彭　劍， 胡　霞， 謝獻(xiàn)忠， 王連華

(1.湖南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南　湘潭　411201；2.湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長(zhǎng)沙　410082)

時(shí)滯影響下MR阻尼器-斜拉索控制系統(tǒng)主共振分析

彭劍1， 胡霞1， 謝獻(xiàn)忠1， 王連華2

(1.湖南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南湘潭411201；2.湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410082)

基于Hamilton變分原理，建立了考慮時(shí)滯作用下的MR阻尼器-斜拉索控制系統(tǒng)的非線性運(yùn)動(dòng)方程。采用Galerkin方法和多尺度法，從理論上推導(dǎo)出時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)的分岔響應(yīng)，得到了該系統(tǒng)主共振的一階近似解及響應(yīng)峰值關(guān)于時(shí)滯的解析式。進(jìn)而，分析了時(shí)滯、控制增益、外激勵(lì)幅值等參數(shù)對(duì)系統(tǒng)主共振幅值響應(yīng)的影響。結(jié)果表明，受控系統(tǒng)的主共振幅值存在跳躍和滯后現(xiàn)象，并隨著時(shí)滯量、控制反饋增益和外激勵(lì)幅值的增大而增大，且系統(tǒng)可能出現(xiàn)失穩(wěn)；主共振響應(yīng)的峰值與時(shí)滯正相關(guān)，當(dāng)時(shí)滯達(dá)到一定值后，峰值顯著增大。

MR阻尼器；斜拉索；時(shí)滯；主共振

斜拉索作為斜拉橋的關(guān)鍵構(gòu)件，具有阻尼低、質(zhì)量輕及柔性等基本特點(diǎn)，在車(chē)輛荷載或風(fēng)(雨)荷載作用下易發(fā)生大幅振動(dòng)，非線性現(xiàn)象十分明顯。盡管對(duì)拉索的振動(dòng)機(jī)理并沒(méi)有完全理解，但是基于實(shí)際需要，已經(jīng)根據(jù)不同的情況提出了一系列的控制方法。目前，對(duì)采用MR阻尼器對(duì)拉索的振動(dòng)進(jìn)行控制已有不少研究[1-2]，但是MR阻尼器本身存在30 ms～50 ms的時(shí)滯，這主要由MR液響應(yīng)時(shí)間，激勵(lì)線圈反應(yīng)時(shí)間和結(jié)構(gòu)時(shí)滯等組成，再加上半主動(dòng)控制系統(tǒng)的時(shí)滯，整個(gè)控制系統(tǒng)的時(shí)滯量可達(dá)到近1 s[3]，而這與斜拉索的基頻處于同一個(gè)量級(jí)，極易引起受控系統(tǒng)失穩(wěn)[4]。因此深入探究時(shí)滯影響下該系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)有利于提高控制質(zhì)量，改善控制系統(tǒng)性能。

值得一提的是，結(jié)構(gòu)大幅振動(dòng)控制中的時(shí)滯問(wèn)題已引起了學(xué)者們的關(guān)注。已有研究分別從時(shí)滯受控系統(tǒng)的穩(wěn)定性，時(shí)滯補(bǔ)償?shù)确矫孢M(jìn)行了探討。Cha等[3]基于半主動(dòng)控制策略，開(kāi)展了時(shí)滯影響下200 kN的MR阻尼器的魯棒性研究。Ying等[5]研究了時(shí)滯影響下半主動(dòng)受控斜拉索的參數(shù)激勵(lì)的穩(wěn)定性。Abdel-Rohman等[6]研究了風(fēng)雨激勵(lì)作用下懸索橋半主動(dòng)控制中的時(shí)滯問(wèn)題，并對(duì)比了兩種時(shí)滯補(bǔ)償方法。彭劍等[7]對(duì)MR阻尼器-拉索控制系統(tǒng)中的時(shí)滯影響下的系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。宋攀等[8]研究了復(fù)雜柔性耦合主動(dòng)隔振系統(tǒng)中的時(shí)滯主動(dòng)控制問(wèn)題，結(jié)果表明主動(dòng)控制中有必要考慮時(shí)滯因素以避免失穩(wěn)。申永軍等[9]對(duì)含有時(shí)滯的單自由度半主動(dòng)開(kāi)關(guān)控制懸架系統(tǒng)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性隨著時(shí)滯會(huì)發(fā)生周期性變化。

