韓慧璇， 周　叮， 劉偉慶

(南京工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，南京　211816)

靜立人群與板聯(lián)合系統(tǒng)動力學(xué)特性研究

韓慧璇， 周叮， 劉偉慶

(南京工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，南京211816)

采用能量法研究靜立人群與板聯(lián)合系統(tǒng)的動力學(xué)特性。使用具有分布質(zhì)量、阻尼和剛度的非均質(zhì)彈性直桿模擬靜立人體，利用第一類切比雪夫多項(xiàng)式構(gòu)造板的試函數(shù)，結(jié)合拉格朗日方程建立人-板聯(lián)合系統(tǒng)振動微分方程，分析了人-板系統(tǒng)的動力學(xué)特征，詳細(xì)研究了人的位置以及人板質(zhì)量比對人-板系統(tǒng)動力特性的影響。分析表明：彈性人體模型比附加質(zhì)量模型更科學(xué)合理，人群位于板動力變形較大處時(shí)對系統(tǒng)動力特性的影響尤為顯著。

人-板聯(lián)合系統(tǒng)；人體模型；振動微分方程；動力特性

隨著城市建設(shè)的迅猛發(fā)展和輕質(zhì)高強(qiáng)建筑材料的應(yīng)用，涌現(xiàn)了大批造型獨(dú)特、結(jié)構(gòu)新穎的大跨公用建筑諸如大型車站、體育場館等。這些大跨結(jié)構(gòu)大都具有自振頻率低和人群密度大等特點(diǎn)，結(jié)構(gòu)很容易被駐留人群的活動所激振，使得人群的舒適度降低[1]，嚴(yán)重的甚至?xí)?dǎo)致結(jié)構(gòu)損壞和人群擁擠踐踏，這類結(jié)構(gòu)與人的相互作用問題引起了人們的廣泛關(guān)注。

人與結(jié)構(gòu)相互作用問題的研究包括兩個(gè)方面[2]：結(jié)構(gòu)動力學(xué)和人體生物動力學(xué)。目前，國內(nèi)外學(xué)者對其研究主要包括三類：① 人的運(yùn)動引起的激振力；② 人的駐留導(dǎo)致結(jié)構(gòu)動力特性的改變；③ 靜止和運(yùn)動人體模型的建立。早期研究通常將駐留人群荷載看作靜載，考慮為結(jié)構(gòu)上的附加質(zhì)量，認(rèn)為人群會降低結(jié)構(gòu)的頻率，而不改變結(jié)構(gòu)的阻尼。Lenzing[3]通過對木板的動力測試發(fā)現(xiàn)，當(dāng)人駐留在板上時(shí)，系統(tǒng)的自然頻率沒有減小，反而略有增加，且結(jié)構(gòu)的阻尼顯著增加。Ellis等[4]測試Twickenham露天體育館看臺發(fā)現(xiàn)，人群駐留時(shí)，系統(tǒng)的動力特性增加了一個(gè)主要模態(tài)。使用傳統(tǒng)的附加質(zhì)量模型不能解釋這些現(xiàn)象，需要將人體表征為附加于結(jié)構(gòu)上的一個(gè)動力學(xué)系統(tǒng)。Matsumoto等[5-6]等研究并建立了不同的人體動力簡化模型，通過測試60位站立人體的基頻和阻尼比來驗(yàn)證其人體模型。Sachse[7]將結(jié)構(gòu)和人群分別簡化為單自由度體系，建立了有阻尼的人群-結(jié)構(gòu)相互作用模型，但這種簡化方法沒有考慮人群與結(jié)構(gòu)二階以上振型的相互作用。孫利民等[8]對人行橋人致豎向和側(cè)向振動方面進(jìn)行研究，建立了同步調(diào)自激側(cè)向力模型，將同步調(diào)步行力等效為大小與振幅相關(guān)的附加剛度和阻尼。Zhou[9]將人群簡化成具有分布質(zhì)量的單自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，忽略人體和結(jié)構(gòu)的阻尼，研究了人群駐留對板動力特性的影響。

目前，對于人與結(jié)構(gòu)相互作用的研究主要是人-梁系統(tǒng)[10]，而關(guān)于人-板系統(tǒng)的研究相對較少，且大多是只考慮樓板的一階模態(tài)并忽略人、板阻尼的影響[11]。本文利用生物力學(xué)知識，采用具有分布質(zhì)量、剛度和阻尼的人體彈性模型。用切比雪夫多項(xiàng)式構(gòu)造板的試函數(shù)，與能量法相結(jié)合，利用拉格朗日方程建立了人-板相互作用動力學(xué)模型，分析了人-板的動力學(xué)特征。

