及春寧， 陳威霖， 徐萬海

(1.天津大學(xué) 水利工程仿真與安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津　300072; 2.四川大學(xué) 水力學(xué)與山區(qū)河流開發(fā)保護(hù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都　610065)

正方形順排排列四圓柱流致振動(dòng)響應(yīng)研究

及春寧1,2， 陳威霖1， 徐萬海1

(1.天津大學(xué) 水利工程仿真與安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300072; 2.四川大學(xué) 水力學(xué)與山區(qū)河流開發(fā)保護(hù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都610065)

對(duì)間距比s/D=5.0正方形順排排列四圓柱流致振動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬研究，圓柱僅橫流向振動(dòng)，雷諾數(shù)為Re=100，折合流速為Ur=2.0～50.0。研究發(fā)現(xiàn)，上游兩圓柱的響應(yīng)與單圓柱渦激振動(dòng)相似，呈現(xiàn)出明顯的初始分支和下端分支。上游兩圓柱的振幅均在折合流速Ur=4.4時(shí)達(dá)到最大值Ymax/D=0.56，與單圓柱渦激振動(dòng)最大振幅Ymax/D=0.57相近。下游兩圓柱的振幅在折合流速Ur=7.9時(shí)達(dá)到最大值Ymax/D=0.997，比單圓柱渦激振動(dòng)最大振幅增大了74.8%。正方形順排排列四圓柱流致振動(dòng)響應(yīng)中出現(xiàn)了三個(gè)不對(duì)稱區(qū)間，分別為第一不對(duì)稱區(qū)間4.510.5。圓柱不對(duì)稱的振動(dòng)響應(yīng)特性和圓柱間隙流穩(wěn)定偏斜有關(guān)。

流致振動(dòng)；正方形排列；圓柱；振動(dòng)響應(yīng)

前人對(duì)單圓柱渦激振動(dòng)的研究已經(jīng)取得了諸多成果[1-4]。相比之下，對(duì)圓柱群流致振動(dòng)的研究則要少很多，但也取得了一些重要的結(jié)論。

在正方形排列四圓柱繞流方面，Sayers[5-6]的風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)圓柱間距比s/D≥4.0時(shí)，每個(gè)圓柱的St數(shù)都等于單圓柱的情況。Zou等[7]對(duì)雷諾數(shù)Re=200、間距比s/D=1.2～5.0的菱形排列四圓柱繞流研究發(fā)現(xiàn)：隨著間距比的增加，流動(dòng)模式依次為單一鈍體模式、窄間隙流模式和旋渦碰撞模式。Esfahani等[8]應(yīng)用LBM(Lattice Boltzmann Method)方法研究了正方形排列四圓柱繞流，雷諾數(shù)Re=100，間距比s/D=1.5～4.5。研究發(fā)現(xiàn)：存在3種不同的流動(dòng)模式，分別為穩(wěn)定屏蔽流、擺動(dòng)屏蔽流和旋渦脫落模式。Lam等[9]實(shí)驗(yàn)研究了間距比s/D=1.28～5.96的正方形排列四圓柱繞流，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)s/D≤1.54時(shí)，下游兩圓柱后尾流出現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)模式，其中一個(gè)圓柱后的尾流為窄尾流，另一個(gè)圓柱后的尾流為寬尾流；而當(dāng)4.47

