劉海平， 楊建中， 羅文波， 錢志英

(北京空間飛行器總體設(shè)計部，北京　100094)

新型歐拉屈曲梁非線性動力吸振器的實現(xiàn)及抑振特性研究

劉海平， 楊建中， 羅文波， 錢志英

(北京空間飛行器總體設(shè)計部，北京100094)

將歐拉屈曲梁和線性彈簧并聯(lián)使用，構(gòu)建非線性動力吸振器。建立了安裝歐拉屈曲梁非線性動力吸振器的系統(tǒng)動力學模型。利用諧波平衡法推導了主從振系的頻響方程組。利用四階龍格-庫塔法對比計算了在瞬態(tài)激勵和多頻穩(wěn)態(tài)激勵條件下，未安裝吸振器、安裝線性和非線性吸振器時主振系在時間域和頻率域的響應特性。在此基礎(chǔ)上，開展歐拉屈曲梁的初始撓度、初始傾角和阻尼系數(shù)對其振動抑制性能的影響分析。結(jié)果表明：所提歐拉屈曲梁設(shè)計參數(shù)成功構(gòu)建了非線性動力吸振器；與安裝線性吸振器前后的主振系響應相比，對主振系的抑振效果明顯；歐拉屈曲梁初始撓度和阻尼系數(shù)存在最優(yōu)值；初始傾角增大可增強非線性動力吸振器的振動抑制能力。

非線性; 動力吸振器; 歐拉屈曲梁

動力吸振器的概念最早由Frahm[1]提出，經(jīng)過多年的發(fā)展被廣泛推廣應用于各個工程領(lǐng)域。然而，傳統(tǒng)線性動力吸振器的適用頻帶較窄，僅能實現(xiàn)單頻振動控制。在吸振器受到?jīng)_擊載荷、隨機振動等寬頻振動激勵時，其有效性非常有限。

在線性動力吸振器基礎(chǔ)上，Roberson[2]提出在動力吸振器中引入非線性，可以有效增加振動抑制的帶寬，并提高其魯棒性。國內(nèi)外學者對非線性動力吸振器的工作機理和影響因素開展了大量研究工作[3-10]。但是，以上研究工作僅將非線性動力吸振器簡化為“立方剛度彈簧-阻尼-質(zhì)量”系統(tǒng)，并未給出其具體的工程實現(xiàn)形式。

近年，一類基于歐拉屈曲梁的高靜低動準零剛度隔振器引起國內(nèi)外學者的關(guān)注[11-14]。此類隔振器采用正負剛度并聯(lián)的原理獲得超低頻隔振性能。為了有效表征隔振器的非線性力學特征，引入立方剛度非線性項。這一非線性特征奠定了歐拉屈曲梁構(gòu)建新型非線性動力吸振器的力學基礎(chǔ)。

本文使用歐拉屈曲梁構(gòu)建新型非線性動力吸振器，并對其振動抑制特性進行了研究。通過建立相應的動力學方程，利用諧波平衡法獲得了系統(tǒng)的頻響函數(shù)。采用數(shù)值計算方法，對歐拉屈曲梁構(gòu)建的非線性動力吸振器的有效性，以及安裝線性動力吸振器前后主振系的響應特性進行對比研究。在此基礎(chǔ)上，通過參數(shù)化計算，分析了歐拉屈曲梁重要設(shè)計參數(shù)對抑振特性的影響。以上工作為新型非線性動力吸振器的工程應用奠定了基礎(chǔ)。

1非線性動力吸振器模型

McFarland[15]給出了本質(zhì)非線性動力吸振器的簡化模型，其主要特征為兩個線性剛度彈簧沿水平方向與一個質(zhì)量塊連接，彈簧兩側(cè)連接端帶有滑套，可防止彈簧彎曲產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。樓京俊等[8]引入一個弱線性剛度彈簧作為支撐，有效改善了本質(zhì)非線性動力吸振器的振動控制性能。