1　矩形薄板的振動分析

1.1矩形薄板的試函數(shù)

為了數(shù)學(xué)公式的方便簡潔，引入兩個(gè)無量綱參數(shù)：

α=2x/a，β=2y/b

(1)

式中，a和b分別為矩形板的長和寬，矩形板在豎直方向上的位移w為[12]：

(2)

式中，Wkl(α,β)為薄板的試函數(shù)，Akl(t)為其幅值坐標(biāo)。

分別利用第一類切比雪夫多項(xiàng)式和簡單多項(xiàng)式構(gòu)造矩形薄板的試函數(shù)：

(3)

Ps(χ)=cos[(s-1)arccos(χ)]，s=1,2,3,…

(4)

表1　矩形薄板不同邊界條件下的邊界函數(shù)分量

注：F：自由邊； S：簡支邊； C：固支邊

使用切比雪夫構(gòu)造試函數(shù)有兩個(gè)顯著優(yōu)勢：① 切比雪夫多項(xiàng)式可用統(tǒng)一的三角余弦函數(shù)表示，便于公式的推導(dǎo)和程序的編制；②Ps(χ)(s=1,2,3,…)在[-1,1]區(qū)間內(nèi)是完備的正交級數(shù)，在所有多項(xiàng)式級數(shù)中，切比雪夫多項(xiàng)式的數(shù)值穩(wěn)定和收斂性最好，可保證計(jì)算的魯棒性和高精度。圖1給出了前六項(xiàng)切比雪夫多項(xiàng)式的曲線圖。

圖1　前六項(xiàng)切比雪夫多項(xiàng)式Fig. 1 The first six Chebyshev polynomials

1.2矩形薄板的自振頻率和振型

板作自由振動時(shí)，令：

Akl(t)=Bklsin(ωt+φ)

(5)

式中，Bkl(k,l=1,2,3,…)是待定系數(shù)，ω為結(jié)構(gòu)的固有頻率，φ為相位角。

板的最大勢能和最大動能分別為：

(6)

(7)

能量函數(shù)定義為：

=Umax-Tmax

(8)

對式(2)做截?cái)?，由瑞?李茲法得：

?/?Bkl=0,

(k=1,2,3,…,p;l=1,2,3,…,q)

(9)

將式(2)～(8)代入式(9)中，得頻率方程：

(k=1,2,3,…,p;l=1,2,3…,q)

(10)

式中：

λ2=ρhω2a4/(16D),γ=a/b,

(11)

式中，I=p×q。

取長寬比γ=1，泊松比μ=0.2。分別使用兩種多項(xiàng)式構(gòu)造四邊固支矩形板的試函數(shù)，無量綱固有頻率的收斂性見表2。由表2可知，當(dāng)試函數(shù)項(xiàng)數(shù)小于等于10時(shí)，切比雪夫多項(xiàng)式與簡單多項(xiàng)式的計(jì)算結(jié)果相同；當(dāng)試函數(shù)項(xiàng)數(shù)大于等于12時(shí)，簡單多項(xiàng)式作試函數(shù)得到的矩陣方程呈病態(tài)，無法給出正確結(jié)果，而切比雪夫多項(xiàng)式的計(jì)算結(jié)果不單精確而且穩(wěn)定，表明在求解高階模態(tài)頻率時(shí)，切比雪夫多項(xiàng)式的魯棒性顯著優(yōu)于簡單多項(xiàng)式。

表2　使用切比雪夫多項(xiàng)式和簡單多項(xiàng)式作試函數(shù)的四邊固支矩形板頻率系數(shù)收斂性的比較

注：C表示切比雪夫多項(xiàng)式；S表示簡單多項(xiàng)式。

2　人體的模態(tài)參數(shù)

為研究人-矩形板聯(lián)合體系的動力特性，現(xiàn)根據(jù)生物力學(xué)知識,定義人體的模態(tài)參數(shù)、頻率和阻尼比的參數(shù)值。

2.1人體的模態(tài)函數(shù)φH(x)的確定

生物力學(xué)研究常用分段的連續(xù)彈性直桿近似模擬人體，本文采用的是簡單的兩段彈性直桿模型[13]，設(shè)每段直桿的質(zhì)量均布，沿豎直方向的剛度也均布，如圖2所示。

每段直桿的軸向振動微分方程為

(12)

式中，mi和ki為每段桿件的單位長度的質(zhì)量和軸向剛度。

令式(12)的解為：

ui(x,t)=Zsin(ωHt+φi)φi(x),i=1,2

(13)