在正方形排列四圓柱流致振動(dòng)方面，相關(guān)研究非常少，取得的成果也非常有限。Zhao等[17]運(yùn)用RANS方法，對(duì)雷諾數(shù)Re=103～2×104、來流攻角α=0°～45°的正方形排列四圓柱流致振動(dòng)(兩向自由度)進(jìn)行了數(shù)值模擬研究，其中間距比為s/D=3.0，質(zhì)量比為m*=2.0，阻尼系數(shù)ξ=0.001。研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)α=15°時(shí)，鎖定區(qū)域的范圍最寬，對(duì)應(yīng)折合流速范圍為Ur=3～12；當(dāng)α=45°時(shí)，鎖定區(qū)域的范圍最窄，對(duì)應(yīng)折合流速范圍為Ur=2～4；當(dāng)α=30°時(shí)，在Ur=5～9范圍內(nèi)發(fā)生鎖定；當(dāng)α=0°時(shí)，鎖定范圍為Ur=3～9。鎖定區(qū)域以外，振動(dòng)通常是不規(guī)律的，鎖定區(qū)域以外的主導(dǎo)頻率隨著折合流速的增加而增加。徐楓等[18]對(duì)雷諾數(shù)Re=200、間距比s/D=2.5～6.0的正方形排列四圓柱流致振動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬，研究發(fā)現(xiàn)：上游圓柱的橫向振幅較大，最大橫向振幅達(dá)到了0.82D，遠(yuǎn)大于相同參數(shù)條件下單圓柱渦激振動(dòng)的最大振幅，流向振幅的最大值也達(dá)到了0.66D；下游圓柱的最大橫向和流向振幅可達(dá)到0.75D；圓柱繞流研究中所出現(xiàn)的對(duì)稱或者反對(duì)稱的尾渦模式消失，取而代之的是更加復(fù)雜的尾渦模式；當(dāng)間距比s/D=2.5～6.0時(shí)，旋渦從上游圓柱脫落，尾渦模式不規(guī)則。

從已有的研究成果看，正方形排列四圓柱流致振動(dòng)的復(fù)雜性高，此方面的研究成果較少，有必要對(duì)其振動(dòng)響應(yīng)展開精細(xì)化研究。

1數(shù)值方法

1.1控制方程

流固耦合數(shù)值模擬采用浸入邊界法[19]，控制方程如下：

(1)

·u=0

(2)

式中：u為速度，t為時(shí)間，p為壓強(qiáng)，ν為運(yùn)動(dòng)黏滯系數(shù)，為梯度算子，f為附加體積力矢量，代表流固耦合邊界條件。

對(duì)以上控制方程采用二階精度的Adams-Bashforth時(shí)間格式進(jìn)行離散，可得控制方程的守恒形式如下：

(3)

·un+1=0

(4)

(5)

式中：I和D為插值函數(shù)，Vn+1為物面邊界速度，上標(biāo)n+1，n+1/2，n，n-1為時(shí)間步。

針對(duì)傳統(tǒng)浸入邊界法施加邊界條件精度不高的情況，及春寧等[19]提出了基于嵌入式迭代的浸入邊界法，將浸入邊界法嵌入到壓強(qiáng)泊松方程的迭代求解中，利用壓強(qiáng)的中間解比初始值更接近真實(shí)值的特點(diǎn)，迭代修正附加體積力，在不顯著增加計(jì)算耗時(shí)的前提下，提高整個(gè)算法的求解精度。有關(guān)嵌入式迭代浸入邊界法的細(xì)節(jié)，請參考文獻(xiàn)[19]，此處不再贅述。

對(duì)僅做橫流向運(yùn)動(dòng)的剛性圓柱體，其運(yùn)動(dòng)方程可以用下述方程來描述：

(6)

式中：m為圓柱體質(zhì)量，c為結(jié)構(gòu)阻尼，k為彈簧剛度系數(shù)，F(xiàn)y為圓柱受到的橫流向流體力。方程采用標(biāo)準(zhǔn)Newmark-β法求解。

1.2問題描述

計(jì)算域邊界條件設(shè)置如下。入口邊界為Dirichlet型邊界條件(u=1,v=0)；出口邊界為Neumann型邊界條件(?u/?x=0,?v/?x=0)；上下邊界為自由滑移邊界條件(?u/?y=0,v=0)。