根據(jù)以上方法，利用歐拉屈曲梁構(gòu)建的非線性動力吸振器，如圖1所示。其中，單根歐拉屈曲梁模型在圖2中給出。

圖1　歐拉屈曲梁非線性動力吸振器Fig.1 The structure of Euler buckled beam nonlinear vibration absorber

圖2　單根屈曲歐拉梁Fig.2 Schematic of a single euler buckled beam

假設(shè)在初始狀態(tài)下，單根歐拉屈曲梁中間初始撓度q0，在垂向載荷P的作用下，其末端垂向位移為y，中間撓度為q。

軸向載荷P和末端垂向位移y之間的關(guān)系：

(1)

式中：Pe=EI(π/L)2，L為歐拉屈曲梁未變形時長度，E為材料彈性模量，I為曲梁截面慣性矩。

圖3給出歐拉屈曲梁構(gòu)建的本質(zhì)非線性動力吸振器。根據(jù)單根屈曲歐拉梁的軸向力位移式(1)，得到歐拉屈曲梁構(gòu)建的本質(zhì)非線性動力吸振器的垂向力位移關(guān)系：

(2)

圖3　歐拉屈曲梁本質(zhì)非線性動力吸振器Fig.3 The structure of Euler buckled beam essentially nonlinear vibration absorber

在歐拉屈曲梁構(gòu)建的本質(zhì)非線性動力吸振器質(zhì)量塊下增加支撐彈簧可改善其靜動態(tài)性能，得到圖1所示的非線性動力吸振器，假設(shè)質(zhì)量塊的平衡位置為歐拉屈曲梁水平時的位置，得到非線性吸振器沿z方向的彈性恢復力為：

(3)

2系統(tǒng)動力學模型

由線性系統(tǒng)和歐拉屈曲梁非線性動力吸振器構(gòu)成的模型，如圖4所示。其中，M為主振系質(zhì)量，K為主振系彈性系數(shù)，C1為主振系阻尼系數(shù)；m為非線性動力吸振器質(zhì)量，C2為相應阻尼系數(shù)；F(z)為歐拉屈曲梁非線性動力吸振器輸出彈性恢復力，z=x-y為吸振器與主振系的相對位移；fcos(ωt)為系統(tǒng)輸入激勵。

圖4　安裝非線性動力吸振器系統(tǒng)模型Fig.4 The dynamic model with nonlinear vibration absorber

由圖4所示模型，可以得到系統(tǒng)動力學方程：

(4)

其中，ξi為無量綱阻尼系數(shù)，μ為主從系統(tǒng)質(zhì)量比，ε為主從系統(tǒng)的線性剛度比，A為力幅值作用下的主振系變形。

將以上關(guān)系式代入方程(4)，得到：

(5)

令τ=ωt為新的時間量綱，得到：D/Dt=ωD/Dτ，D2/Dt2=ω2D2/Dτ2，Ω=ω/ωn為頻率比，相對位移z=y-x。

將以上關(guān)系式代入方程(5)，得到：

(6)

式中：(·)′=D(·)/Dτ,(·)″=D2(·)/Dτ2。

3系統(tǒng)近似解析計算

對方程(6)所示非線性微分方程采用諧波平衡法，將系統(tǒng)的周期解利用傅里葉級數(shù)展開，代入動力學方程，平衡各個諧波系數(shù)。

假設(shè)方程(6)的一階諧波解為：

X=X0cosτ,Z=Z0cosτ

(7)

考慮阻尼的影響，激勵A與主振系位移X，主振系位移X與相對位移Z之間相位差分別為θ、φ。將公式X=X0cos(τ+φ),Z=Z0cosτ代入方程(5)的第二式，得到：

Ω2X0cos(τ+φ)

(8)

Ω2X0cosφcosτ-Ω2X0sinφsinτ

(9)

省略高于一次的高次諧波，上式兩端的一次諧波cosτ和sinτ的系數(shù)相等，得到：

消去上式中參數(shù)φ，得到頻響方程：

(11)

