)誤差較大，其中測(cè)試集中隨機(jī)森林算法下的定價(jià)誤差較小，而預(yù)測(cè)集中，支持向量機(jī)算法下的期權(quán)定價(jià)預(yù)測(cè)結(jié)果較優(yōu)，Boosting算法下的期權(quán)定價(jià)誤差極大，尤其對(duì)短期期權(quán)而言。分別選取各模型中最優(yōu)者對(duì)比，結(jié)果表明（見(jiàn)圖10），參考模型方法與市場(chǎng)價(jià)格最接近，參數(shù)模型和層疊方法均高估了價(jià)內(nèi)期權(quán)價(jià)格，而直接方法低估了價(jià)內(nèi)期權(quán)價(jià)格。

（五）穩(wěn)健性檢驗(yàn)

為檢驗(yàn)期權(quán)定價(jià)預(yù)測(cè)結(jié)果穩(wěn)定性，隨機(jī)抽取40％（1573）和60％（2360）樣本作為訓(xùn)練集，剩余樣本為預(yù)測(cè)集，本文僅對(duì)參考模型方法加以探討，結(jié)果表明（見(jiàn)表7），減少訓(xùn)練集樣本數(shù)量并未明顯增加期權(quán)定價(jià)誤差，雖然各分布下的期權(quán)定價(jià)預(yù)測(cè)結(jié)果依然不佳，然而對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)平價(jià)期權(quán)和中長(zhǎng)期期權(quán)，Weibull分布對(duì)價(jià)內(nèi)期權(quán)以及IHS分布對(duì)短期期權(quán)的定價(jià)誤差相對(duì)較小，說(shuō)明參數(shù)校準(zhǔn)模型對(duì)數(shù)據(jù)樣本依賴性不強(qiáng)。不同樣本數(shù)量訓(xùn)練集下的參考模型方法期權(quán)定價(jià)結(jié)果表明（見(jiàn)表8），訓(xùn)練集占比越高，期權(quán)定價(jià)誤差越小，但相較于參數(shù)模型而言，即使僅有40％樣本作為訓(xùn)練集的參考模型方法也優(yōu)于參數(shù)模型。

表6層疊方法期權(quán)定價(jià)誤差（RMSRE）

圖10　訓(xùn)練集價(jià)內(nèi)期權(quán)部分定價(jià)結(jié)果

表7 參數(shù)模型預(yù)測(cè)集期權(quán)定價(jià)誤差（RMSE）

表8　隨機(jī)森林修正下的預(yù)測(cè)集期權(quán)定價(jià)誤差（RMSE）（模型5）

四、結(jié)論

通過(guò)分析我國(guó)上證50ETF看漲期權(quán)隱含分布特點(diǎn)，比較機(jī)器學(xué)習(xí)算法下的直接方法、參考模型方法和層疊方法對(duì)看漲期權(quán)定價(jià)誤差，并對(duì)訓(xùn)練集樣本展開穩(wěn)健性檢驗(yàn)，結(jié)果表明參考模型方法優(yōu)于直接方法與層疊方法。具體而言，在隱含分布方面，價(jià)內(nèi)期權(quán)、價(jià)外期權(quán)及中長(zhǎng)期期權(quán)在對(duì)數(shù)正態(tài)分布下的定價(jià)預(yù)測(cè)精度最高，而價(jià)外期權(quán)和短期期權(quán)更適合在IHS分布假定下定價(jià)；就機(jī)器學(xué)習(xí)方法而言，相較于支持向量機(jī)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和Boosting算法，隨機(jī)森林修正下的參考模型方法預(yù)測(cè)精度最高，其中隨機(jī)森林修正后Weibull分布下的價(jià)外期權(quán)和中長(zhǎng)期期權(quán)定價(jià)誤差最小，LN分布下的價(jià)內(nèi)期權(quán)、平價(jià)期權(quán)和短期期權(quán)定價(jià)預(yù)測(cè)結(jié)果最優(yōu)。由此可知，不同價(jià)值區(qū)間和不同到期日期權(quán)需采用不同模型定價(jià)，但均可運(yùn)用機(jī)器學(xué)習(xí)方法修正誤差，有利于提高期權(quán)定價(jià)預(yù)測(cè)精度。雖然參考模型方法下的期權(quán)定價(jià)誤差較小，但對(duì)短期期權(quán)定價(jià)預(yù)測(cè)精度較低，后續(xù)將改進(jìn)隨機(jī)森林算法，結(jié)合其他參數(shù)模型進(jìn)一步提高期權(quán)定價(jià)預(yù)測(cè)精度。

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F224

A

1672-3805（2016）03-0020-12

2016-04-23

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“基于商品價(jià)格聯(lián)動(dòng)視角的多商品期貨定價(jià)研究：中國(guó)市場(chǎng)的實(shí)證”（71471119）；教育部社科研究基金規(guī)劃項(xiàng)目“網(wǎng)絡(luò)輿論、市場(chǎng)效應(yīng)與金融穩(wěn)定機(jī)制創(chuàng)新”（12JJD790026）；中國(guó)金融發(fā)展與金融安全協(xié)同創(chuàng)新中心基金項(xiàng)目“基于經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)的金融危機(jī)預(yù)警研究”（JRXT201601）

周玉琴（1990-），女，西南財(cái)經(jīng)大學(xué)金融智能與金融工程四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室博士研究生，研究方向?yàn)榻鹑陲L(fēng)險(xiǎn)管理、金融工程。