為了滿足Courant-Friedrichs-Lewy條件，即CFL=UΔt/Δx≤0.5，時(shí)間步長取為Δt=0.006。

圖1　計(jì)算域與邊界條件Fig.1 Computational domain and boundary conditions

2程序驗(yàn)證

通過單圓柱繞流算例(Re=100)驗(yàn)證本文數(shù)值模擬方法的正確性。將數(shù)值計(jì)算得到的圓柱阻力系數(shù)CD、升力系數(shù)CL和斯托勞哈爾數(shù)St與已有文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表1所示。可見，本文數(shù)值模擬結(jié)果與已有數(shù)值模擬[20-23]和實(shí)驗(yàn)[24]結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了本文數(shù)值方法的正確性。需要說明的是，本文采用的模型和程序已在文獻(xiàn)[25-26]中針對(duì)多種算例(如單圓柱繞流/渦激振動(dòng)、串列雙圓柱繞流/流致振動(dòng)等)進(jìn)行了充分驗(yàn)證，讀者可自行查閱。

3結(jié)果和討論

3.1正方形順排排列四圓柱振動(dòng)響應(yīng)

如圖2所示，與單圓柱渦激振動(dòng)響應(yīng)相似，上游兩圓柱(圓柱1和2)的振動(dòng)響應(yīng)呈現(xiàn)為初始分支和下端分支，且最大振幅(Ymax/D=0.56)和鎖定區(qū)間(4.4

表1　Re=100的單圓柱繞流的阻力系數(shù)CD、升力系數(shù)CL以及斯托勞哈爾數(shù)St與已有結(jié)果的比較

下游兩圓柱(圓柱3和4)的振動(dòng)響應(yīng)更為復(fù)雜，難以辨認(rèn)出分支結(jié)構(gòu)，但總的來說表現(xiàn)為雙峰結(jié)構(gòu)。第一個(gè)振幅峰值較小(Ymax/D=0.57)，出現(xiàn)在Ur=4.0附近，第二個(gè)峰值較大(Ymax/D=0.997)，在Ur=7.9附近取得，該值要比單圓柱渦激振動(dòng)的最大值(Ymax/D=0.56)大了74.8%，如圖2所示。與上游圓柱振幅以及單圓柱渦激振動(dòng)振幅相比，當(dāng)折合流速Ur≤3.5時(shí)，下游圓柱的振幅明顯較大，這說明：當(dāng)Ur≤3.5時(shí)上游圓柱的存在對(duì)下游圓柱振動(dòng)起到促進(jìn)作用。隨折合流速的增大，下游圓柱振幅在Ur=4.1附近達(dá)到第一個(gè)峰值，隨后出現(xiàn)小幅下降。當(dāng)4.1

圖2　響應(yīng)振幅隨折合流速變化情況Fig.2 Variation of the vibration amplitude with the reduced velocity

整體而言，下游圓柱振幅表現(xiàn)為先增后減的趨勢，并沒有體現(xiàn)出紊流條件下串列雙圓柱的尾流馳振的特點(diǎn)，即：隨著折合流速的增加，下游圓柱振幅單調(diào)增大。這主要是由于：與紊流條件下的尾流馳振相比，層流條件下上游圓柱尾渦強(qiáng)度較低，對(duì)下游圓柱擾動(dòng)不足，下游圓柱缺乏大幅振動(dòng)的動(dòng)力。此外，層流較大的黏滯性導(dǎo)致振動(dòng)耗散的能量較多，也促使下游圓柱振幅隨折合流速逐漸降低。

與以往的研究結(jié)果[18]不同，本文結(jié)果中出現(xiàn)了上游兩圓柱和下游兩圓柱振幅不相等的情況，出現(xiàn)在三個(gè)折合流速范圍內(nèi)，分別稱為振幅第一不對(duì)稱區(qū)間4.5