將式(6)中第二式代入第一式，得到：

(1+μ)Ω2X″+2ξ1ΩX′+X+μΩ2Z″=Acos(τ)

(12)

考慮位移X和Z之間的相位差φ，將X=X0cosτ,Z=Z0cos(τ-φ)代入式(12)，式中的Acos(τ)相應改寫為Acos(τ+θ)展開三角函數(shù)，得到：

[(1+μ)Ω2X0+μΩ2Z0cosφ]cosτ+

(2ξ1ΩX0+μΩ2Z0sinφ)sinτ=

(X0-Acosθ)cosτ+Asinθsinτ

(13)

使式(13)兩端的一次諧波cosτ和sinτ的系數(shù)相等，得到：

(14)

將式(10)代入式(14)，并消去參數(shù)θ，得到第二個頻響函數(shù)：

(15)

結(jié)合式(11)和式(15)得到各參數(shù)關(guān)系的非線性方程組：

4算例

利用以上所建系統(tǒng)動力學模型，采用龍格—庫塔法對歐拉屈曲梁構(gòu)建的非線性動力吸振器進行設(shè)計并評估其振動控制效果。同時，與安裝線性動力吸振器前后系統(tǒng)的響應特性進行對比。

系統(tǒng)模型中線性部分設(shè)計參數(shù)參見文獻[8]，具體見表1。其中，線性動力吸振器設(shè)計參數(shù)為理論最優(yōu)值。表中還給出可在工程中實現(xiàn)的任意一組歐拉屈曲梁非線性動力吸振器的設(shè)計參數(shù)。

4.1瞬態(tài)響應

利用所建模型，考慮動力吸振器對主振系瞬態(tài)響應特性的影響，給主振系質(zhì)量施加幅值為0.02 m的初始位移激勵，其他變量初始條件均為0，設(shè)計參數(shù)詳見表1。

圖5給出0.02 m初始位移激勵下，未安裝動力吸振器、安裝線性和非線性動力吸振器時主振系位移響應曲線。由圖可見，未安裝動力吸振器時，由于系統(tǒng)中缺少耗能環(huán)節(jié)(阻尼C1=0 Ns/m)導致主振系保持幅值為0.02 m的穩(wěn)態(tài)振動。安裝線性和非線性動力吸振器以后，主振系的振動響應可在2 s內(nèi)實現(xiàn)衰減。在0 s～2 s時間范圍內(nèi)安裝非線性動力吸振器的主振系響應幅值顯著小于安裝線性動力吸振器的主振系響應。

圖5　主振系瞬態(tài)響應曲線Fig.5 Transient responses of the main mass

參數(shù)符號數(shù)值備注質(zhì)量M100kg彈性系數(shù)K3.95×105N/m阻尼C10Ns/m主振系吸振器質(zhì)量m8kg彈性系數(shù)k02.71×104N/m阻尼C050Ns/m線性吸振器(最優(yōu)值)未變形長度L0.02m中間初始撓度q01×10-3m材料彈性模量E89GPa(鈹青銅)截面厚度h2×10-4m截面寬度w1×10-2m初始傾角θ10°阻尼C2200Ns/m歐拉屈曲梁

利用主振系在計算時間內(nèi)位移響應均方根值對比安裝線性和非線性吸振器前后的抑振效果，如圖6所示。可見，線性和非線性吸振器可分別使主振系響應衰減80.77%和81.76%。

圖6　主振系瞬態(tài)位移響應均方根RMSFig.6 RMS value of the main mass displacement for transient responses

通過傅里葉變換得到主振系在頻率域的響應曲線，如圖7所示。可見，在主振系峰值頻率處線性吸振器的抑振效果優(yōu)于非線性吸振器；但是，非線性吸振器有效工作頻帶更寬，并將線性吸振器附帶產(chǎn)生的兩個共振峰有效抑制。顯然，這一現(xiàn)象與已有關(guān)于本質(zhì)非線性動力吸振器的研究結(jié)果相符。由此得到，基于歐拉屈曲梁成功構(gòu)建了一類新型非線性動力吸振器。