因此，為了滿足實(shí)際工程需要，必須深入研究時(shí)滯作用下的MR阻尼器-拉索系統(tǒng)。本文基于建立的時(shí)滯微分方程，利用Galerkin方法和多尺度法求得主共振的一階近似解，分析了一些重要參數(shù)對(duì)主共振幅頻響應(yīng)的影響。

1MR阻尼器-斜拉索系統(tǒng)時(shí)滯微分方程

由于拉索的垂度非常小，因此拉索沿弦長(zhǎng)方向的振動(dòng)可以忽略不計(jì)。假設(shè)沿索長(zhǎng)方向的截面積保持不變，索始終保持在彈性變形范圍內(nèi)。如圖1所示的MR阻尼器-拉索系統(tǒng)。固定端標(biāo)記為A,B，磁流變阻尼器安裝位置標(biāo)記為C。以固定端A為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩端點(diǎn)連線方向?yàn)閤軸，垂線方向?yàn)閥軸，建立直角坐標(biāo)系。利用Hamilton變分原理可得到忽略彎曲、扭轉(zhuǎn)以及剪切的MR阻尼器—拉索系統(tǒng)的面內(nèi)非線性運(yùn)動(dòng)方程為[10-11]：

f(x,t)+Fdδ(x-xd)

(1)

v(0,t)=v(L,t)=0

(2)

圖1　MR阻尼器-拉索系統(tǒng)的理論模型Fig.1 Theoretical model of MR damper-stay cable system

由于拉索的垂度很小，因此，初始斜拉索的靜態(tài)構(gòu)形y可近似表示為[10]:

(3)

式中：θ為拉索的傾角?；谏厦娴募僭O(shè)，可得到斜拉索的無(wú)量綱非線性運(yùn)動(dòng)方程：

(4)

其中利用了下面的無(wú)量綱變量：

x*=x/L,y*=y/L,v*=v/L,α=EA/H,

此外，為了書(shū)寫(xiě)方便，運(yùn)動(dòng)方程式(4)中的星號(hào)已經(jīng)去掉。

考慮控制時(shí)滯τ，則時(shí)滯作用下的MR阻尼器-拉索系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為：

(5)

運(yùn)用Galerkin方法對(duì)其位移函數(shù)v(x,t)進(jìn)行展開(kāi)：

(6)

(6)

其中運(yùn)動(dòng)方程中利用了模態(tài)阻尼，μn為模態(tài)阻尼系數(shù)，ωn為第n階面內(nèi)模態(tài)的固有頻率，此外：

有關(guān)收斂性已有驗(yàn)證[13]，同時(shí)Zhou等[14]提供了很好的解決收斂性和計(jì)算效率的問(wèn)題的方法。在本文中僅研究單模態(tài)非線性響應(yīng)，且計(jì)算阻尼系數(shù)時(shí)只取第一階近似，即：

(8)

2主共振解

本節(jié)求解該系統(tǒng)單模態(tài)非線性振動(dòng)的主共振解，采用多尺度法，設(shè)方程(8)的攝動(dòng)解形式為：

qn(t)=qn0(T0,T1,T2)+εqn1(T0,T1,T2)+

ε2qn2(T0,T1,T2)+O(ε2),Tj=εjt,j=0,1,2

(9)

在主共振情況下，調(diào)整阻尼項(xiàng)、非線性項(xiàng)及外激勵(lì)項(xiàng)的系數(shù)，即：

μn=O(ε2),Λnnn=O(ε),Γnnnn=O(ε2),kn=O(ε2),

fn=O(ε2),Ω=ωn+ε2σ,σ=O(1)

其中0<ε?1，σ為調(diào)諧參數(shù)。使用微分算子：

(10)

將方程(9)和方程(10)代入方程(8)，比較方程兩邊的系數(shù)，得到如下微分方程組：

(11)

(12)

knD0qn0(T0-τ,T1,T2)+fncos(T0+σT2)

(13)

方程(11)的解可寫(xiě)為：

(14)