根據(jù)文獻(xiàn)[27]的結(jié)論，圓柱振幅不對(duì)稱情況的出現(xiàn)與圓柱后尾流的不對(duì)稱性有關(guān)。圖3分別給出了Ur=4.4(對(duì)稱振動(dòng))和Ur=5.0(非對(duì)稱振動(dòng))的尾渦圖。兩種工況相比，圓柱振幅相差不大。由圖3(a)可知，當(dāng)Ur=4.4時(shí)，圓柱尾流關(guān)于圓柱的中心線對(duì)稱，下游圓柱后方形成兩列平行渦街，并一直延伸很遠(yuǎn)。然而，對(duì)于Ur=5.0的工況，尾流關(guān)于圓柱中心線不對(duì)稱，下游圓柱間的間隙流穩(wěn)定地偏斜向一個(gè)圓柱(圓柱4)，在一個(gè)圓柱(圓柱3)后面形成較寬的尾流，而另一個(gè)(圓柱4)則形成較窄的尾流。寬尾流表現(xiàn)為平行渦街，而窄尾流則表現(xiàn)為交替渦街。仔細(xì)觀察上游圓柱的尾流，發(fā)現(xiàn)：兩尾流也并非對(duì)稱，圓柱2的脫渦時(shí)機(jī)要早于圓柱1的。在此影響之下，圓柱3的脫渦也要早于圓柱4的。在下游圓柱的尾流中，由于圓柱3脫渦時(shí)，圓柱4的漩渦仍未脫落，因此從圓柱3上脫落的漩渦側(cè)向發(fā)展受到圓柱4的干擾較小，所形成的渦街基本關(guān)于圓柱振動(dòng)平衡位置對(duì)稱，與單圓柱渦激振動(dòng)的相似。而從圓柱4上脫落的漩渦由于受到從圓柱3上已經(jīng)脫落漩渦的壓迫，所形成的渦街更偏向圓柱4的外側(cè)，故而在下游圓柱之間形成了穩(wěn)定偏斜的間隙流。

圖3　折合流速Ur=4.4和Ur=5.0工況的尾渦模式Fig.3 The wake patterns for the cases with the reduced velocity of Ur=4.4 and Ur=5.0

圖4　升力系數(shù)均方根值隨折合流速變化情況Fig.4 Variation of the r.m.s value of the lift coefficient with the reduced velocity

圖4給出了圓柱受到的升力均方根值隨折合流速的變化。不難看出，上游兩圓柱受到的升力均方根值與單圓柱渦激振動(dòng)的情況相似，最大值CL,rns=1.201略小于單圓柱的情況CL,rns=1.306。然而，下游圓柱的升力均方根值卻表現(xiàn)出截然不同的趨勢。當(dāng)折合流速較小時(shí)，下游圓柱受到的升力均方根值隨著折合流速逐漸增大，并在Ur=3.5處達(dá)到最大值CL,rns=1.236。在此區(qū)間內(nèi)(Ur<3.5)，下游圓柱的升力均方根值遠(yuǎn)大于上游圓柱的。隨著折合流速的增大，下游圓柱的升力均方根值快速降低，而上游圓柱的快速增大。在3.8

圖5給出了圓柱受到的阻力均值隨折合流速的變化。上游圓柱的阻力均值的變化趨勢與單圓柱渦激振動(dòng)的大體一致，但數(shù)值上較小，尤其在振幅較大的鎖定區(qū)間內(nèi)。下游圓柱由于受到上游圓柱的遮蔽作用，除了在6.9

圖5　阻力均值隨折合流速變化情況Fig.5 Variation of the mean drag coefficient with the reduced velocity

圖6給出了圓柱振動(dòng)平衡位置偏離初始位置的偏移量隨折合流速變化的情況?？傮w來說，隨著折合流速的增大，偏移量也逐漸增大，這與本文通過減小彈簧系數(shù)來增大折合流速有關(guān)。需要說明的是，圓柱2和3向上偏移為正，而圓柱1和4向下偏移為正。在振幅的三個(gè)不對(duì)稱區(qū)間內(nèi)，偏移量也出現(xiàn)了不對(duì)稱的情況，最大的偏移量差值約為0.1D，出現(xiàn)在Ur=7.2附近。

圖6　平衡位置偏移量隨折合流速變化情況Fig.6 The shift of the balanced positions varying with the reduced velocity

3.2與串列雙圓柱流致振動(dòng)響應(yīng)對(duì)比

將正方形順排排列四圓柱流致振動(dòng)(取圓柱2和3)與相同條件下串列雙圓柱流致振動(dòng)響應(yīng)(間距比s/D=5.0)進(jìn)行對(duì)比，分析兩者的不同，如圖7所示。