圖2　人體豎直方向的振動模型Fig.2 The model of a body vibrating in vertical direction

式中，ωH為人體的振動頻率，φi為相位角，φi(x)為模態(tài)函數(shù)，Z為振幅?？紤]人體腳部固定，頭頂自由，并利用上下兩段直桿連接處變形和受力的協(xié)調(diào)條件，得人體的振型函數(shù)為：

φ1(x1)=Dsinb1x10≤x1≤L1

φ2(x2)=D(sinb1L1cosb2x2+

(14)

從而得到人體垂直振動頻率的超越方程為：

(15)

進(jìn)而得到人體總質(zhì)量MT、人體與結(jié)構(gòu)聯(lián)合質(zhì)量MHS、人體模態(tài)質(zhì)量MH的表達(dá)式：

(16a)

(16b)

(16c)

生物研究水平的局限性使人體均布質(zhì)量和剛度很難精確獲取，因此根據(jù)已有研究[13]，取L1=L2，m2=2m1，k2=2k1，得廣義人體的等效質(zhì)量為：MHS=0.765 9MT，MH=0.666 7MT。

2.2人體的平均頻率ωH和阻尼比ξH的確定

人體在垂直方向的固有振動基頻在4 Hz～6 Hz，阻尼比在40%～50%。根據(jù)Wei等[6]對60個(gè)站立人體的基頻和阻尼比的測量的數(shù)學(xué)平均，得人體的基頻ωH為5.5 Hz，阻尼比ξH為0.42。

3　人-板聯(lián)合系統(tǒng)動力學(xué)模型

人-矩形板聯(lián)合動力模型如圖3所示。假設(shè)有J人靜立在矩形板上，每個(gè)人距板中心的坐標(biāo)位置為(αj,βj)(j=1,2,…,J)處。m(z)、k(z)、c(z)分別為廣義人體模型的平均分布質(zhì)量、分布剛度、分布阻尼，坐標(biāo)z表示人體部位到腳部的距離，L為人體高度，c(α，β)為矩形板的阻尼分布。

僅考慮人體的基階模態(tài)，第j個(gè)人體的豎向位移wHj(α,β,t)為：

wHj(α,β,t)=w(αj,βj,t)+wRj(z,t)=

w(αj,βj,t)+wHRj(t)φH(z)=

(17)

式中，wRj(z,t)為第j人相對于矩形板的豎向位移，w(αj,βj,t)為(αj,βj)處矩形板的位移，φH(z)為廣義人體的基階振型函數(shù)。

圖3　人-矩形板聯(lián)合系統(tǒng)模型Fig.3 The model of human-plate coupled system

人-矩形薄板聯(lián)合系統(tǒng)的勢能為：

(18a)

人-矩形薄板聯(lián)合系統(tǒng)的動能為：

人-矩形薄板聯(lián)合系統(tǒng)的阻尼耗能為：

(18c)

拉格朗日方程為：

(i=1,2,…,I)

(j=1,2,…,J)

(19)

將式(18a)～(18c)代入式(19)中，得到人-板聯(lián)合系統(tǒng)的I+J階自由振動微分方程：

式中:{X(t)}=[Y1(t),Y2(t),…,YI(t),wHR1,wHR2,…,wHRJ]T

引入如下參數(shù)：

考慮板模態(tài)的正交性，則式(20)中的廣義質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣分別為：

復(fù)模態(tài)分析法分析該振動方程，求出聯(lián)合系統(tǒng)前I+J階的復(fù)特征根λr和復(fù)特征向量{ψ}r。聯(lián)合系統(tǒng)的前I+J階頻率fr和阻尼比ξr分別為:

r=1,2,…,I+J

(21)

4　收斂性及精度驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文所建立的人-板聯(lián)合系統(tǒng)模型的精度和準(zhǔn)確性，對靜立人群與四邊固支混凝土方板聯(lián)合系統(tǒng)的前四階模態(tài)頻率和阻尼比的收斂性進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，計(jì)算參數(shù)為：板的平面尺寸a×b=11 m×11 m，厚度h=0.15 m?；炷翉?qiáng)度等級C30，密度ρ=2 400 kg/m3，泊松比μ=0.2，楊氏模量E=30×109N/ m2。取人體的平均質(zhì)量MT=70 kg，基階模態(tài)質(zhì)量46.669 kg，人體與結(jié)構(gòu)聯(lián)合質(zhì)量MHS=53.613 kg，平均基頻ωH=5.5 Hz，平均阻尼比ξH=0.42[6,14]，下面的研究著重于人體對結(jié)構(gòu)固有頻率和阻尼的影響。