式中：i表示虛數(shù)單位，An(T1)為關(guān)于T1的復(fù)函數(shù)。將方程(14)代入方程(12)可得：

(15)

式中：cc表示前面幾項(xiàng)的復(fù)共軛。在方程(15)中消去使qn1產(chǎn)生久期項(xiàng)的那些項(xiàng)，得到D1An=0或An=An(T2)。因而方程(15)的解記為：

(16)

將方程(14)和方程(16)代入方程(13)，可得：

(17)

在方程(17)中消去使得qn2產(chǎn)生久期項(xiàng)的那些項(xiàng)，則有：

-i(2D2+μn+kneiτ)An+

(18)

(19)

式中：φn(T2)=σnT2-βn(T2)。當(dāng)an0′=γn0′=0時(shí)存在穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，這對(duì)應(yīng)著方程(19)的奇點(diǎn)，亦即對(duì)應(yīng)方程組：

(20)

的解。將上述兩個(gè)方程平方相加，可得到主共振的幅頻響應(yīng)方程及相位角方程：

(21)

因此，主共振的穩(wěn)態(tài)一階近似解可以表示為：

qn(t)=ancos(Ωt-φn)+O(ε)

(22)

同時(shí)，易知響應(yīng)幅值是關(guān)于調(diào)諧參數(shù)，反饋增益，時(shí)滯以及外激勵(lì)幅值的函數(shù)。根據(jù)方程(21)可得主共振最大幅值的表達(dá)式為ap=fn/(μn+kncosτ)。

3穩(wěn)定性分析

下面通過(guò)研究方程(19)的奇點(diǎn)的性狀來(lái)確定穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，設(shè)：

an=an0+an1,γn=γn0+γn1

(23)

將方程(23)代入方程(19)，注意到an0,γn0滿足方程(20)，保留到an1,γn1的線性項(xiàng)，得到：

(24)

方程(24)的特征方程如下：

(25)

根據(jù)方程(20)，方程(25)可以簡(jiǎn)化為：

(26)

其中：

4算例分析

本節(jié)以岳陽(yáng)洞庭湖大橋A12斜拉索作為研究對(duì)象進(jìn)行算例分析。其幾何參數(shù)和物理參數(shù)分別為：索長(zhǎng)L=121.9 m；橫截面積A=6 273×10-6m2；初始張力H=3 150 kN；彈性模量E=2.0×1011Pa；傾斜角θ=35.2°；單位長(zhǎng)度質(zhì)量m=51.8 kg/m；阻尼μ1=0.012 6；重力加速度g=9.81 m/s2，等效阻尼系數(shù)k1=15，阻尼器位置取距離下錨固端2%位置。

圖2　時(shí)滯作用下主共振的幅頻響應(yīng)曲線Fig.2 The amplitude-frequency curve of the primary resonance response with time delay

圖3　控制增益作用下主共振的幅頻響應(yīng)曲線Fig.3 The amplitude-frequency curve of the primary resonance response with control feedback gain

下面將分別分析時(shí)滯、控制增益和外激勵(lì)幅值對(duì)第一階模態(tài)(n=1)主共振幅頻響應(yīng)的影響，圖中實(shí)線和虛線分別表示穩(wěn)定和不穩(wěn)定幅值。圖2～圖5是基于打靶法和延拓方法得到的主共振的幅頻響應(yīng)曲線圖。圖2和圖3中選取外激勵(lì)的幅值f=0.005，給出了不同時(shí)滯值和控制增益作用下主共振的幅頻響應(yīng)曲線。從圖中可以看出，隨著時(shí)滯值和控制增益的增大，振幅增大，而其主共振區(qū)域和振動(dòng)骨架無(wú)明顯變化。同時(shí)發(fā)現(xiàn)，不同的時(shí)滯值對(duì)應(yīng)的幅頻曲線均存在多值區(qū)域和跳躍現(xiàn)象。值得指出的是，隨著時(shí)滯值得增大，其值越來(lái)越接近系統(tǒng)的固有頻率，可能發(fā)生共振，從而導(dǎo)致非線性響應(yīng)增強(qiáng)。

圖4　時(shí)滯作用下主共振的振幅-激勵(lì)幅值曲線Fig.4 The response-excitation amplitude curve of the primary resonance with time delay