當(dāng)折合流速Ur≤3.5時(shí)，串列上游圓柱和圓柱2的響應(yīng)均較??；與串列上游圓柱相比，圓柱2的振幅不論是大小還是增長速率都要稍大。當(dāng)折合流速Ur>3.5以后，圓柱2和串列上游圓柱的振幅急劇增加，串列上游圓柱在折合流速Ur=4.4時(shí)取得最大振幅Ymax/D=0.529，稍大于圓柱2的最大振幅Ymax/D=0.575(在折合流速Ur=4.7時(shí)取得)，這是由于臨近圓柱(圓柱1)對(duì)于圓柱2在一定程度上起到了固壁的作用，降低了圓柱2的振幅。在折合流速Ur≥4.7以后，上游圓柱的響應(yīng)與圓柱2非常接近?？傮w來說，圓柱2與串列上游圓柱的振動(dòng)響應(yīng)基本相同。

當(dāng)折合流速Ur≤3.5時(shí)，圓柱3的振幅明顯大于串列下游圓柱的振幅。圓柱3在Ur=3.9處取得第一峰值Ymax/D=0.377，略大于串列下游圓柱在Ur=3.9處取得第一峰值Ymax/D=0.345。然而，圓柱3的第二峰值Ymax/D=0.977卻小于串列下游圓柱的第二峰值Ymax/D=1.015。當(dāng)折合流速Ur=10.5時(shí)，圓柱3的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)入了第三不對(duì)稱區(qū)間，相比于折合流速Ur=10.3，振幅發(fā)生了跳躍。與之相比，串列下游圓柱的振幅則表現(xiàn)得較為光滑，沒有出現(xiàn)跳躍?？傮w來說，與串列下游圓柱相比，圓柱3的振動(dòng)響應(yīng)趨勢相似，但振幅曲線整體向低折合流速偏移。

綜上可知，正方形順排排列的圓柱2和3的流致振動(dòng)響應(yīng)與同條件下串列雙圓柱流致振動(dòng)響應(yīng)基本相等，臨近圓柱(圓柱4)對(duì)于圓柱3的影響要強(qiáng)于臨近圓柱(圓柱1)對(duì)于圓柱2的影響。

圖7　與串列雙圓柱流致振動(dòng)響應(yīng)對(duì)比Fig.7 Comparison with the vibration amplitude of two tandem circular cylinders

3.3與并列雙圓柱流致振動(dòng)響應(yīng)對(duì)比

將正方形順排排列四圓柱的圓柱1和2與相同條件下并列雙圓柱流致振動(dòng)響應(yīng)(間距比s/D=5.0)進(jìn)行對(duì)比，分析兩者的不同，如圖8所示。

圖8　與并列雙圓柱流致振動(dòng)響應(yīng)對(duì)比Fig.8 Comparison with the vibration amplitude of two side-by-side circular cylinders

當(dāng)折合流速Ur≤3.4時(shí)，圓柱1和2的振幅略小于并列雙圓柱的振幅。之后，隨著折合流速的增加，圓柱1和2以及并列雙圓柱的響應(yīng)振幅急劇增加，并列雙圓柱在折合流速Ur=4.0時(shí)取得最大振幅Ymax/D=0.56，而圓柱1和2的響應(yīng)振幅則在折合流速Ur=4.7時(shí)取得最大值。此時(shí)，四圓柱流致振動(dòng)正處在第一不對(duì)稱區(qū)域內(nèi)，因此兩圓柱的振幅不同，圓柱1的最大振幅為Ymax/D=0.566，圓柱2的最大振幅為Ymax/D=0.575，比并列雙圓柱的振幅分別增大了1%和3%。在此以后，圓柱1和2的振幅一直大于并列雙圓柱的振幅。