表3給出了人與板質(zhì)量比ν分別為0.1、0.4和1.0時(shí)，不同項(xiàng)數(shù)切比雪夫多項(xiàng)式下該聯(lián)合系統(tǒng)前三階的固有頻率和阻尼比。由表3可知，結(jié)果隨所取多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的增加而迅速收斂。當(dāng)Ps(χ)取10×10項(xiàng)時(shí)，可保證前三階頻率和阻尼比具有5位數(shù)的精度，因此后續(xù)計(jì)算均取10×10項(xiàng)切比雪夫多項(xiàng)式。

為驗(yàn)證本文人-板聯(lián)合系統(tǒng)模型的正確性，用Sap2000有限元軟件數(shù)值模擬靜立人群與四邊固支混凝土方板聯(lián)合系統(tǒng)的前三階頻率。取人體的間隙為0.5m，人群沿板中心四周對稱均勻分布，使用線性連接單元模擬人體的剛度KH，使用帶重量的黏滯阻尼器模擬人體的阻尼CH以及人體與結(jié)構(gòu)的耦合質(zhì)量MHS-MH，結(jié)果如表4所示。從表中看出，人-板1階頻率隨人板質(zhì)量比的增加而增大，當(dāng)人與板質(zhì)量比為1.0時(shí)，1階頻率增大了12.306%； 但2階和3階頻率均隨人數(shù)的增加而逐漸減小，且與1階頻率相比，后兩階的變化幅度顯著降低，即高階頻率對人數(shù)的變化敏感性下降。人-板前3階頻率的理論解與有限元解吻合較好，其最大誤差為4.9603%，不超過5%，證明了本文方法的正確性。

表4　有限元和本文結(jié)果的比較

5　人對矩形薄板動力特性的影響

對于有人駐留的結(jié)構(gòu)，人體主要對結(jié)構(gòu)的低階模態(tài)有較大影響。本文對上節(jié)中的矩形薄板進(jìn)行人體參數(shù)化分析，計(jì)算了人-矩形薄板聯(lián)合系統(tǒng)的前三階模態(tài)頻率和阻尼比，并將其與空板的模態(tài)頻率和阻尼比進(jìn)行比較，空板的前三階無阻尼固有頻率為：f11=7.395 7 Hz，f12=15.083 9 Hz，f22=22.240 7 Hz。設(shè)前三階結(jié)構(gòu)的阻尼比均為1%。

5.1單人對四邊固支方板動力特性的影響

讓單個(gè)人體的位置從板中心(0，0)變化到板端。圖(4a)～(4f)分別給出了單人-固支方板聯(lián)合系統(tǒng)以板振動為主的前三階模態(tài)頻率和阻尼比與所在位置的關(guān)系曲線。

由圖(4a)～(4f)可知，聯(lián)合系統(tǒng)的前三階模態(tài)頻率和阻尼比與人的位置相關(guān),當(dāng)人位于板動力變形較小處(板邊附近)時(shí)，人-板聯(lián)合系統(tǒng)的模態(tài)頻率和阻尼比基本等于該空板的前三階固有頻率和阻尼比。隨著人向板動力變形最大處(板中心)靠近，系統(tǒng)的第一階模態(tài)頻率逐漸減小，當(dāng)人到達(dá)板中心時(shí)頻率值最小；而第一階模態(tài)阻尼比的變化趨勢與第一階模態(tài)頻率的變化趨勢相反。

對于其他邊界條件的矩形薄板，諸如三邊自由一邊固定的懸臂板也作了計(jì)算，可得到與四邊固支板同樣的結(jié)論：人體站立于板動力變形較大處(懸臂板邊緣)時(shí)的影響顯著，限于篇幅，這里不再綴述。

5.2人與板質(zhì)量比對方板動力特性的影響

由上節(jié)的模擬結(jié)果可知，當(dāng)單個(gè)人位于四邊固支薄板中心附近時(shí)，薄板的動力特性變化顯著，下面考慮人群沿板的中心四周對稱均勻分布，人體的間隙均為0.5 m。圖(5a)～(5f)分別給出了不同邊界條件下人-板聯(lián)合系統(tǒng)以板振動為主的前三階模態(tài)頻率和阻尼比與人-板質(zhì)量比的關(guān)系曲線，圖5同時(shí)給出了傳統(tǒng)的人體附加質(zhì)量模型對頻率和阻尼比的影響以及懸臂方板的計(jì)算結(jié)果。