圖7　主振系瞬態(tài)響應曲線Fig.7 Transient responses of the main mass

4.2穩(wěn)態(tài)響應

工程實際中，系統(tǒng)除受到瞬態(tài)激勵之外，還會受到多個頻率的穩(wěn)態(tài)載荷作用。為了研究在穩(wěn)態(tài)載荷作用下吸振器對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，給主振系施加三個頻率激勵，力幅值f=395 N，激勵頻率ω1=52 rad/s，ω2=63 rad/s，ω3=71 rad/s，變量初始條件均為0。

圖8給出三個頻率穩(wěn)態(tài)激勵下，主振系在時間域的位移響應曲線?？梢?，穩(wěn)態(tài)激勵作用下，使無阻尼主振系的振動響應幅值趨于無窮大；安裝線性和非線性吸振器均可有效抑制其位移響應。

圖8　主振系穩(wěn)態(tài)響應曲線Fig.8 Stability responses of the main mass

利用主振系位移響應均方根值對比安裝不同吸振器前后的抑振效果，如圖9所示。可見，線性和非線性吸振器可分別使主振系響應衰減93.06%和93.88%。

圖10給出頻率域位移響應曲線，可見線性吸振器在激勵頻率ω2=63 rad/s附近抑振性能優(yōu)于非線性吸振器，其他頻段抑振效果均不如非線性吸振器。

圖9　主振系穩(wěn)態(tài)位移響應均方根RMSFig.9 RMS value of the main mass displacement for stability responses

圖10　主振系穩(wěn)態(tài)響應曲線Fig.10 Stability responses of the main mass

4.3歐拉屈曲梁影響因素分析

歐拉屈曲梁初始撓度、初始傾角和阻尼系數(shù)是影響其動態(tài)特性的重要參數(shù)，因此根據(jù)以上所建系統(tǒng)動力學模型進行分析研究。

首先，歐拉屈曲梁其他設(shè)計參數(shù)保持不變，分別取初始撓度q0=1×10-5m，1×10-4m，1×10-3m，1×10-2m， 1×10-1m，得到主振系位移響應均方根值，如圖11所示。可見，初始撓度存在最優(yōu)值，所取參數(shù)太大或者太小均不能使非線性動力吸振器動態(tài)性能最優(yōu)，即q0=1×10-3m時抑振效果最好，可使主振系位移響應幅值最小為74.02 mm。

圖12給出僅考慮歐拉屈曲梁初始傾角變化時的抑振效果。分別取θ=5°，10°，15°，20°，25°，主振系位移均方根隨著初始傾角的增大而增加，依次為58.77 mm，74.02 mm，105.2 mm，131.6 mm，147.3 mm，所以在使用時應選擇盡可能小的傾角。但傾角的選擇也應在一定范圍內(nèi)，否則歐拉屈曲梁的力學關(guān)系式(1)將不再適用。

圖11　不同初始撓度對應主振系穩(wěn)態(tài)響應均方根Fig.11 RMS value of the main mass displacement for stability responses for different values of q0

圖12　不同初始傾角對應主振系穩(wěn)態(tài)響應均方根Fig.12 RMS value of the main mass displacement for stability responses for different values of θ

阻尼系數(shù)作為振動控制系統(tǒng)的耗能環(huán)節(jié)，其設(shè)計參數(shù)的選擇對于系統(tǒng)的振動抑制效果影響較大。因此，保持其他設(shè)計參數(shù)不變，考慮歐拉屈曲梁吸振器阻尼系數(shù)分別為C2=0，20，200，2 000，20 000 Ns/m，得到主振系位移響應均方根，如圖13所示。可見，阻尼系數(shù)也存在最優(yōu)值，太大或者太小均不能實現(xiàn)最佳的抑振效果。阻尼系數(shù)為C2=200 Ns/m時，可使主振系位移響應均方根最小為74.02 mm。