整體來看，圓柱1和2的振幅略大于并列雙圓柱的振幅。與并列雙圓柱相比，圓柱1和2振動(dòng)響應(yīng)的鎖定區(qū)間向高折合流速偏移，且鎖定區(qū)間的寬度略有增加。此外，間距比s/D=5.0時(shí)，并列雙圓柱流致振動(dòng)中并未出現(xiàn)振幅不對(duì)稱現(xiàn)象，這與正方形順排排列四圓柱流致振動(dòng)的情況不同，與下游圓柱(圓柱3和4)的影響有關(guān)。

4結(jié)論

對(duì)雷諾數(shù)Re=100間距比s/D=5.0正方形順排排列四圓柱流致振動(dòng)進(jìn)行了精細(xì)化的數(shù)值模擬研究，其中折合流速為Ur=2.0～50.0，圓柱質(zhì)量比為m*=2.0。對(duì)四圓柱流致振動(dòng)響應(yīng)展開了深入的分析，并與串列和并列雙圓柱流致振動(dòng)進(jìn)行了對(duì)比。將主要結(jié)論歸納如下：

(1) 上游兩圓柱的響應(yīng)與單圓柱渦激振動(dòng)相似，呈現(xiàn)出明顯的初始分支和下端分支。其中上游兩圓柱的響應(yīng)振幅均在折合流速Ur=4.4時(shí)達(dá)到最大值Ymax/D=0.56，與單圓柱渦激振動(dòng)最大值Ymax/D=0.57(Ur=4.21)相接近；而下游兩圓柱在折合流速Ur=7.9時(shí)達(dá)到最大值Ymax/D=0.997，比單圓柱渦激振動(dòng)最大振幅增大了74.8%。

(2) 正方形排列四圓柱流致振動(dòng)中響應(yīng)出現(xiàn)了三個(gè)不對(duì)稱區(qū)間，分別為第一不對(duì)稱區(qū)間(Ur=4.5～5.9)、第二不對(duì)稱區(qū)間(Ur=6.9～7.2)和第三不對(duì)稱區(qū)間(Ur≥10.5)。

(3) 在不對(duì)稱區(qū)間內(nèi)，振幅、升力、阻力以及平衡位置偏移量均出現(xiàn)了不對(duì)稱的情況，這是由尾流的不對(duì)稱性以及間隙流的穩(wěn)定偏斜造成。

(4) 與串列雙圓柱流致振動(dòng)相比，當(dāng)折合流速Ur≥4.7以后，圓柱2的振動(dòng)響應(yīng)與串列上游圓柱的響應(yīng)相近；圓柱3和下游圓柱的響應(yīng)隨折合流速的變化趨勢相同。但是由于臨近圓柱(圓柱4)的存在，圓柱3的響應(yīng)振幅出現(xiàn)跳躍，且整體向低折合流速偏移。與并列雙圓柱流致振動(dòng)相比，由于受到下游兩圓柱的影響，圓柱1和2的振動(dòng)響應(yīng)與并列雙圓柱有較明顯不同，鎖定區(qū)間向更高的折合流速偏移，且寬度略有增加，并出現(xiàn)了振幅不對(duì)稱情況。

本文在圓柱群流致振動(dòng)的研究中發(fā)現(xiàn)了對(duì)稱布置的圓柱群的振動(dòng)響應(yīng)不對(duì)稱的現(xiàn)象。在不對(duì)稱振動(dòng)區(qū)間內(nèi)，盡管圓柱的振幅相差不大，但圓柱受到的升、阻力系數(shù)和振動(dòng)平衡位置偏移量有較明顯的差別。比如，當(dāng)Ur>10.3時(shí)，圓柱3和圓柱4受到的升力均方根值分別約為0.4和0.6，相差了約40%(與兩者的均值相比)。并且，這種差別在很廣的折合流速范圍內(nèi)存在。這就使得考慮圓柱群流致振動(dòng)響應(yīng)時(shí)并不能簡單地認(rèn)為各圓柱響應(yīng)相等。該結(jié)論對(duì)于實(shí)際工程(如海洋立管束的受力計(jì)算和防碰撞設(shè)計(jì))具有一定的參考價(jià)值。

[ 1 ] Sarpkaya T. A critical review of the intrinsic nature of vortex-induced vibrations [J]. Journal of Fluids and Structures, 2004, 19: 389-447.