由圖(5a)～(5f)可知，使用傳統(tǒng)的附加質(zhì)量人體模型，人數(shù)的增加只降低人-固支方板聯(lián)合系統(tǒng)的前三階頻率，而系統(tǒng)的阻尼比不變，這明顯與Lenzing[3]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果不一致。使用本文的人體模型，人-固支方板聯(lián)合系統(tǒng)前三階的模態(tài)頻率和阻尼比均與人數(shù)相關(guān)。當(dāng)人群沿板中心(固支板動力變形最大處)四周均勻?qū)ΨQ布置時(shí)，隨著人數(shù)的增加，系統(tǒng)第一階頻率逐漸增大，而第二階頻率和第三階頻率逐漸減小，系統(tǒng)前三階模態(tài)的阻尼比均隨人數(shù)的增加而增大，當(dāng)人數(shù)增加到一定量后，人-板質(zhì)量比對系統(tǒng)動力特性的影響趨于穩(wěn)定。對于懸臂板，人群分布越靠近懸臂(懸臂板動力變形最大處)端，對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響越大。

(a) 第一階頻率圖(b) 第一階阻尼比圖(c) 第二階頻率圖

(d) 第二階阻尼比圖(e) 第三階頻率圖(f) 第三階阻尼比圖圖4 單人位置變化對人-板聯(lián)合系統(tǒng)的動力特性的影響Fig.4Thepositioneffectofsinglehumanonthedynamiccharacteristicsofhuman-platesystem

(a) 第一階頻率圖(b) 第一階阻尼比圖(c) 第二階頻率圖

(d) 第二階阻尼比圖(e) 第三階頻率圖(f) 第三階阻尼比圖圖5 人與板的質(zhì)量比變化對人-板聯(lián)合系統(tǒng)的動力特性的影響Fig.5Theeffectoftheratioofhumantostructureondynamiccharacteristicsofhuman-platesystem

6　結(jié)　論

本文采用具有分布質(zhì)量、阻尼和剛度的非均質(zhì)彈性直桿的人體模型，建立了人-矩形薄板聯(lián)合系統(tǒng)的動力學(xué)分析模型，研究了人-板聯(lián)合體系的動力特性，主要結(jié)論如下：

(1) 使用切比雪夫多項(xiàng)式構(gòu)造矩形薄板的試函數(shù)優(yōu)勢顯著，數(shù)值計(jì)算的收斂性好、精度高，優(yōu)良的魯棒性保證了結(jié)構(gòu)高階動力學(xué)特性的計(jì)算有效性。

(2) 將人體作為一個(gè)彈性體系附加到結(jié)構(gòu)上比傳統(tǒng)的將人體考慮為靜態(tài)的附加質(zhì)量更為科學(xué)合理，減小了由于人體模型建立不夠準(zhǔn)確帶來的誤差。

(3) 人群對板振動特性的影響與人-板質(zhì)量比呈正比，人群位置靠近板動力變形較大處時(shí)對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響尤為顯著。

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Dynamic characteristics of a standing crowd-plate coupled system

HAN Hui-xuan, ZHOU Ding, LIU Wei-qing

(College of Civil Engineering, Nanjing Tech University, Nanjing 211816, China)

The dynamic characteristics of a standing crowd-plate system were studied adopting the energy method.The coupled model of the crowd-plate system was developed taking the standing human body as an elastic non-uniform column with distributed mass, damping and stiffness. The first kind of Chebyshev polynomials was applied to construct the trial functions for the plate. The governing vibration differential equations of the crowd-plate coupled system were derived using Lagrange equation. The effects of mass ratio of crowd to plate and position of human occupants on the dynamic properties of the crowd-plate system were investigated in detail. The results showed that regarding a crowd as an elastic model added to the plate is more scientific and rational compared with an added mass model; the influence of the crowd on the dynamic characteristics of the crowd-plate coupled system is much more significant when the crowd locates at the positions of the plate with larger dynamic deformations.

crowd-plate coupled system; human-body model; dynamic differential equations;f dynamic characteristic

10.13465/j.cnki.jvs.2016.13.030

國家自然科學(xué)基金(11372127)；江蘇省屬高校自然科學(xué)研究重大項(xiàng)目(12KJA580002)；江蘇省研究生科研目創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)(KYZZ15_0232)資助

2015-04-27修改稿收到日期：2015-07-22

韓慧璇 女，博士生，1991年2月生

周叮 男，博士，博士生導(dǎo)師，1957年5月生

E-mail:dingzhou57@yahoo.com

TU311.3

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