圖4給出了不同時(shí)滯值和調(diào)諧參數(shù)時(shí)系統(tǒng)第一階模態(tài)的振動(dòng)響應(yīng)。注意到，隨著調(diào)諧參數(shù)σ值得不同，有些曲線是多值的，有些曲線是單值的。并且不穩(wěn)定值僅出現(xiàn)在多值曲線上。隨著時(shí)滯值的增加，系統(tǒng)響應(yīng)幅值相應(yīng)增大，而與幅值曲線不同的是，振動(dòng)曲線的響應(yīng)較弱。

圖5　時(shí)滯作用下主共振的響應(yīng)幅值峰值曲線Fig.5 The curves of the peak amplitude of the primary resonance response with time delay

圖5給出的是主共振的響應(yīng)幅值的峰值與時(shí)滯之間的關(guān)系圖。從圖中可以得出，隨著時(shí)滯值的增大，其峰值逐漸增大，并且當(dāng)時(shí)滯值處于一定范圍內(nèi)，對(duì)主共振響應(yīng)的幅值的峰值影響不大，但當(dāng)達(dá)到或大于某一值時(shí)，其峰值增幅得到顯著提高。圖6則通過(guò)系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)程曲線給出了不同時(shí)滯作用下響應(yīng)的明顯變化。當(dāng)時(shí)滯值增大時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)明顯增大。

圖6　不同時(shí)滯值時(shí)主共振的響應(yīng)時(shí)間歷程圖Fig.6 The time history curves of the primary resonance response with time delay

5結(jié)論

本文針對(duì)MR阻尼器-斜拉索系統(tǒng)，基于多尺度法對(duì)時(shí)滯影響下該系統(tǒng)的主共振響應(yīng)進(jìn)行了解析研究，得到了系統(tǒng)的一階近似解，與數(shù)值解吻合較好，并對(duì)其主共振幅頻響應(yīng)進(jìn)行參數(shù)分析。結(jié)果表明：

(1) 主共振幅頻響應(yīng)受時(shí)滯因素影響較大，其振幅隨時(shí)滯值、控制反饋增益和外激勵(lì)幅值增大而增大，存在多值區(qū)域和跳躍現(xiàn)象。因此，必須控制該系統(tǒng)中時(shí)滯量的取值范圍，以避免較大的時(shí)滯值導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)的顯著增大及系統(tǒng)失穩(wěn)。

(2) 調(diào)節(jié)該系統(tǒng)中時(shí)滯量，可以達(dá)到消除或改變系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔。

(3) 主共振響應(yīng)的峰值與時(shí)滯正相關(guān)，當(dāng)時(shí)滯超過(guò)臨界值后，峰值顯著增大。

(4) 控制增益對(duì)振幅也存在較大影響，在對(duì)具體系統(tǒng)進(jìn)行控制設(shè)計(jì)時(shí)，可選取合適的時(shí)滯值和控制增益達(dá)到較優(yōu)的控制效果。

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Primary resonance of MR damper-stay cable control systems with time delay

PENG Jian1, HU Xia1, XIE Xian-zhong1, WANG Lian-hua2

(1. School of Civil Engineering, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China;2. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

Based on Hamilton principle, nonlinear motion equations of MR damper-stay cable systems with time delay were obtained. The bifurcation responses of this type system were derived with Galerkin method and the method of multiple scale. The approximate expressions of the primary resonance and the peak of the response amplitude versus time delay were deduced. To illustrate the characteristics of the primary resonance, the effects of major parameters, such as, time delay, control gains and external excitation on the system response were studied. The numerical results showed that the frequency-response curves of the controlled system have jump and hysteresis phenomena, and the response amplitude increases with increase in time delay, control feedback gain and external excitation amplitude; a positive correlation between the peak amplitude of the primary resonance response and time delay is observed, and when time delay reaches a certain value, the peak significantly increases.

MR damper; stay cable; time delay; primary resonance

10.13465/j.cnki.jvs.2016.11.029

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)(2015CB057702);國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11402085;11272119)；湖南省教育廳項(xiàng)目(14C0464;12A052)

2014-04-04修改稿收到日期：2015-01-30

彭劍 男，博士，講師，1982年11月生

O322

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