圖13　不同阻尼系數(shù)對應主振系穩(wěn)態(tài)響應均方根Fig.13 RMS value of the main mass displacement for stability responses for different values of C2

5結(jié)論

根據(jù)非線性動力吸振器的設(shè)計原理，提出一種可在工程中實現(xiàn)的基于歐拉屈曲梁的非線性動力吸振器，并建立其系統(tǒng)動力學方程。

首先，采用諧波平衡法得到所建力學方程的近似解析解。然后，使用龍格-庫塔法計算得到安裝線性和非線性吸振器前后，主振系在瞬態(tài)位移激勵和多頻穩(wěn)態(tài)正弦激勵下在時間域和頻率域的響應特性曲線。最后，考慮歐拉屈曲梁重要設(shè)計參數(shù)初始撓度、初始傾角和阻尼系數(shù)的影響，進行了仿真計算。

根據(jù)計算結(jié)果得到如下結(jié)論：

(1) 提出可在工程中實現(xiàn)的新型歐拉屈曲梁非線性動力吸振器幾何設(shè)計參數(shù)，并建立其動力學方程；

(2) 與線性吸振器相比，非線性吸振器在有效抑制主頻振動響應的同時，在其他頻段不會引起響應峰，并且其有效抑振頻帶更寬；

(3) 歐拉屈曲梁初始撓度存在最優(yōu)值為q0=1×10-3m，可使主振系位移響應均方根值最小為74.02 mm；

(4) 主振系響應幅值隨著歐拉屈曲梁初始傾角的增大而增加；所以在使用時應選擇盡可能小的傾角。但傾角的選擇不應太小，而是在一定范圍內(nèi)，否則歐拉屈曲梁的力學關(guān)系式(1)將不再適用；

(5) 歐拉屈曲梁的阻尼系數(shù)存在可使主振系響應均方根最小的最優(yōu)值為C2=200 Ns/m，其取值不應該太小或者太大。

通過本文研究工作，可為基于歐拉屈曲梁的新型非線性吸振器的設(shè)計及工程實施奠定基礎(chǔ)。

[ 1 ] Frahm H. Device for damping vibration of bodies[P]. US Patent, 1909: 989958.

[ 2 ] Roberson R E. Synthesis of a nonlinear dynamic vibration absorber[J]. Journal of the Franklin Institute, 1952,254(3): 205-220.

[ 3 ] Oueini S S, Chin C M, Nayfeh A H. Dynamics of a cubic nonlinear vibration absorber[J]. Nonlinear Dynamics, 1999, 20(3): 283-295.

[ 4 ] Pun D, Liu Y B. On the design of the piecewise linear vibration absorber[J]. Nonlinear Dynamics, 2000, 22(4): 393-413.

[ 5 ] Walsh P L, Lamancusa J S. A variable stiffness vibration absorber for minimization of transient vibrations[J]. Journal of Sound and Vibration, 1992, 158(2): 195-211.

[ 6 ] Starosvetsky Y, Gendelman O V. Vibration absorption in systems with a nonlinear energy sink: nonlinear damping[J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 324(3/4/5): 916-939.

[ 7 ] Zhu S J, Zheng Y F, Fu Y M. Analysis of nonlinear dynamics of a two-degree-of-freedom vibration system with nonlinear damping and nonlinear spring[J]. Journal of Sound and Vibration, 2004, 271(1/2): 1-11.

[ 8 ] 樓京俊, 唐斯密, 朱石堅,等. 改進的本質(zhì)非線性吸振器寬頻吸振參數(shù)域研究[J]. 振動與沖擊, 2011， 30(6): 218-222.

LOU Jing-jun, TANG Si-mi, ZHU Shi-jian, et al. Parametric range of improved essentially nonlinear absorber on broad frequency band[J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(6): 218-222.

[ 9 ] 趙艷影, 徐鑒. 時滯非線性動力吸振器的減振機理[J]. 力學學報, 2008, 40(1): 98-105.