[ 2 ] Bearman P W. Vortex shedding from oscillating bluff bodies [J]. Annual Review of Fluid Mechanics, 1984, 16: 195-222.

[ 3 ] Williamson C H K, Govardhan R. Vortex-induced vibrations [J]. Annual Review of Fluid Mechanics,2004,36:413-455.

[ 4 ] Williamson C H K, Govardhan R. A brief review of recent results in vortex-induced vibrations [J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics,2008,96:713-735.

[ 5 ] Sayers A T. Vortex shedding from groups of three and four equispaced cylinders situated in a cross flow [J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 1990, 34: 213-221.

[ 6 ] Sayers A T. Flow interference between four equispaced cylinders when subjected to a cross flow [J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 1988, 31: 9-28.

[ 7 ] Zou L, Lin Y F, Lu H. Flow patterns and force characteristics of laminar flow past four cylinders in diamond arrangement [J]. Journal of Hydrodynamics, 2011, 23(1): 55-64.

[ 8 ] Esfahani J A, Vasel-Be-Hagh A R. A lattice Boltzmann simulation of cross-flow around four cylinders in a square arrangement [C]//Proceedings of the ASME 2010 10th Biennial Conference on Engineering Systems Design and Analysis,Istanbul,Turkey,2010.

[ 9 ] Lam K, Lo S C. A visualization study of cross-flow around four cylinders in a square configuration [J]. Journal of Fluids and Structures, 1992(6): 109-131.

[10] Lam K, Li J Y, So R M C. Force coefficients and Strouhal numbers of four cylinders in cross flow [J]. Journal of Fluids and Structures, 2003, 18: 305-324.

[11] Wang X K, Gong K, Liu H, et al. Flow around four cylinders arranged in a square configuration [J]. Journal of Fluids and Structures, 2013, 43: 179-199.

[12] Lam K, Zou L. Experimental study and large eddy simulation for the turbulent flow around four cylinders in an in-line square configuration [J]. International Journal of Heat and Fluid Flow, 2009, 30: 276-285.

[13] Farrant T F, Tan M, Price W G. A cell boundary element method applied to laminar vortex-shedding from arrays of cylinders in various arrangements [J]. Journal of Fluids and Structures, 2000, 14: 375-402.

[14] Esfahani J A, Vasel-Be-Hagh A R. A numerical study on shear layer behaviour in flow over a square unit of four cylinders at Reynolds number of 200 using the LB method [J]. Progress in Computational Fluid Dynamics, 2013, 13: 103-119.

[15] Lam K, Gong W Q, So R M C. Numerical simulation of cross-flow around four cylinders in an in-line square configuration [J]. Journal of Fluids and Structures, 2008, 24: 34-57.

[16] Lam K, Zou L. Three-dimensional numerical simulations of cross-flow around four cylinders in an in-line square configuration [J]. Journal of Fluids and Structures, 2010, 26: 482-502.

[17] Zhao M, Cheng L. Numerical simulation of vortex-induced vibration of four circular cylinders in a square configuration [J]. Journal of Fluids and Structures, 2012, 31: 125-140.

[18] 徐楓，歐進(jìn)萍，肖儀清. 正方形順排排列下四圓柱渦激振動(dòng)數(shù)值模擬 [C]//第十四屆全國結(jié)構(gòu)風(fēng)工程學(xué)術(shù)會(huì)議論文集, 2009.

[19] 及春寧，劉爽，楊立紅,等. 基于嵌入式迭代的高精度浸入邊界法[J]. 天津大學(xué)學(xué)報(bào), 2014, 47(5): 377-382.

JI Chun-ning, LIU Shuang, YANG Li-hong, et al. An accurate immersed boundary method based on built-in iterations[J]. Journal of Tianjin University, 2014, 47(5): 377-382.