ZHAO Yan-ying, XU Jian. Mechanical analysis of delayed nonlinear vibration absorber[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2008, 40(1): 98-105.

[10] 唐斯密, 朱石堅, 樓京俊. 非線性吸振器剛度調(diào)整策略研究[J]. 武漢理工大學學報, 2011, 35(1): 163-171.

TANG Si-mi, ZHU Shi-jian, LOU Jing-jun. Study on the tactic of adjusting stiffness of the nonlinear dynamic vibration absorber[J]. Journal of Wuhan University of Technology, 2011, 35(1): 163-171.

[11] 劉興天, 黃修長, 張志誼,等. 激勵幅值及載荷對準零剛度隔振器特性的研究[J]. 機械工程學報, 2013, 49(6): 89-94.

LIU Xing-tian, HUANG Xiu-chang, ZHANG Zhi-yi,et al. Influence of excitation amplitude and load on the characteristics of quasi-zero stiffness isolator[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2013, 49(6): 89-94.

[12] 張建卓, 李旦, 董申,等. 歐拉壓桿在超低頻垂向隔振系統(tǒng)中的應用研究[J]. 機械強度, 2004, 26(3): 237-241.

ZHANG Jian-zhuo, LI Dan, DONG Shen, et al. Study on Euler column spring used in ultra-low frequency vertical vibration isolation system[J]. Journal of Mechanical Strength, 2004, 26(3): 237-241.

[13] Winterflood J, Blair D G, Slagmolen B. High performance vibration isolation using springs in Euler column buckling mode[J] Physics Letters A, 2002, 300: 122-130.

[14] 殷小濤, 孟再強, 劉興星,等. 非規(guī)則彈性片高靜低動的隔振特性[J]. 噪聲與振動控制, 2013, 33(6): 45-48.

YIN Xiao-tao, MENG Zai-qiang, LIU Xing-xing, et al. High static stiffness and low dynamic stiffness isolation characteristics of irregular elastic sheets[J]. Sound and Vibration Control, 2013, 33(6): 45-48.

[15] McFarland D M, Bergman L A, Vakakis A F. Experimental study of non-linear energy pumping occurring at a single fast frequency[J].International Journal of Non-linear Mechanics, 2005, 40:891-899.

Realization and vibration supperession ability of a new novel Euler buckled beam nonlinear vibration absorber

LIU Hai-ping, YANG Jian-zhong, LUO Wen-bo, QIAN Zhi-ying

(Beijing Institute of Spacecraft System Engineering, Beijing 100094, China)

Combining an Euler buckled beam and a linear positive stiffness spring in parallel, a new novel improved nonlinear vibration absorber was designed and built. According to its structure, a systematic dynamic model with strong nonlinear characteristics of a structure system with the new novel absorber installed was established. Based on the nonlinear dynamic equations, the system’s frequency response equations were derived using the harmonic balance method. Meanwhile, under conditions of transient input and multi-frequency steady input, the system’s dynamic equations without any absorber, with a linear absorber and a nonlinear absorber, respectively were solved using the four-order Runge-Kutta method in time-domain and frequency-domain. In addition, the influences of initial deflection, oblique angle and damping coefficient of Euler buckled beam on the system’s vibration suppression performance were studied. The calculating results showed that a typical nonlinear dynamic absorber was constructed successfully based on the provided design parameters of Euler buckled beam; comparing the vibration responses of the main mass without any absorber and those with the nonlinear absorber, the nonlinear absorber has a better vibration-attenuation performance; the initial deflection and damping coefficient of Euler buckled beam have the optimal values; with increase in the initial oblique angle, the vibration supperession ability of the nonlinear vibration absorber is improved.

nonlinear; dynamic absorber; Euler buckled beam

10.13465/j.cnki.jvs.2016.11.024

國家自然科學基金資助項目(51405014)

2015-04-07修改稿收到日期：2015-06-02

劉海平 男，博士，工程師，1982年11月生

楊建中 男，碩士，研究員，1969年8月生

E-mail:lhpvibration@163.com

TG156

A