[20] Zhou C Y, Sorm C, Lam K. Vortex induced vibrations of an elastic circular cylinder [J]. Journal of Fluids and Structures, 1999, 13: 165-189.

[21] Stansby P K, Slaouti A. Simulation of vortex shedding including blockage by the random-vortex and the other methods [J]. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 1993, 17: 1003-1013.

[22] Park J, Kwon K, Choi H. Numerical solutions of flow past a circular cylinder at Reynolds numbers up to 160 [J]. KSME International Journal, 1998, 12(6): 1200-1205.

[23] Li Y, Zhang R, Shock R, et al. Prediction of vortex shedding from a circular cylinder using a volumetric Lattice-Boltzmann boundary approach [J]. The European Physical Journal Special Topics, 2009, 171: 91-97.

[24] Williamson C H K. Oblique and parallel modes of vortex shedding in the wake of a circular cylinder at low Reynolds numbers [J]. Journal of Fluid Mechanics,1989,206:579-627.

[25] 及春寧，陳威霖，黃繼露,等. 串列雙圓柱流致振動(dòng)的數(shù)值模擬及其耦合機(jī)制[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào)，2014,46(6): 862-870.

JI Chun-ning, CHEN Wei-lin, HUANG Ji-lu, et al. Numerical investigation on flow-induced vibration of two cylinders in tandem arrangements and its coupling mechanisms[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2014, 46(6): 862-870.

[26] 陳威霖，及春寧，徐萬海. 并列雙圓柱流致振動(dòng)的不對(duì)稱振動(dòng)和對(duì)稱性遲滯研究[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào)，2015，47(5)：731-739.

CHEN Wei-lin, JI Chun-ning, XU Wan-hai. Numerical investigation on the asymmetric vibration and symmetry hysteresis of flow-induced vibration of two side-by-side cylinders[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2015，47(5)：731-739.

[27] Chen Wei-lin, Ji Chun-ning, Xu Wan-hai, et al. Response and wake patterns of two side-by-side elastically supported circular cylinders in uniform laminar cross-flow [J]. Journal of Fluids and Structure, 2015, 55: 218-236.

Flow-induced vibrations of four square-arranged circular cylinders

JI Chun-ning1,2, CHEN Wei-lin1, XU Wan-hai1

(1. State Key Laboratory of Hydraulic Engineering Simulation and Safety, Tianjin University, Tianjin 300072, China;2. State Key Laboratory of Hydraulics and Mountain River Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065, China)

Flow-induced vibrations of four square-arranged circular cylinders with a center-to-center spacing ratio ofs/D=5.0 and zero attack angle were numerically investigated. The vibrations were constrained in cross-flow direction, the reduced flow-velocity was in the range ofUr=2.0～50.0 and Reynolds number was Re=100. Results showed that the responses of two upstream cylinders are similar to those of VIV of an isolated cylinder, the initial and lower branches are clearly observed; the upstream two cylinders reach their maximum vibration amplitude ofYmax/D=0.56 at the reduced flow-velocityUr=4.4, it is close to that of an isolated cylinderYmax/D=0.57; the two downstream cylinders reach their maximum amplitudeYmax/D=0.997 at the reduced flow-velocityUr=7.9, it is 74.8% larger than that of an isolated cylinder; three asymmetric vibration regions are observed, i.e., the first asymmetric vibration region is 4.510.5; the asymmetric vibration features of the cylinders are closely related to asymmetric wake patterns and stably biased gap flows.

flow-induced vibration; square arrangement; circular cylinder; vibration response

10.13465/j.cnki.jvs.2016.11.009

國家自然科學(xué)基金創(chuàng)新研究群體科學(xué)基金(51321065);國家自然科學(xué)基金(51579175;51479135);天津市青年科學(xué)基金(12JCQNJC02600);水力學(xué)與山區(qū)河流開發(fā)保護(hù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(SKHL1303)

2015-01-27修改稿收到日期：2015-06-18

及春寧 男，博士，副教授，1978年生

E-mail：cnji@tju.edu.cn

P751； TB531

A